www.zadania.info – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA

www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 1 (5 PKT )
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, których zapis dziesi˛etny składa si˛e tylko z dwóch różnych cyfr?
Z ADANIE 2 (5 PKT )
Ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno 4 cyfry bez zwracania, a nast˛epnie zapisujemy je w kolejności losowania tworzac
˛ liczb˛e 4 cyfrowa.˛ Ile można otrzymać w ten sposób
a) dowolnych liczb?
b) liczb podzielnych przez 25?
Z ADANIE 3 (5 PKT )
Ile jest liczb pi˛eciocyfrowych, spełniajacych
˛
jednocześnie nast˛epujace
˛ cztery warunki:
(1) cyfry setek, dziesiatek
˛
i jedności sa˛ parzyste,
(2) cyfra setek jest wi˛eksza od cyfry dziesiatek,
˛
(3) cyfra dziesiatek
˛
jest wi˛eksza od cyfry jedności,
(4) w zapisie tej liczby nie wyst˛epuje cyfra 9.
Z ADANIE 4 (5 PKT )
Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiatek
˛
jest o 2 wi˛eksza od cyfry jedności?
Z ADANIE 5 (5 PKT )
Spośród liczb {1, 2, 3, . . . , 1000} losujemy jednocześnie dwie, które oznaczamy x i y. Ile jest możliwości wylosowania takiej pary liczb ( x, y), dla której:
a) x jest podzielne przez 23, a y nie jest podzielne przez 23?
b) x · y jest podzielne przez 23?
Z ADANIE 6 (5 PKT )
Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia
A – na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek,
B – suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A ∪ B.
Z ADANIE 7 (5 PKT )
Z urny, w której jest 6 kul czarnych i 4 żółte, wyj˛eto dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyj˛eto kule jednakowych kolorów.
Z ADANIE 8 (5 PKT )
O zdarzeniach A i B wiadomo, że P( B) = 0, 6, P( A ∪ B) = 0, 9 oraz P( A \ B0 ) = 0, 5. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.
1
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 9 (5 PKT )
Spośród 5 monet jednozłotowych, 7 dwuzłotowych i 6 pi˛eciozłotowych wybieramy 3 monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy monety b˛eda˛ miały ten sam nominał.
Z ADANIE 10 (5 PKT )
W koszu znajduja˛ si˛e owoce: 12 jabłek i 8 pomarańczy. Wyjmujemy kolejno trzy owoce, nie odkładajac
˛ ich do
kosza. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy dokładnie dwie pomarańcze.
Z ADANIE 11 (5 PKT )
Z pojemnika, w którym sa˛ dwa losy wygrywajace
˛ i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez
zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywajacy.
˛ Wynik przedstaw
w postaci ułamka nieskracalnego.
Z ADANIE 12 (5 PKT )
Spośród liczb naturalnych trzycyfrowych wybieramy jedna˛ liczb˛e. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania
liczby, która przy dzieleniu przez 11 daje reszt˛e 3.
Z ADANIE 13 (5 PKT )
Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy liczb˛e x, a ze zbioru {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1} liczb˛e y. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że x + y > 0.
Z ADANIE 14 (5 PKT )
Dane sa˛ trzy sześcienne kostki do gry: czerwona, niebieska i zielona. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
polegajacego
˛
na tym, że przy jednokrotnym rzucie trzema kostkami liczba otrzymana na niebieskiej kostce jest
wi˛eksza niż suma liczb otrzymanych na dwóch pozostałych kostkach.
Z ADANIE 15 (5 PKT )
Strzelajac
˛ do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,5, a co najwyżej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo, że ten strzelec uzyska dokładnie 9
punktów.
Z ADANIE 16 (5 PKT )
O zdarzeniach A i B wiadomo, że P( B) = 0, 6, P( A0 ∪ B) = 0, 8, P( A \ B0 ) = 0, 5. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia A.
Z ADANIE 17 (5 PKT )
Niech A, B ⊂ Ω b˛eda˛ zdarzeniami losowymi, takimi że P( A) =
7
11
i P( B0 ) =
7
12 .
Uzasadnij, że P( A ∩ B) > 0.
Z ADANIE 18 (5 PKT )
W jednej szufladzie znajduja˛ si˛e 3 szaliki czarne i 4 szaliki niebieskie, a w drugiej szufladzie sa˛ 2 czapki czarne
i 1 niebieska. Wyjmujemy losowo jeden szalik i jedna˛ czapk˛e. Które prawdopodobieństwo jest wi˛eksze: zdarzenia A, że otrzymamy komplet w jednym kolorze, czy zdarzenia B, że otrzymamy czapk˛e i szalik w różnych
kolorach? Odpowiedź uzasadnij, wykonujac
˛ odpowiednie obliczenia.
