STATYSTYKA MATEMATYCZNA Lista 1

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Lista 1
1. Dane sa̧ P (A′ ) = 31 , P (A ∩ B) =
i P (B \ A).
1
4
i P (A ∪ B) = 32 . Obliczyć P (B ′ ), P (A ∩ B ′ )
1
1
i P (A ∪ B) = , ponadto P (A \ B) = P (B \ A).
4
2
Obliczyć P (A) i P (B \ A).
2. Dane sa̧ P (A ∩ B) =
2
1
1
3. Dane sa̧ P (A′ ∩ B ′ ) = , P (A′ ) = , ponadto P (A ∩ B) = . Obliczyć P (B)
2
3
4
i P (A′ ∩ B).
4. Z talii 52 kart losujemy 5. Znajdź prawdopodobieństwo nastȩpuja̧cych zdarzeń:
a) nie wylosujemy żadnego asa, b) wylosujemy dokladnie jednego asa, c) wylosujemy co najmniej jednego asa, d) wylosujemy co najwyżej jednego asa.
5. W skrzynce znajduje siȩ 47 żarówek dobrych i 3 przepalone. Wycia̧gamy
losowo piȩć żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bȩda̧ wśród nich
najwyżej dwie przepalone?
6. Trylogiȩ skladaja̧ca̧ siȩ z dwóch powieści dwutomowych oraz jednej jednotomowej ustawiono przypadkowo na pólce. Jakie jest prawdopodobieństwo tego,
że tomy obydwu z dwutomowych powieści znajduja̧ siȩ obok siebie i przy tym
tom I z lewej, a tom II z prawej strony.
7. Pocia̧g zatrzymuje siȩ na 10 malych stacjach. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że spośród 6 nie znaja̧cych siȩ nawzajem osób znajduja̧cych siȩ w przedziale
każda wysia̧dzie na innej stacji?
8. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna z trzech losowo wybranych
osób obchodzi urodziny w tym samym dniu co i Ty.
9. Rzucamy moneta̧ tak dlugo, aż wypadnie dwa razy pod rza̧d na ta̧ sama̧
stronȩ. Jak wygla̧da przestrzeń zdarzeń elementarnych? Jakie jest prawdopodobieństwo, że gra skończy siȩ przed szóstym rzutem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że potrzebna bȩdzie parzysta liczba rzutów?
10. Pani X i pani Y ida̧c z domu do biura maja̧ do przebycia pewien wspólny
odcinek drogi AB z tym, że przebywaja̧ go w przeciwnych kierunkach, pani X
od A do B, pani Y od B do A. Pani X przybywa do punktu A (pani Y zaś
do punktu B) w przypadkowym momencie czasu pomiȩdzy godz. 7.30 i 7.45 i
idzie ze stala̧ predkościa̧. Każda z pań przechodzi odcinek AB w przecia̧gu 5
minut. Obliczyć prawdopodobieństwo spotkania pań X i Y.
11. Odcinek drutu o dlugości L rozciȩto w przypadkowo wziȩtych dwóch punktach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że z otrzymanych czȩści można zbudować
trójka̧t.
12. Rzucono trzy kostki do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że choćby na
jednej z nich wypadnie jedynka, jeżeli wiadomo, że na trzech kostkach byly
różne wyniki ?
13. Pierwsza urna zawiera 10 kul, w tym 8 bialych; druga urna zawiera 20 kul, w
tym 4 biale. Z każdej urny losowo wybrano po jednej kuli, a nastȩpnie z tych
dwóch kul wybrano jedna̧. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wybrano
kulȩ biala̧.
14. Podczas cotygodniowych testów z angielskiego zauważono, że odpowiedzi Ścia̧–
galskiego w 60% pokrywaja̧ siȩ z odpowiedziami Adama, w 30%- z odpowiedziami Bartka, a w 10% z odpowiedziami Czarka. Adam myli siȩ średnio w 4
przypadkach na 100, Bartek w 10 przypadkach na 100, a Czarek w 21 przypadkach na 100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przypadkowo wybrana
odpowiedź Ścia̧galskiego jest niewlaściwa?
15. W magazynie sa̧ ubrania z trzech zakladów krawieckich A1 , A2 , A3 przy czym
wiadomo, że z zakladu A1 pochodzi 50% ubrań , z A2 30%, a z A3 20%. Zaklad
A1 produkuje 80% ubrań I gatunku, A2 70%, a A3 60% ubrań I gatunku. W
sposób losowy wziȩto ubranie z magazynu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
wybrane ubranie: (a) jest I gatunku; (b) pochodzi z zakladu A1 , jeśli stwierdzono, że jest I gatunku, (c) pochodzi z zakladu A2 , jeśli wiadomo, że nie jest
I gatunku.
16. Na 100 mȩżczyzn piȩciu, a na 1000 kobiet dwie nie rozróżniaja̧ kolorów. Z
grupy o jednakowej liczbie kobiet i mȩżczyzn wybrano losowo osobȩ, która
okazala siȩ daltonista̧. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to kobieta ?
17. Wśród 65 monet jest jedna z dwoma orlami. Na wybranej losowo monecie
wypadl orzel 6 razy pod rza̧d. Jaka jest szansa, że to moneta z dwoma orlami?
18. Pewna izotropowa metoda wykrywania uszkodzeń daje nastȩpuja̧ce wyniki.
Jeśli urza̧dzenie ma uszkodzenie, to metoda ta pozwala na jego wykrycie w
90% przypadków i nie wykrywa go w 10% przypadków. Jeśli urza̧dzenie nie
ma uszkodzenia, to metoda ta daje w 99% przypadków informacje zgodne
ze stanem faktycznym i w 1% przypadków informacje o defekcie, którego nie
ma. W pewnej partii urza̧dzeń jest 2% maja̧cych defekt. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wylosowane urza̧dzenie, rozpoznane jako uszkodzone jest
rzeczywiście uszkodzone.
19. Z talii 52 kart cia̧gniemy jedna̧. Wykaż, że wycia̧gniȩcie asa oraz wycia̧gniȩcie
pika to zdarzenia niezaleṅe
20. Czy jest możliwe, aby dwa zdarzenia byly niezależne i rozla̧czne ?
21. Zdarzenia A i B sa̧ niezależne i A ∪ B = Ω. Wykazać, że P (A) = 1 lub
P (B) = 1.
22. Na odcinku [0, 1] umieszczamy losowo (zgodnie z rozkladem jednostajnym) i
niezależnie punkty x i y. Niech A bȩdzie zdarzeniem polegaja̧cym na tym, że
x2 + y 2 ≤ 1, natomiast B zdarzeniem polegaja̧cym na tym, że x < y. Czy A i
B sa̧ niezależne ?