Wybrane zagadnienia z metodyki nauczania

Wybrane zagadnienia
z metodyki nauczania
matematyki
w klasach I-III
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Kształtowanie pojęć matematycznych u
dziecka w młodszym wieku szkolnym


Przedmiotem nauczania matematyki są pojęcia,
których treść stanowią wielorakie stosunki ilościowe i
przestrzenne, wyrażone za pomocą symboli
matematycznych. Operowanie tymi pojęciami i
symbolami wymaga umiejętności abstrahowania i
uogólniania.
Myślenie dziecka cechuje konkretyzm i obrazowość,
dlatego poznanie nowego pojęcia matematycznego
przez dzieci należy oprzeć na ich własnych
czynnościach wykonywanych pod kierunkiem
nauczyciela.
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Kształtowanie pojęć
Pojęcia matematyczne mają swoją specyfikę - różnią się w dość
istotny sposób od innych pojęć. Powstają głównie na drodze
abstrahowania tylko niektórych cech realnych przedmiotów i ich
uogólnienia.
Treścią pojęć matematycznych są określone relacje między
przedmiotami (a częściej ich zastępnikami) oraz pewne sposoby
manipulowania nimi, nie zaś cechy konkretnych przedmiotów.
Pojęcia matematyczne mają charakter operatywny i tworzą się w
wyniku stopniowego procesu interioryzacji działań konkretnych,
potem czynności wyobrażanych do operacji abstrakcyjnych.



Klasa I - to okres kształtowania się w umyśle dzieci
podstawowych pojęć arytmetycznych.
Klasa II to czas krystalizowania się tych pojęć,
Klasa III to okres pogłębiania i utrwalania się poznanych pojęć,
aż do biegłości rachunkowej.
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Etapy kształtowania pojęć
W. Okoń wyróżnia trzy zasadnicze etapy kształtowania pojęć,
mianowicie:
1. Kojarzenie nazw z odpowiadającymi im przedmiotami.
2. Tworzenie przedpojęć na podstawie znajomości
wewnętrznych cech rzeczy i zdarzeń.
3. Nabywanie pojęć naukowych.
W etapie tym W. Okoń wyróżnia:
a) zestawienie danego przedmiotu lub zjawiska z innymi w
celu wyodrębnienia go
b) wyszukiwanie cech podobnych (wspólnych),
c) poszukiwanie cech różniących (istotnych i nieistotnych),
d) wytworzenie sobie pojęcia na podstawie znajomości
istotnych cech danej kategorii rzeczy,
e) zastosowanie poznanego pojęcia w nowych sytuacjach,
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Czynnościowe nauczanie matematyki w klasach młodszych
Celem nadrzędnym tej metody jest, aby uczeń zdobywał wiedzę
operatywną, a nie na drodze chaotycznych prób rozwiązywania
schematycznych zadań.
Przy zastosowaniu tej metody uczeń konstruuje swoją wiedzę w
interakcji z materiałami i zadaniami na drodze bogatych
doświadczeń pod kierunkiem nauczyciela i we współpracy z
kolegami.
W metodzie tej kładzie się nacisk nie tylko na wiadomości, ale także
na umiejętności. Stroną aktywna na lekcji powinien być przede
wszystkim uczeń. Nauczyciel powinien pełnić rolę doradcy i
inspiratora.
Jest to taka metoda nauczania, którą można zaliczyć do metod
aktywnych, gdyż uczeń wytwarza dla siebie jakąś wiedzę.
Etapy kształcenia pojęć matematycznych:
1) czynności manipulacyjno – ruchowe wykonywane z
wykorzystaniem rzeczywistych przedmiotów
2) czynności manipulacyjno – ruchowe z wykorzystaniem
zastępników przedmiotu
3) czynności umowne wykonywane z wykorzystaniem środków
graficznych
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
4) czynności werbalne głośne i ciche
Warunki i trudności w kształtowaniu pojęć
Myślenie dzieci w wieku wczesnoszkolnym jest konkretnoobrazowe i integralnie związane z aktywnością manualną.
Przyswajanie pojęć matematycznych musi opierać się na
uwzględnieniu tych właściwości z zastosowaniem
odpowiednich środków dydaktycznych.
 Kształtowanie pojęć u uczniów w klasach niższych
przebiega prawidłowo, jeżeli w procesie uczenia się
spełnione są następujące warunki :
1) opiera się na poznawaniu zmysłowym,
2) wiąże się te przedmioty, ich elementy, stosunki i układy
ze słowami i utrwala je w wyrażeniach języka,
3) stwarza się warunki do procesu uogólnień,
4) opracowuje się uzyskane treści w spójny system wiedzy,
5) dostarcza się wielu okazji do sprawdzania i wykorzystania
zdobytej wiedzy w działaniu,
6) sprzyja się wartościowaniu i ocenianiu działań,
7) stwarza się warunki do zapamiętania czynności i
rezultatów poznania,
PROTOTO we Wrocławiu
- J.
8) uwzględnia się pełną aktywność i NPDN
samodzielność
uczniów.
Gadowicz
W czasie opanowywania pojęć pojawiają się trudności. Do podstawowych
sposobów zapobiegania trudnościom w kształtowaniu pojęć możliwych do
zastosowania przez nauczycieli L. Bandura zalicza:














1) utrwalenie właściwych związków między przedmiotami i odpowiadającymi im nazwami,
2) określanie realnych celów lekcji i wyraźnych planów wszelkich zajęć,
3) unikanie odbiegania od właściwego celu lekcji,
4) dopilnowanie, aby uczniowie opanowali pojęcia niezbędne do prawidłowego przebiegu nowego poznania,
5) właściwe formułowanie pytań i żądanie pełnych odpowiedzi,
6) właściwe kierowanie i organizowanie obserwacji uczniów,
7) niedoprowadzanie do uogólnień na podstawie jednego przykładu,
chyba, że towarzyszy temu ogromne zabarwienie emocjonalne,
8) unikanie dokonywania uogólnień na podstawie cech nieistotnych,
9) niedoprowadzenie do uogólnień, jeżeli brak odpowiedniego materiału
porównawczego,
10) podsumowywanie istoty treściowej lekcji,
11) ustosunkowanie się do odpowiedzi uczniów i ich ocena,
12) unikanie wyręczania uczniów w pokonywaniu trudności w myśleniu,
13) unikanie wyciągania wniosków za uczniów,
14) unikanie kształtowania zbyt wielu pojęćNPDN
na jednej
lekcji.
PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Kształtowanie pojęcia liczb naturalnych
pierwszej dziesiątki






Podstawy kształtowania pojęcia liczby naturalnej:
Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jeden z podstawowych obiektów
matematycznych. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika
jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby
naturalne”, „liczby całkowite”, itp.
Cyfra – umowny znak pisarski służący do zapisywania liczb.
Przed poznaniem pojęcia liczby naturalnej i jej zapisu
pozycyjnego uczniowie muszą znać pojęcie zbioru, umieć
klasyfikować przedmioty według podanej cechy oraz umieć
porównywać liczebności dwóch zbiorów bez przeliczania ich
elementów.
To, czy uczeń klasy I rozumie liczbę jako pojęcie abstrakcyjne
(wtórne), czy nadal będzie widział tylko jej konkretne realizacje
(np. trzy - to trzy pieski, piłki itp.) zależy od właściwego doboru
ćwiczeń w porównywaniu zbiorów.
Pojęcie zbioru przyjmuje się jako pojęcie pierwotne. Znane jest
ono intuicyjnie, z doświadczenia życiowego np. grupa dzieci,
komplet klocków itp..
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Kształtowanie pojęcia liczebności zbioru
W pierwszym etapie nauki uczniowie tworzą zbiory przedmiotów
według cech jakościowych, według podanego warunku np. według
koloru, kształtu, wielkości itp..
 Znacznie trudniejsze jest określanie stosunków ilościowych między
zbiorami niż stosunków jakościowych. Początkowo liczebność zbiorów
określana jest tylko ogólnie: tyle samo, więcej, mniej.
 Podstawowe pojęcia z zakresu liczebności zbiorów to: zbiory
równoliczne i zbiory równe.
 W celu właściwego i możliwie szybkiego ukształtowania pojęcia ilości
należy:
a) ilość elementów w zbiorze oceniać na oko tylko przy małej ich
liczbie (np. od l do 3, najwyżej 4 elementów), łatwej do jednorazowego,
globalnego uchwycenia wzrokiem,
b) przy większej ilości elementów należy dwa zbiory porównać
(uszeregować parami), ustalając odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną
i stwierdzić, czy są równoliczne.
c) odwzorowywać zbiory metodą graficzną, łącząc strzałkami elementy
jednego zbioru z elementami drugiego zbioru,
d) odwzorowywać zbiory przez zbiory (układanie lub dorysowywanie
zbiorów równolicznych do danych),
e) dopiero, gdy dzieci zauważą tę własność, można porównywać
zbiory przez przeliczanie i potwierdzanie wyniku przeliczenia
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
przyporządkowaniem parami.