2
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 19 (5 PKT )
Losujemy jedna˛ liczb˛e spośród liczb: 1, 2, 3,. . . , 1000. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 lub przez 9.
Z ADANIE 20 (5 PKT )
Dane sa˛ dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje si˛e 10 kul ponumerowanych
liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedna˛ kul˛e. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegajacego
˛
na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej
z niebieskiego pudełka.
Z ADANIE 21 (5 PKT )
Spośród cyfr 1, 2, . . . , 9 losujemy bez zwracania dwie i tworzymy z nich liczb˛e dwucyfrowa,˛ której cyfra˛ dziesiatek
˛
jest pierwsza z wylosowanych cyfr. Oblicz prawdopodobieństwo że otrzymana liczba jest parzysta.
Z ADANIE 22 (5 PKT )
Rzucamy trzy razy kostka˛ do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegajacego
˛
na tym, że w trzecim
rzucie otrzymamy dwa razy wi˛ecej oczek niż w pierwszym rzucie.
Z ADANIE 23 (5 PKT )
Z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 układamy wszystkie możliwe liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Ze zbioru takich liczb
losujemy jedna˛ liczb˛e. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A – wybrana liczba trzycyfrowa ma t˛e własność,
że cyfry: setek, dziesiatek
˛
oraz jedności (w podanej kolejności) tworza˛ ciag
˛ arytmetyczny.
Z ADANIE 24 (5 PKT )
W pewnej klasie okazało si˛e, że sa˛ 3 osoby, które urodziły si˛e w kwietniu tego samego roku i sa˛ dwie osoby,
które urodziły si˛e w lipcu tego samego roku. Oblicz prawdopodobieństwo, że troje z tych 5 uczniów urodziło
si˛e tego samego dnia roku.
Z ADANIE 25 (5 PKT )
Listonosz losowo rozmieszcza 4 listy w 6 skrzynkach na listy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej
dwa listy znajda˛ si˛e w tej samej skrzynce?
Z ADANIE 26 (5 PKT )
Ze zbioru liczb trzycyfrowych, które nie maja˛ dwóch takich samych cyfr losujemy jedna˛ liczb˛e. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby, której iloczyn cyfr jest liczba˛ niezerowa˛ podzielna˛ przez 7?
Z ADANIE 27 (5 PKT )
W pojemniku znajduje si˛e 28 kul, przy czym n z nich to kule białe, a pozostałe to kule czarne. Z pojemnika
losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Dla jakiej liczby n prawdopodobieństwo wylosowania jednej
kuli białej i jednej czarnej jest najwi˛eksze?
3
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 28 (5 PKT )
W jednej szufladzie znajduje si˛e 6 czapek: 3 zielone, 2 czerwone i 1 niebieska, a w drugiej szufladzie jest 7
szalików: 2 zielone, 1 czerwony i 4 niebieskie. Wyj˛eto losowo jedna˛ czapk˛e i jeden szalik. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A – wylosowana czapka i wylosowany szalik sa˛ tego samego koloru.
Z ADANIE 29 (5 PKT )
Oblicz prawdopodobieństwo P( A0 ∩ B0 ), jeśli P( A0 ) = 13 , P( B0 ) =
1
4
i P( A ∩ B) = 12 .
Z ADANIE 30 (5 PKT )
Rzucono 3 razy moneta˛ i określono zdarzenia: A – wypadły dokładnie dwa orły, B – wypadł orzeł za pierwszym razem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia P( A \ B).
Z ADANIE 31 (5 PKT )
Z cyfr {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy 3 cyfry i zapisujemy z ich pomoca˛ liczb˛e 3-cyfrowa˛ o niepowtarzajacych
˛
si˛e cyfrach, przy czym zakładamy, że pierwsza cyfra jest niezerowa. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania
liczby nieparzystej.
Z ADANIE 32 (5 PKT )
Winda,˛ zatrzymujac
˛ a˛ si˛e na 6 pi˛etrach, jada˛ 4 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każda osoba
wysiadzie
˛
na innym pi˛etrze?
Z ADANIE 33 (5 PKT )
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegajacego
˛
na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzysta˛ liczb˛e oczek i
iloczyn liczb oczek otrzymanych w trzech rzutach b˛edzie podzielny przez 48.
Z ADANIE 34 (5 PKT )
Dany jest zbiór wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana z tego zbioru liczba jest podzielna przez 6 lub przez 8.
Z ADANIE 35 (5 PKT )
Rzucamy 3 razy kostka˛ do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że kolejno otrzymane liczby utworza˛ ciag
˛ arytmetyczny.
Rozwiazania
˛
zadań znajdziesz na stronie
HTTP :// WWW. ZADANIA . INFO /1542_8708R
4