Zjawiska transportu.

Zjawiska transportu
22.
22-1
Zjawiska transportu
Zjawiska transportu są zjawiskami, które występują jeżeli układ
termodynamiczny nie jest w stanie równowagi:
!
i. v ≠ const - w układzie występuje makroskopowy przepływ gazu lub
cieczy,
ii. n ≠ const - w układzie występują różnice stężeń,
iii. T ≠ const - w układzie występują różnice temperatury.
W przypadku i. występuje zjawisko nazywane lepkością albo
transportem pędu.
W przypadku ii. występuje zjawisko dyfuzji albo transportu masy.
W przypadku iii. występuje przewodnictwo cieplne albo transport energii.
Zjawiska transportu związane są z oddziaływaniami między
cząsteczkami jakie mają miejsce w czasie ich zderzeń, są zatem
konsekwencją specyficznych sił międzycząsteczkowych i skończonych
rozmiarów cząsteczek.
Zjawiska transportu można wyjaśnić, jeżeli przyjmie się model
cząsteczek – kul bilardowych o określonej średnicy i oddziałujących tylko
w czasie sprężystych zderzeń.
−10
Średnice cząsteczek są rzędu d ~ 10 m . W warunkach normalnych w
−7
gazie średnie odległości między cząsteczkami są rzędu 10 m .
Średnia droga swobodna cząsteczki i średni czas między zderzeniami
Do zderzenia dochodzi jeżeli r < d
Zjawiska transportu
22-2
W czasie ∆t cząsteczka przebywa średnio drogę
v ⋅ ∆t ,
zakreślając objętość
∆V = v ⋅ ∆t ⋅ π ⋅ d 2 .
W tej objętości średnio znajduje się
∆N = ∆V ⋅ n
środków innych cząsteczek gazu, z którymi wybrana cząsteczka zderza
się. Zatem w czasie ∆t cząsteczka zderza się średnio z
∆N = n ⋅ v ⋅ π ⋅ d 2 ⋅ ∆t
razy. W jednostce czasu zachodzi zatem średnio zderzeń
s=
∆N
=π ⋅d2 ⋅n⋅v.
∆t
Ponieważ inne cząsteczki też się poruszają, to we wzorze powinna
występować średnia względna prędkość cząsteczek, która jest 2 razy
większa. Ostatecznie średnia częstość zderzeń wynosi
s = 2 ⋅π ⋅ d 2 ⋅ n ⋅ v
~ 109 s-1 ,
a średni czas między zderzeniami
τ=
1
2 ⋅π ⋅ d 2 ⋅ n ⋅ v
~ 10 −9 s .
Zjawiska transportu
22-3
Średnia odległość przebywana przez cząsteczkę między kolejnymi
zderzeniami nazywa się średnią drogą swobodną i wynosi
λ = v ⋅τ =
1
2 ⋅π ⋅ d 2 ⋅ n
~ 10 −7 m .
W warunkach normalnych w gazie
λ >> d .
Zjawisko lepkości w gazie rozrzedzonym ( λ >> d )
Między dwiema płaszczyznami, które poruszają się względem siebie z
prędkością v znajduje się warstwa rozrzedzonego gazu.
Poruszająca się płaszczyzna wprawia w ruch dodatkowe masy gazu
z czym związana jest siła oporu nazywana siłą lepkości. W warstwie
gazu o grubości h prędkość przepływu gazu zmienia się od v do 0.
! "
Występuje zatem gradient średniej prędkości v = u (z ) skierowany
prostopadle do prędkości przepływu.
Siła lepkości występuje również w samym gazie między sąsiednimi
warstwami poruszającymi się z innymi prędkościami. Jej źródłem jest
wymiana cząsteczek między warstwami. Zaznaczoną warstwę
cząsteczki opuszczają i wnikają do niej w wyniku ruchu termicznego
cząsteczek.
Wymiana cząsteczek przez dolną granicę powoduje spowolnienie
!"
warstwy i przyspieszenie dolnej.
Wymiana cząsteczek przez górną granicę powoduje przyspieszenie
!"
warstwy i spowolnienie górnej.
Zjawiska transportu
22-4
Prędkość przepływu gazu ma składową poziomą u x << v dużo mniejszą
od średniej prędkości ruchu termicznego i zmieniającą się wraz ze
współrzędną z.
Weźmy pod uwagę umowną powierzchnię graniczną między warstwami
gazu na wysokości z. Cząsteczki poruszają się w przypadkowych
kierunkach i w czasie ∆t średnio przejdzie przez powierzchnię
ograniczającą warstwę z góry w dół
1
n ⋅ v ⋅ ∆t ⋅ ∆S
6
i taka sama liczba przejdzie z dołu do góry.
Cząsteczki przechodzące z dołu do góry ostatni raz zderzyły się z innymi
średnio w odległości λ poniżej, czyli w miejscu o współrzędnej z + λ .
Zatem ich składowa pozioma prędkości wynosi u x ( z + λ ) .
Przenoszą one wszystkie składową pędu p x (związaną z przepływem) w
ilości
1
n ⋅ v ⋅ m ⋅ u x ( z + λ ) ⋅ ∆t ⋅ ∆S .
6
Podobnie cząsteczki przechodzące z góry w dół przenoszą przez
powierzchnię graniczną pęd
1
n ⋅ v ⋅ m ⋅ u x ( z − λ ) ⋅ ∆t ⋅ ∆S .
6
Wypadkowy transport pędu przez powierzchnię między warstwami
wyniesie
1
n ⋅ v ⋅ m ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ [u x ( z − λ ) − u x ( z + λ )] .