Gadowicz
Abstrahowanie ilości dotyczy głównie
liczebności zbiorów, ale wiąże się także ze
stosunkami jakościowymi między zbiorami.
 Dla zrozumienia pojęcia stałej liczby elementów
w danym zbiorze, uczniowie elementy tego
samego zbioru powinni przeliczać różnymi
sposobami.
 Ćwiczenia w porządkowaniu według liczebności
układu kilku zbiorów ma doprowadzić do
rozumienia miejsca danej liczby między innymi
liczbami oraz rozumienia miejsca liczb
mniejszych i większych w stosunku do
rozpatrywanej liczby, a jednocześnie zdawanie
sobie sprawy przez uczniów z sąsiedztwa liczb.
 Porównywanie zbiorów równolicznych i
ustalenie ich mocy przygotowuje dzieci do
PROTOTO we Wrocławiu - J.
pojęcia liczby kardynalnej. NPDN
Gadowicz








Ustalenie relacji między zbiorami nierównolicznymi
prowadzi do ogólnej oceny stosunków ilościowych: więcej
lub mniej - relacja porządkujące.
Od zbiorów przedmiotów przechodzimy stopniowo do liczb.
W tym czasie dziecko rozumie liczbę naturalną jako liczbę
kardynalną zbioru skończonego,
Liczba ma znaczenie dwojakie: może oznaczać liczebność
zbioru (liczba główna) lub kolejność w szeregu (liczba
porządkowa).
Aby dziecko umiało wyznaczyć właściwe miejsce danej
liczbie w ciągu liczbowym musi rozumieć relacje
zachodzące między danymi liczbami a liczbami sąsiednimi.
Dla kształtowania pojęcia liczby ważne są ćwiczenia w
porządkowaniu zbiorów wg liczby wzrastającej i malejącej.
–aspekt porządkowy
Gdy dziecko interpretuje liczbę w obu aspektach kardynalnym i porządkowym, można mówić o
elementarnym pojęciu liczby u dziecka
Prócz mnogościowego interpretowania liczby, jako
własności zbiorów równej mocy, uczniowie powinni poznać
znaczenie liczby w mierzeniu wielkości
ciągłych.
NPDN PROTOTO
we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Wprowadzenie danej liczby odbywa się poprzez
cztery aspekty: ilościowy(kardynalny), porządkowy,
miarowy i algebraiczny.
 Aspekt ilościowy – określa ile elementów ma dany
zbiór, odpowiada na pytanie ile np. pięć piłek, trzy
samochody, zero czapek.
 Aspekt porządkowy – mówi, o który z kolei element
zbioru chodzi np. drugi września, czwarty klocek,
itp.
 Aspekt miarowy – liczba jest miarą pewnej
wielkości ciągłej np. długości - 10cm, czasu- 4godz.
 Aspekt algebraiczny – czyli rozkład liczby na
czynniki.
Kiedy dziecko ma już ukształtowane pojęcie liczby,
wtedy możemy wprowadzić jej symbol graficzny cyfrę.
Aby proces kształtowania liczby NPDN
u ucznia
przebiegał
PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
sprawnie powinien on rozumować
operacyjnie i
W trakcie rozszerzania zakresu liczbowego należy,
zdaniem Z. Semadeniego, uwzględnić:
Kształtowanie rozumienia liczb w nowym
zakresie, przede wszystkim tego, które są
mniejsze, a które większe
Ćwiczenie właściwego wymawiania i pisania
liczebników
Zapisywanie liczb za pomocą cyfr i związek
z numeracyjnymi przypadkami dodawania
i odejmowania.
Miejsce nowo poznanych liczb na osi liczbowej
Stopniowe zaznajamianie dzieci z dziesiątkowym
systemem pozycyjnym
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Kształtowanie pojęcia dodawania i
odejmowania liczb
Symbolicznym zapisem działania na liczbach jest
formuła matematyczna (wzór) odzwierciedlona za
pomocą cyfr i znaków matematycznych oraz
odpowiadających im słów (myśli, operacji w trakcie
mówienia lub czytania). Dla przykładu: 6+1 = 7
(sześć, dodać lub plus jeden, równa się lub jest
siedem).
 Należy uczniów stopniowo wdrażać do
poprawnego odczytywania treści formuły, a później
do konstruowania manipulacyjnego
na konkretnych przykładach
(dokładania, dobierania, dosuwania,
łączenia, dosypywania lub
zabierania, odsuwania itd.),
słownego i symbolicznego
formułowania oraz ich zapisu. NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.

