1( kmrk Krk K

Jak wspomnieliśmy, zwykle mamy do czynienia z roczną nominalną stopą
procentową. W praktyce, gdy wykonuje się odpowiednie wyliczenia wartości kapitału,
dane są daty początkowa i końcowa okresu oprocentowania. Jeśli rozważana jest
kapitalizacja dobowa, to istotne jest obliczenie ile dni jest pomiędzy dwiema
ustalonymi datami i zamiana liczby dni na liczbę lat, gdzie oczywiście liczba lat nie musi
być liczą naturalną, tylko może to być rok i 7 dni itp. Ta zamiana oczywiście łączy się z
m. Przypomnijmy:
m
stosunek dłłgośc okresu stopy procentowej
dłługośc okresu kapitaliza cji
Przyjmuje się zwykle (nie zawsze, ale zazwyczaj), że odsetki nie są naliczane za
dzień początkowy tego okresu (w sensie nie są naliczane za dzień wpłaty), ale za dzień
końcowy już są liczone (zwykle jeden z tych dni właśnie jest brany pod uwagę i częściej
bierzemy dzień końcowy = dzień lokaty, przynajmniej przy lokacie). Oprocentowanie
kredytu bywa jednak obliczane od pierwszego dnia , czyli dnia wypłaty kredytu (z
ostatnim dniem, czyli dniem spłaty też różnie to bywa).
Obliczenie liczby dni w rozważanym okresie może być wykonane w oparciu o czas
bankowy lub o czas kalendarzowy. Oczywiście, w większości sytuacji liczba dni według
czasu kalendarzowego jest większa od liczby dni wg czasu bankowego dla danego okresu.
Zatem dla wierzyciela (tego co użycza nam pieniądzy) na ogół korzystniejsze jest
obliczanie dokładnej kalendarzowej liczby dni, a dla dłużnika bankowej liczby dni.
Dokonując zamiany liczby dni na liczbę lat dla danego okresu czasu. Dzielimy więc
liczbę dni tego okresu przez liczbę dni w roku, tyle że znów liczbę dni okresu czasu z
licznika i liczba dni w roku z mianownika możemy liczyć przecież wg czasu
kalendarzowego lub czasu bankowego
liczba lat
liczba dni okresu czasu
liczba dni w roku
W rezultacie otrzymujemy cztery różne warianty obliczania z jaką liczbą lat mamy
do czynienia. Czyli dla wierzyciela najlepiej jest dzielić liczbę dni okresu czasu wg roku
kalendarzowego przez liczbę dni w roku wg czasu bankowego, przypomnijmy, ze rok
bankowy ma 360 dni, czyli rachunek czasu według tzw. Reguły bankowej (tak jak
powyżej, bo to jest najbardziej korzystne dla banku jak dzielimy jak najwięcej przez jak
najmniej w udzielaniu kredytu.). Główne dochody banków pochodzą przecież z udzielania
kredytów, czyli banki są w tych sytuacjach wierzycielami. Dla dłużnika najkorzystniejszy
jest rachunek dni według czasu bankowego i zamiana liczby dni na liczbę lat
kalendarzowych.
W dalszych rozważaniach będziemy stosować głównie czas bankowy zarówno do
obliczania liczby dni jak też rok bankowy przy obliczaniu odpowiedniej ilości liczby lat (o
ile to nie będzie zaznaczone inaczej).
Przypomnijmy:
Dla kapitalizacji prostej niezgodnej:
_
(15)
Pk / m
K 0 (1 k r ) K 0 (1 k
r
)k
m
0,1,2....
Model kapitalizacji prostej stosuje się najczęściej przy oprocentowaniu kont z
często zmieniającym się saldem, czyli stanem rachunku, np. kwot na rachunkach
bankowych. Jedną z możliwych dróg wyznaczania stanu konta jest tzw. Metoda liczb
procentowych, którą przedstawimy.