6
∂u x
λ
∂z
∂u
ux ( z − λ ) ≈ ux ( z ) − x λ
∂z
ux ( z + λ ) ≈ ux ( z ) +
Ostatecznie wynosi on
∂u
1
− n ⋅ v ⋅ m ⋅ λ x ∆t ⋅ ∆S .
3
∂z
Zjawiska transportu
22-5
Zgodnie z II zasadą dynamiki zmiana pędu na jednostkę czasu równa
jest sile (lepkości)
∂u
∂u
1
Fzx = − n ⋅ v ⋅ m ⋅ λ x ∆S = −η ⋅ ∆S x .
3
∂z
∂z
Nowy współczynnik nazywa się współczynnikiem lepkości (tu obliczony
dla gazu rozrzedzonego)
1
η = n⋅v ⋅m⋅λ .
3
W naszym przykładzie
∂u x u
= , czyli wartość siły lepkości
∂z
h
F = η ⋅ ∆S ⋅
u
~u
h
jest proporcjonalna do prędkości.
W gazie
λ=
1
3kT
oraz
v
≈
2 ⋅π ⋅ d 2 ⋅ n
m
zatem
1
1 m
kmT
v
=
η = n⋅v ⋅m⋅λ =
.
3
3 2 πd 2
6πd 2
η~ T
Lepkość nie zależy od ciśnienia gazu jeżeli tylko gaz jest rozrzedzony
( λ >> d ) ale nie za bardzo. W gazie bardzo rozrzedzonym ( λ > D )
dominują zderzenia z poruszającymi się powierzchniami i siła lepkości
zleży od ciśnienia.
Zjawiska transportu
22-6
Przewodnictwo cieplne (transport energii) w gazie rozrzedzonym
W stanie stacjonarnym (ustalonym) w gazie ustali się rozkład
temperatury wzdłuż osi z od T1 do T2. Przez gaz przepływa ciepło. Gaz
nie jest w stanie równowagi (występuje gradient temperatury).
Cząsteczki przechodzą przez umowną powierzchnię graniczną
z = const w obie strony przenosząc energię (kinetyczną ruchu
termicznego).
1
n ⋅ v ⋅ m ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ E ( z − λ )
6
Energia przenoszona przez
cząsteczki z dołu do góry
1
n ⋅ v ⋅ m ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ E ( z + λ )
6
i z góry na dół
Wypadkowy transport energii (ciepła) przez powierzchnię graniczną
z = const wynosi
∂E
1
∆Q = − n ⋅ v ⋅ m ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ 2λ
∂z
6
∆Q
W 
- strumień ciepła
 m 2 
∆S ⋅ ∆t
∂ E ∂ E ∂T
=
⋅
∂z ∂T ∂z
∂E
np.: E = 23 kT i c = 23 k
c≡
∂T
Strumień ciepła – ilość ciepła przewodzonego przez
jednostkową powierzchnię w jednostce czasu.
Zjawiska transportu
22-7
Strumień ciepła (energii) jest wektorem o kierunku gradientu temperatury
i przeciwnym zwrocie.
1
∂T
SQz = − n ⋅ v ⋅ λ ⋅ c ⋅
3
∂z
SQz = −κ
∂T
∂z
κ - współczynnik przewodnictwa
cieplnego
!
!
SQ = −κ ⋅ gradT = −κ ⋅ ∇T
równanie przewodnictwa cieplnego
Dla gazu rozrzedzonego κ wynosi
1
1 c
1 c
v
=
κ = n⋅v⋅c⋅λ =
3
3 2 πd 2
6 πd 2
kT
m
dla argonu w T = 273 K
κ = 1.65 ⋅ 10− 2
κ~ T
κ c CV
= =
η m M
CV – ciepło molowe
M – masa molowa
W rzeczywistości
κ
CV
η
M
∈ (1.3, 2.5)
W
mK
Zjawiska transportu
22-8
Dyfuzja (transport masy)
Dla uproszczenia rachunków zajmiemy się zjawiskiem samodyfuzji. Z
samodyfuzją mamy do czynienia jeżeli gaz składa się z cząsteczek
jednego rodzaju, z których część jest oznaczona (np. radioaktywna albo
różniąca się składem izotopowym).
Np. CO2: 12C16O18O i
14
C16O16O
n1 – koncentracja cząsteczek znaczonych
W stanie równowagi n1 = const jest stała w całej objętości.
Załóżmy, że z jakiegoś powodu w gazie został wytworzony
nierównomierny rozkład cząsteczek znaczonych
n1 = n( z )
przy czym ciśnienie jest stałe
nC = const .
W takiej sytuacji układ nie jest już w stanie równowagi.
Oznaczmy przez J z - strumień cząsteczek znaczonych przez
powierzchnię z = const
Jz =
∆N 1
∆S ⋅ ∆t
Strumień cząsteczek – liczba cząsteczek przechodzących
przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu
Podobnie jak poprzednio możemy zapisać
1
1
1 ∂n
J z = vn1 ( z − λ ) − vn1 ( z + λ ) = − vλ 1
6
6
3
∂z
J z = −D
∂n1
∂z
Powyższe równanie to jednowymiarowe równanie samodyfuzji.
Zjawiska transportu
22-9
D – współczynnik samodyfuzji
Dla gazu rozrzedzonego D =
1
vλ
3
1 1
D=
6 pπd 2
D~
1 1
~
n p
D ~T
3
( kT ) 3
m
dla T = const
dla p = const
2
dla N2 w temperaturze T = 273 K
i pod ciśnieniem p = 1 atm
D = 0,185 ⋅ 10
D
1
1
=
=
η n⋅m ρ
−4
m2
s
gdzie ρ - jest gęstością gazu
Rzeczywista wartość stosunku
D
η
∈ (1.3, 1.5)
ρ