Gadowicz
Istota i funkcje zadań tekstowych w
nauczaniu początkowym matematyki
Zadanie tekstowe składa się z dwóch warstw: werbalnej i
matematycznej.
 Warstwa werbalna
- ma określoną treść i kompozycję. –
- może mieć formę krótkiego opowiadania, opisu zdarzeń
- skonstruowana w ciągu zdań logicznych tworzących fabułę
- zdanie oznajmiające tworzy formułę początku
- zdanie pytające bądź rozkazujące pełniące formułę końca
 Warstwa matematyczna zadania - to dane i niewiadome, które tworzą
problem matematyczny wymagający rozwiązania.
Wincenty Okoń wymienia cztery istotne cechy sytuacji problemowej:
1. Określona sytuacja życiowa, łatwo skupiająca uwagę dzieci i
odnosząca się do ich zainteresowań i doświadczeń.
2. Sytuacja ta zawiera jedną lub kilka trudności.
3. Odczucie trudności prowadzi do formułowania hipotez i poszukiwania
rozwiązań.
4. Sytuacje problemowe cechuje dynamiczność.
Wszystkie te warunki spełniają zadania tekstowe. Podstawowe elementy
struktury zadań, (treść, kompozycja, problemy
matematyczne
) można
NPDN
PROTOTO we Wrocławiu
- J. w
Gadowicz
różnorodny sposób przekształcać, co może być
wykorzystywane jako
Funkcja zadań tekstowych
Według Marii Cackowskiej rozwiązywanie zadań
tekstowych spełnia wiele ważnych funkcji:
 ułatwia kształtowanie oraz wyprowadzanie
podstawowych pojęć matematycznych z analizy
realnych sytuacji życiowych
 pozwala na konkretyzację i pogłębianie rozumienia
tych pojęć przez odnoszenie ich do różnych sytuacji
praktycznych, zawierających aspekty matematyczne
 wiąże matematykę z życiem i przygotowuje uczniów
do rozwiązywania różnych problemów praktycznych
 uczy analizy i rozumienia tekstów matematycznych
 utrwala umiejętność wykonywania ustnych i
pisemnych obliczeń
 uczy twórczego posługiwania się poznanymi prawami
i własnościami działań arytmetycznych
 sprzyja rozwijaniu logicznego myślenia
 aktywizuje ucznia i skłania uczniów do wykonywania
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
wielu operacji myślowych
Gadowicz
Rodzaje zadań tekstowych rozwiązywanych w klasach I
— III
W dydaktyce matematyki znane są różne podziały zadań
tekstowych. Bolesław Gleigewicht wszystkie zadania
podzielił na dwa rodzaje:
a) standardowe
b) niestandardowe.
Zadania standardowe to zadania, w których:
 Jest wystarczająca ilość danych dla otrzymania
jednoznacznego rozwiązania i przy tym nie ma zbędnych
danych.
 Treść zadania nie prowadzi do sprzeczności.
 Treść zadania jest odpowiednia, tzn.:
- pytania pozostają w ścisłym związku z danymi,
- zadanie ma sens życiowy,
- warunki zadania są precyzyjne,
- zadanie poddaje się matematyzacji arytmetycznej.
Jeżeli w zadaniu tekstowym wystąpi zaprzeczenie
którejkolwiek z podanych wyżej cech, mamy do czynienia z
zadaniem niestandardowym.
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Zadania standardowe podzielił na proste i złożone.
Zadania standardowe proste to te, które zawierają jedno
działanie arytmetyczne, wiążące liczbę niewiadomą z więcej
niż dwiema liczbami danymi.
W zadaniach prostych możemy wyróżnić zaś dwa rodzaje
zadań:
 Addytywne
 Multiplikatywne
W zadaniach standardowych złożonych możemy wyróżnić
zadania:
 Złożone łańcuchowo.
 Złożone nie łańcuchowo.
Zadania niestandardowe można podzielić w następujący
sposób:
 Zadania zawierające nadmiar danych.
 Zadania zawierające za mało danych.
 Zadania sprzeczne.
 Zadania o złej treści.
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Zadania niestandardowe stosowane są po to, aby rozwijać
Metodyka rozwiązywania zadań tekstowych
w klasach I — III
„Metoda, czyli system postępowania, jest to sposób
wykonania czynu złożonego, polegający na określonym
doborze i układzie jego działań składowych, a przy tym
uplanowiony i nadający się do wielokrotnego stosowania”.
Sposób rozwiązania będzie metodą, gdy:
 zawiera określone działania składowe,
 działania te tworzą określony układ (każde działanie jest
na wskazanym miejscu i pozostaje w pewnym stosunku z
pozostałymi elementami tego układu)
 otrzymany układ przedstawiony będzie w postaci planu
 układ ten będzie się nadawał do wielokrotnego
stosowania, czyli wyposażony będzie w pewien system
postępowania.
Dla każdego zadania można podać wiele sposobów
rozwiązania. Każda metoda rozwiązywania zadań obejmuje
matematyzację zadań, czyli wyizolowanie
i wyrażenie
NPDN PROTOTO
we Wrocławiuw
- J.
Gadowicz
języku matematycznym wszystkich istotnych związków
Możemy wyróżnić:
 1. Analizę, inaczej redukcję.
 2. Syntezę, inaczej dedukcję.
 3. Metodę analityczno — syntetyczną, inaczej redukcyjno
— dedukcyjną.
Niezależnie od zróżnicowania struktury i stopnia złożoności
zadań tekstowych, przy ich rozwiązywaniu, można
wyodrębnić pewne wspólne etapy postępowania.
 Zrozumienie zadania, a więc:
 wzbudzenie motywacji do podjęcia rozwiązania zadania,
 zapoznanie się z treścią,
 analiza zadania.
 Proces rozwiązywania zadania obejmuje:
 układanie planu rozwiązania,
 planowanie metody rozwiązania,
 poszukiwanie i ustalenie rozwiązań,
 wykonanie planu,
 wybór rozwiązań
 sprawdzenie (weryfikacja)— ocenaNPDN
rozwiązania.
PROTOTO we Wrocławiu - J.