1
METODA LICZB PROCENTOWYCH
Niech r (r>0) oznacza roczną stopę procentową. Jeśli stosowana jest dobowa
kapitalizacja prosta z dołu to przyszła wartość K t kwoty wyjściowej K0 (K0 >0) po t dniach
dla t=1,2,3… zgodnie ze wzorem (15) jest równa (t/360 bo jesteśmy w roku bankowym):
(18)
Kt
Pt / 360
K 0 (1 t
r
)
360
t
zaś odsetki proste Z
Z j za ten okres wynoszą Z K 0 t
j 1
Czynnik K0t nazywamy liczbą procentową, zaś
r
360
360
nazywa się dzielnikiem
r
procentowym (dobra jest kolejność licznika I mianownika!!). Jak widać, liczba
procentowa jest funkcją czasu (liczby dni t), zaś dzielnik procentowy jest stałą przy
ustalonej stopie procentowej r. (czyli odsetki to liczba procentowa PODZIELONA przez
dzielnik procentowy).
Załóżmy, że na rachunku bankowym dokonano N operacji bankowych (dla
N=1,2,3…) czyli wpłat I wypłat, przy czym oznaczmy przez Sj wartość kwoty j-tej
operacji, gdzie j=1,…,N. Przyjmujemy, ze wartości wpłat są dodatnie, zaś wartości wypłat
są odpowiednimi liczbami ujemnymi. ( czyli kwota wypłaty jest poprzedzona znakiem
minus). Niech tj oznacza liczbę dni, które upłynęły od dnia j-tej operacji do dnia
rozrachunku. Przy tych oznaczeniach wobec (18), stan konta bankowego w dniu
rozrachunku oznaczony przez K (K jest oczywiście zależne od czasu) wynosi:
K S1 (1 t1
r
r
) S 2 (1 t 2
) ....
360
360
S N (1 t N
r
)
360
N
S j (1 t j
j 1
r
)
360
N
Sj
j 1
r
360
N
S jt j )
j 1
Zwykle zakładamy, że t maleje, czyli t1 >t2>…>tn I pomiędzy tymi t odbywają się
operacje S1, S2 itp. Czyli
N
(19) K
Sj
j 1
r
L , gdzie L
360
N
S jt j
j 1
Liczbę L nazywa się sumaryczną liczbą procentową. (bo to sumowanie liczb
procentowych, mamy przecież sumowanie iloczynów kwota razy liczba dni!). Zatem w
N
celu wyznaczenia stanu konta K możemy wyznaczyć liczby L oraz
S j I wykonać
j 1
działania zgodnie z (19).
Przykład 6
Na rachunku bankowym dokonano następujących operacji:
01.12.2006 wpłata 500 PLN
15.01.2007 wypłata 150 PLN
01.02.2007 wpłata 400 PLN
01.03.2007 wypłata 200PLN
Zakładamy, że stosowana jest dobowa kapitalizacja prosta z dołu przy rocznej stopie
procentowej 12%. Czyli r=0,12. Wyznaczymy stan rachunku w dniu 1.06.2007.
Zastosujemy metodę liczb procentowych. Stosując standardowe liczby dni według czasu
bankowego począwszy od dnia następnego po dniu operacji wpłaty lub wypłaty.
2
Przedstawimy odpowiednie wyliczenia zamieszczone w tabeli.
Nr
(j)
operacji
Data
operacji
1
2
01.12.2006
15.01.2007
Kwota
operacji(PLN
)
(Sj)
500
-150
3
4
01.02.2007
01.03.2007
400
-200
Stan
konta(PLN)
(bez
odsetek)
500
350
750
550
Liczba dni do
dnia
01.06.2007
(tj)
180 (6x30)
135 (5x30 15)
120 (4x30)
90 (3x30)
Liczba
procentowa
(Sjtj)
90 000
-20 250
48 000
-18 000
4
Sj
550
j 1
4
S j t j 99 750
j 1
4
Zatem L
S j t j 99 750
j 1
Stosując wzór (19) mamy, że stan konta w dniu 01.06.2007 wynosi
4
K
Sj
j 1
L
r
550
360
0,12
99750
360
550
1
99750
3000
550
33,25
583 ,25 [ PLN ]
W analogiczny sposób można wykonać obliczenia uwzględniając kalendarzową liczbę dni
(ale pozostawiamy 360 jako liczba dni w roku, czyli stosując regułę bankową), czy też
uwzględniać dzień dokonania operacji na rachunku w rozważanej odpowiedniej liczbie
dni.
3