lista dodatkowa

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA
MATEMATYCZNA
Lista dodatkowa
Zadania ze skryptu H. Jasiulewicz i W. Kordecki “Rachunek prawdopodobieństwa
i statystyka matematyczna. PrzykÃlady i zadania”, Wydanie drugie.
1.3.8. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Obliczyc prawdopodobieństwo
wyrzucenia wiȩcej niż trzech oczek na pierwszej kostce, jeśli wiadomo,że suma
liczby oczek na obu kostkach jest mniejsza od piȩciu.
1.3.10. W rodzinie jest czwórka dzieci. Prawdopodobieństwo, że dziecko jest
chÃlopcem wynosi 0.51. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie jest
co najmniej jeden chÃlopiec. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wszystkie
dzieci sa̧ chÃlopcami, jeśli wiadomo, że w tej rodzinie jest co najmniej jeden
chÃlopiec.
1.3.11.(zmodyfikowane) Charakterystyka surowca przygotowanego do produkcji może znajdować siȩ w sześciu przedziaÃlach z prawdopodobieństwami
0.09, 0.16, 0.25, 0.25, 0.16 i 0.09. W zależności od wÃlaściwości surowca prawdopodobieństwa otrzymania produkcji pierwszego gatunku wynosza̧ odpowiednio 0.2, 0.3, 0.4,0.4,0.3 i 0.2.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania produkcji pierwszego gatunku.
b) Otrzymano produkt pierwszego gatunku. Jake jest prawdopodobieństwo,
że użyto surowca z pierwszego przedziaÃlu ?
1.3.18. Pewna choroba wystȩpuje u 0.2% ogóÃlu ludności. Przygotowano test
do jej wykrycia. Test daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest chora, jeśli
test tej osoby daÃl wynik pozytywny.
1.3.21. Z trzech pracuja̧cych niezależnie elementów urza̧dzenia dwa zawiodÃly. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że zawiodÃly elementy pierwszy
i drugi, jeśli prawdopodobieństwa awarii elementów pierwszego, drugiego i
trzeciego sa̧ odpowiednio równe: p1 = 0.2, p2 = 0.4, p3 = 0.3.
1.2.24. Prawdopodobieństwo pojawienia siȩ zdarzenia A przynajmniej raz
przy czterech niezależnych doświadczeniach jest równe 0.59. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia siȩ zdarzenia A przy jednym doświadczeniu, jeżeli
przy każdym doświadczeniu prawdopodobieństwo to jest takie samo ?
Spoza skryptu. Samochód porusza siȩ po trasie, na której znajduja̧ siȩ 4
sygnaÃly świetlne, dziaÃlaja̧ce niezależnie od siebie. Każdy z nich zatrzymuje
lub przepuszcza samochód z prawdopodobieństwem p = 12 . Niech X oznacza
liczbȩ sygnaÃlów miniȩtych przez samochód do momentu pierwszego zatrzymania. Znaleźć rozkÃlad zmiennej losowej X i obliczyć jej wartośo̧czekiwana̧
i wariancjȩ.
2.2.2. Zmienna losowa X ma rozkÃlad prawdopodobieństwa podany w tabeli:
xi −3 −2 −1 0 1 2
pi 0.1 0.2 0.2 0.3 p 0.1
Podać rozkÃlad prawdopodobieństwa zmiennej Y = X 2 + 2 i obliczyć jej
warto’sć oczekiwana̧ i wariancjȩ .
2.2.8. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród 11 piÃlkarzy jednej drużyny
podczas gry na boisku:
a) żaden nie ulegnie kontuzji,
b) nie wiȩcej niż dwóch zawodników zostanie kontuzjowanych.
Przyja̧ć, że szansa kontuzji w dowolnym meczu jest taka sama dla każdego
zawodnika i wynosi 0.1.
2.1.7. Zmienne losowe X i Y sa̧ niezależne i EX=2, Var X=1, EY=1,
Var Y=4. Znaleźć wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ zmiennej losowej Z=3X5Y.
2.2.6. Niech P(X = 2n ) = α5−n dla n = 1, 2, . . .. Obliczyć α. Obliczyć EX
i Var X.
MaÃlgorzata Bogdan