Gadowicz
Schematy postępowania
W nauczaniu początkowym matematyki mogą mieć
zastosowanie różne metody — schematy
postępowania:
 Schemat algorytmiczny — niezawodny przepis
postępowania, który punkt po punkcie może być
wykorzystany przy rozwiązywaniu określonego
typu zadań, np. obliczanie kosztu zakupów,
obliczanie obwodów figur itp.
 Schemat konaktywny - sposób zwany też metodą
prób i błędów, polegający na dokonywaniu prób
pewnych działań, aż do próby udanej. Stosuje się
go w zadaniach typu: szarada, łamigłówka.
 Schemat heurystyczny — jest przepisem
pośrednim, dopuszcza wiele swobody w wyborze
dróg rozwiązania.

NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Metoda symulacji
Oprócz dosłownej realizacji sytuacji opisanej w zadaniu,
można ją symulować. Jest to tzw. symulacja zadań.
Polega ona na zastępowaniu dosłownej realizacji
sytuacji opisanej w zadaniu (np. konie w stajni
zastępujemy - symulujemy patyczkami - przydatne,
zwłaszcza w takich przypadkach, w których dosłowna
realizacja opisywanej sytuacji jest niewykonalna )
 Schematyzacja zadań następuje, gdy sytuację
symulowaną w zadaniu potrafimy schematycznie opisać
przy użyciu abstrakcyjnych pojęć (dodawanie,
odejmowanie).
 Matematyzacja to opisywanie sytuacji konkretnej za
pomocą pojęć matematycznych, w jej wyniku
otrzymujemy model matematyczny tej sytuacji.
 Zarówno symulacja, jak i modelowanie matematyczne
dopełniają się wzajemnie, doskonalą umiejętności
rozwiązywania problemów na drodze matematyzacji.

NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Metoda „kruszenia”
„Kruszenie” dla zadań tekstowych oznacza - modyfikowanie,
zwiększenie lub zmniejszenie liczby danych i ich wartości,
zastępowanie danych innymi, rezygnacja z niektórych danych, zmiana
miejsca danych, a także przekształcanie zadania, jego odwracanie,
wprowadzanie nowych związków i zależności, uszczegóławianie lub
uogólnianie zadania itp.
Proces "kruszenia" rozpoczyna się zawsze od tzw. zadania bazowego.
Jest to zadanie, które ma następujące cechy: jest najczęściej złożone,
otwarte, niestandardowe itp. i nie posiada nigdy pytania.
Wersje metody kruszenia:
Pierwszą wersję można określić jako układanie pytań, a potem działań
do zadania bazowego. "Kruszenie" przebiega tu przez następujące
etapy:
 a) prezentacja zadania bazowego (zapis na tablicy, wywieszenie
planszy) i zapoznanie się z nim uczniów (zadanie jest cały czas
eksponowane),
 układanie pytań szczegółowych do polecenia: Co można obliczyć? i
zapis ich na tablicy. (zapisujemy wszystkie pytania aż do
wyczerpania bez oceny sensowności - interesuje nas ilość
pomysłów, a nie jakość),
 c) analiza pytań, układanie do nich działań i obliczenie wyników
(zapis działań obok pytań) oraz wycieranie pytań źle postawionych,
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
 d)wybór dowolnego pytania przez uczniaGadowicz
(z listy pytań, które zostały
na tablicy) i samodzielne ułożenie treści zadania o tej samej lub
Druga wersja jest prawie dokładnie odwrotna do pierwszej. Polega ona na
układaniu do zadania bazowego działań, a potem pytań. Etapy pracy są tu
następujące:

a) prezentacja zadania bazowego (podobnie jak w wersji I),

b) układanie i zapisywanie na tablicy przez uczniów wszelkich
możliwych działań i ich obliczanie (jako rozwiązań szczegółowych zadań
pomyślanych przez uczniów),

c) analiza działań., układanie do nich pytań i ich zapis obok oraz
wycieranie działań źle ułożonych (bez sensu, źle dobranych itp.) lub ich
poprawienie,

d) wybór dowolnego działania i pytania, ułożenie do nich samo dzielnie
nowego zadania o tej samej lub innej tematyce,

e) samodzielne rozwiązanie tego zadania w zeszycie i zapis odpowiedzi.
Trzecia wersja polega na obmyślaniu nowych zadań szczegółowych do
zadania bazowego i przedstawianie ich w zakodowanej formie (na osi
liczbowej, drzewku, grafie), a następnie próby ich opisania.
Czwarta wersja polega na zabawie opartej o zadanie bazowe do polecenia:
Co by było, gdyby...? Zapis ciekawych pomysłów i próby ich rozwiązań.
Piąta wersja z kolei polega na układaniu wszelkich możliwych pytań do
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
zadania bazowego, ale z prawem do dokładania
danych (zmieniania).
Gadowicz








Walory metody „kruszenia”:
Doskonale rozwija myślenie krytyczno – logiczne uczniów.
Uczy dostrzegania związków i zależności występujących w
zadaniu bazowym oraz umiejętności wykorzystywania ich do
tworzenia nowych wersji zadania.
Rozwija płynność myślenia – uczeń nie poprzestaje na
ułożeniu jednego pytania, układa ich całe ciągi.
Rozwija giętkość myślenia – uczeń jest zmuszony do szybkiej
zmiany kierunku , przechodzi z jednego toru myślenia na
inny, bowiem dostrzega coraz nowe związki w zadaniu
bazowym.
Rozwija oryginalność myślenia – uczeń nie poprzestaje na
układaniu pytań łatwych i prostych. Układa coraz
wymyślniejsze pytania.
Głośna zbiorowa praca uaktywnia uczniów, którzy
na zasadzie skojarzeń z pytaniami ułożonymi przez
kolegów formułują kolejne.
Jest atrakcyjną dla uczniów metodą pracy
z zadaniem tekstowym.
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Matematyczny zapis treści zadania -przedstawienie zadania często w innej,
nowej strukturze, która odpowiada treści zadania, uwzględniając i pokazując
związki i zależności matematyczne w nim występujące (odrzucenie
informacji zbędnych.)
Mogą to być następujące formy zapisów:
1. Formy graficzne

rysunek konkretny i schematyczny.
2. Formy graficzno — liczbowe

Rysunek konkretny i liczby.

Rysunek schematyczny i liczby.
3. Formy graficzno — słowno — liczbowe

Rysunek konkretny lub schematyczny.

