Zadania-MTT 2014-15

Etap szkolny
Zadanie 1:
Nauczyciel zadał maturzystom serię zadań, które mieli rozwiązać w określonym terminie.
Karol postanowił codziennie rozwiązywać tę samą liczbę zadań. Krzysiek obliczył, że jeśli
dziennie będzie rozwiązywał o 2 zadania więcej od Karola, to skończy o 3 dni wcześniej niż
Karol. Maciek postanowił rozwiązywać codziennie o 2 zadania więcej od Krzyśka i obliczył,
że wszystkie zadania rozwiąże o 2 dni wcześniej niż Krzysiek. Ile zadań mieli do rozwiązania
maturzyści?
Zadanie 2:
Obraz o wymiarach 40cm × 60cm oprawiony został
w
drewnianą
ramę
wykonaną
z
cienkiej
prostopadłościennej listwy (rysunek obok). Oblicz
szerokość ramy wiedząc, że pole powierzchni jej
zewnętrznej części (widocznej na rysunku obok) jest
równe polu obrazu.
Zadanie 3:
Liczby 2x – 2, x2, 4x – 2 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny i są trzema
początkowymi wyrazami czterowyrazowego ciągu (a n). Oblicz czwarty wyraz ciągu (an),
wiedząc, że liczby a2, a3, a4 są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.
Zadanie 4:
Funkcja f określona jest wzorem f ( x) 
5x 1
.
x2
a) Wyznacz dziedzinę i miejsce zerowe funkcji f .
b) Sprawdź czy punkt A= (
2  1;16  11 2 ) należy do wykresu funkcji f .
c) Wyznacz te argumenty dla których funkcja f i funkcja
samą wartość.
g ( x)  x  1 przyjmują tę
Etap międzyszkolny
Zadanie 1: W górach samochód z miasta A do B jedzie ze średnią prędkością 60
natomiast z B do A ze średnią prędkością 40
z A do B i z powrotem do A.
,
. Oblicz średnią prędkość samochodu na trasie
Zadanie 2: Boki trójkąta zawierają się w prostych k: y= 4x +6; l: y = - 3x - 2, m: y = - 7x - 2.
Wierzchołek A jest przecięciem sie prostych l i m; B- prostych k i l; C- prostych k i m.
a) Oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC.
b) Oblicz długość boku BC. Wynik przedstaw w postaci
, gdzie
c) Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A na podstawę BC.
.
Zadanie 3: Jedna z przekątnych rombu ma długość x. Suma długości obu przekątnych jest
równa10 .
a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole tego rombu w zależności od x. Podaj jej
dziedzinę.
b) Uzasadnij, że dla dowolnej całkowitej wartości x należącej do dziedziny, funkcja ta
przyjmuje wartość mniejszą od
.
Zadanie 4: Dzbanek z filtrem węglowym ma kształt walca
o średnicy 14 cm (patrz rysunek). Filtr umieszczony w
dzbanku, jest walcem o średnicy 6 cm.
a)


Odczytaj z rysunku potrzebne dane i oblicz
objętość dzbanka (wynik podaj w postaci ,
gdzie
).
Przyjmując, że
wyznacz tę objętość
3
w cm z dokładnością do 0,01 cm3.
b)


Ile litrów wody zmieści się w tym dzbanku?
Czy pełną zawartość tego dzbanka mogę
przelać do dwulitrowego dzbanka?
Etap finałowy
ZADANIE 1:
Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania
x2 - (m - 5)x + m2 - 6m + 5 = 0
jest większa od 7?
ZADANIE 2: W pudełku znajdują się białe i pomarańczowe piłeczki do ping-ponga.
Wszystkich piłeczek jest 2k+2. Piłeczek pomarańczowych jest o k więcej niż piłeczek
białych. Z pudełka wylosujemy jedną piłeczkę. Zdarzenie A oznacza- wylosowano piłeczkę
białą, zdarzenie B - wylosowano piłeczkę pomarańczową. Prawdopodobieństwo zdarzenia A
jest równe
. Wyznacz liczbę piłeczek pomarańczowych oraz prawdopodobieństwo
zdarzenia B.
ZADANIE 3: Trapez równoramienny ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 25 cm.
Podstawy AB i CD tego trapezu mają odpowiednio 40 cm i 14 cm. Oblicz pole trapezu.
Rozważ dwa przypadki.
ZADANIE 4: Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 5 dm. Pole trójkąta
o bokach: wysokość podstawy, wysokość ściany bocznej oraz krawędź boczna ostrosłupa
(przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wysokość podstawy i krawędź boczną,
wychodzącymi z tego samego wierzchołka) wynosi 45 dm2. Oblicz:
a) sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny postawy;
b) tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy;
c) objętość tego ostrosłupa.