Określenia słowne i liczby.
4. Formy słowno — liczbowe

Określenia słowne i liczby.
5. Formy liczbowe

Określenia liczbowe.
Zapisy zapobiegają błędom w rozumowaniu, błędom w kolejności
wykonywania działań, wdrażają do samodzielnego
układania
planu i - J.
NPDN PROTOTO
we Wrocławiu
dochodzenia do właściwego rozwiązania. TakiGadowicz
system pracy pozwala





Biorąc pod uwagę rozwiązywanie zadań tekstowych
uczniowie powinni w:
Ø klasie I rozwiązywać i układać proste zadania
tekstowe dotyczące dodawania i odejmowania,
Ø w klasie II rozwiązywać proste zadania tekstowe
jedno — i dwudziałaniowe,
Ø w klasie III — rozwiązywać nietrudne zadania
tekstowe złożone.
W efekcie uczeń kończący pierwszy etap edukacji, w
wyniku realizacji treści matematycznych, dotyczących
rozwiązywania zadań tekstowych, powinien analizować
i rozwiązywać wyznaczone programem nauczania
zadania tekstowe. Powinien umieć stwierdzić, co jest
dane i co jest niewiadome oraz dobierać odpowiednie
działanie do warunków zadania.
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Pojęcia geometryczne
Kształtowanie pojęć geometrycznych powinno odbywać się na
podstawie bezpośrednich obserwacji i w trakcie czynności na
materiale konkretnym.
 Kształtowanie pojęć geometrycznych na etapie przeddefinicyjnym
Proces tworzenia od pojęć przedmiotów realnych do pojęć
geometrycznych:
1) gromadzenie doświadczeń, manipulowanie przedmiotami,
obserwacja wyróżniania kształtów, omawiania
- kontekst musi być bogaty, aby gromadzić doświadczenia
- manipulowanie przedmiotami, budowanie, przekładanie
- uzasadnienie „dlaczego?’
2) wstępne systematyzowanie – aktywność ucznia skierowana na
porównywanie, klasyfikowanie, odróżnianie różnych przedmiotów
materialnych
- zróżnicowana wizja przedmiotów materialnych
- uświadomienie sobie przedmiotów stałych
3) schematyzacja właściwa – ukształtowanie w myśli dzieci
danego pojęcia
- zabawy i ćwiczenia sprzyjające wyobrażeniom danego obiektu
- wymyślanie, projektowanie ornamentów
- wskazywanie sytuacji i motywów
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Cele ogólne kształtowania pojęć geometrycznych:
a)postrzeganie stosunków świata rzeczywistego -nauka geometrii ma
ułatwić dziecku postrzeganie świata realnego
b)posługiwanie się językiem naukowym:
- werbalny w piśmie
- z wykorzystaniem słów, symboli, graficznych elementów
c) ukształtowanie wyobraźni i rozwiniecie intuicji i wyobraźni, która służy
rozwijaniu myśli geometrycznych
d) rozwijanie aktywnej postawy wobec zadań i problemów, zadania
geometryczne mają charakter wielozadaniowy
Cele szczegółowe:
- dzieci muszą być nauczone obserwacji kształtów oraz tego jak się one
zmieniają
- rozpoznawanie, reprodukowanie i uczenie technik graficznego ujmowania
realnego świata
- rozwijanie umiejętności nazywania,. Opisywania kształtów w terminach
geometrycznych
- kształtowanie rozumienia figur geometrycznych, odkrywanie ich własności
- wiązanie treści arytmetycznych i geometrycznych
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Środki dydaktyczne










Klocki konstrukcyjne
Puzzle (+puzzle Happy Cubes, Tantrix)
Domino
Tangram
Geoplan
Łamigłówki
PUS
Origami
Liczby w kolorach
Gry edukacyjne (np. karty
matematyczne)

http://www.rozegrane.tropy.pl
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
Dziękuję za uwagę 
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
S. Sokołowski proponuje inny podział zadań:

problemowe – proste i złożone

bezproblemowe - proste i złożone

Zadania bezproblemowe to zadania, w których treść stanowi oprawę dla mechanizmu ćwiczeń w
pamięciowym liczeniu. Uczeń w tego rodzaju zadaniach, nie napotyka na trudności, dlatego rozwiązuje je
bez większego wysiłku,.,.,., Intelektualnego. Głównym celem rozwiązywania zadań bezproblemowych jest
zdobycie wprawy w rozwiązywaniu danego typu zadań.

Zadania problemowe to sytuacja problemowa, w której na kanwie określonej tematyki są ukazane
wielkości dane i poszukiwane, pozostające ze sobą w określonych zależnościach. Ustalenie poszukiwanej
wielkości oraz wykrycie związków i zależności stanowi dla ucznia określony problem matematyczny ujęty w
postaci pytania.

Aby odpowiedzieć na pytanie, czy dane zadanie jest zadaniem tekstowym problemowym, wystarczy
sprawdzić, czy spełnia ono warunki problemowości i posiada istotne cechy sytuacji problemowej, które
wymienia Wincenty Okoń, a zostały już omówione w rozdziale 1.2. niniejszej pracy.

W zadaniach typu problemowego wyróżnia się zadania o problemach otwartych i zamkniętych.

Zadanie otwarte daje najwięcej możliwości aktywizacji myślenia uczniów, gdyż problemy matematyczne
tych zadań nie są do końca określone i pozwalają na swobodę przy ich rozwiązywaniu. Luki umożliwiają
dobieranie dowolnych wielkości oraz działań matematycznych, dają swobodę w doborze tematyki pytań i
odpowiedzi.

Zadanie o problemach zamkniętych zawiera dokładnie sprecyzowane zagadnienie, poprawnie
sformułowane pytanie, a odpowiedź jest z góry zdeterminowana.
Natomiast Zofia Cydzik zadania podzieliła na:

Zadania — ćwiczenia, ułatwiające abstrahowanie i uogólnianie podstawowych pojęć.

Zadania — ćwiczenia, doprowadzające do zrozumienia zależności wzajemnie odwrotnych między
działaniami logicznie pokrewnymi.

Zadania — ćwiczenia, udostępniające uczniom zrozumienie porównywania ilorazowego.

Zadania — ćwiczenia, uzmysławiające uczniom strukturę złożonego zadania tekstowego i genezę
odpowiadającą jego strukturze matematycznej — formuły z nawiasami.
Jeszcze inny podział zastosowała Z. Krygowska

1. Zadanie metodologiczne.

2. Zadanie — ćwiczenia.

3. Zadanie — zastosowanie matematyczne.
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.

4. Zadanie — gry i zabawy.
Gadowicz
M. Potemkowska proponuje następującą procedurę:
1. Zapoznanie uczniów z sytuacją problemową i uświadomienie trudności przy różnych
kategoriach zadań:
 a) zadania gotowe z podręcznika lub ułożone przez uczniów ,
 b) zadania z luką
 c) ilustracje
 d) aktualnie przeżywana sytuacja życiowa
 e) formuły arytmetyczne
2. Wytwarzanie pomysłów rozwiązań,
3. Rozwiązanie.
4. Weryfikacja.
Maria Porębska także wyróżnia trzy etapy rozwiązywania zadań:
1. Zapoznanie się z zadaniem

czytanie ze zrozumieniem pojęć,

rozróżnianie danych,

poznawanie pytań,

wydobycie z tekstu zagadnienia do rozwiązania.
2. Rozwiązanie

pomysły rozwiązania,

sposoby rozwiązania,

stosowanie schematów.
3. Sprawdzanie wyników rozwiązania.

porównanie otrzymanych wyników z przewidywanymi wcześniej,

zastanawianie się, czy zadanie można rozwiązaćNPDN
inaczej,
PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz

odczytanie pytania z zadania i formułowanie na nie odpowiedzi.
a. metody i organizacja nauczania matematyki w klasach I-III ze szczególnym
uwzględnieniem nauczania czynnościowego;
b. zbiory w nauczaniu początkowym matematyki:
określenie zbiorów,
część wspólna, złączenie i różnica zbiorów.
c. kształtowanie pojęć matematycznych:
istota pojęć matematycznych,
proces kształtowania pojęć,
dobór i wykorzystanie środków dydaktycznych w procesie
kształtowania pojęć matematycznych,
pojęcia liczb w zakresie 10,
poszerzanie zakresów liczbowych,
rozumienie związków między liczbami i działań na liczbach,
specyfika kształtowania pojęć geometrycznych.
d. zadania z treścią w klasach I-III:
istota zadań z treścią,
typy i rodzaje zadań z treścią,
sposoby rozwiązywania zadań z treścią,
zadania o treści otwartej,
zastosowanie równań do rozwiązywania zadań,
dobór i wykorzystanie środków dydaktycznych w układaniu i
rozwiązywaniu zadań z treścią.
NPDN PROTOTO we Wrocławiu - J.
Gadowicz
e. kontrola i ocena stanu wiedzy i umiejętności z matematyki
uczniów klas I-