Zadania z Algebry Liniowej (lista 3) 1. Znaleźć wartości własne i

Zadania z Algebry Liniowej (lista 3)
1. Znaleźć wartości własne i wektory własne następujących przekształceń liniowych
a) f : R2 → R2 , f ([x1 , x2 ]) = [x1 − x2 , x1 + x2 ];
b) g : C2 → C2 , g([x1 , x2 ]) = [x1 − x2 , x1 + x2 ];
c) h : R3 → R3 , h([x1 , x2 , x3 ]) = [x1 + 2x2 + 2x3 , 2x2 + x3 , −x1 + 2x2 + 2x3 ].
2. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne endomorfizmów
liniowych


4 −5 2
pewnej bazie przestrzeni V = C3 przez macierze:
a) A =  5 −7 3 ,
6 −9 4





4 −5 7
2 −
2
0 1
3 ,
b) B =  1 −4 9  ,
c) C =  5 −3
d) D =  −4 4
−4
0 5
−1
0 −2
−2 1
danych w

0
0 .
2
3. Zbadać, które z podanych macierzy można sprowadzić do postaci diagonalnej przez
przejście do innej bazy na ciałem R lub nad ciałem C:






1
1
1
1
−1 3 −1
4 −5 2
 1

1
−1
−1
,
c) C =  −3 5 −1 ,
a) A =  5 −7 3  ,
b) B = 
 1 −1
1 −1 
−3 3
1
6 −9 4
1 −1 −1
1


4 7 −5
0 .
d) D =  −4 5
1 9 −4
4. Wykazać, że przekształcenie f : R2 → R2 dane wzorem
f (x) = [x1 cos α − x2 sin α, x1 sin α + x2 cos α],
gdzie 0 < α < π nie ma podprzestrzeni niezmienniczej różnej od R2 i {0}.
5. Wykazać, że jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to
macierze AB i BA mają jednakowe wielomiany charakterystyczne.
6. Wyznaczyć wszystkie podprzestrzenie trójwymiarowej przestrzeni liniowej V = R3 ,
które są niezmiennicze względem endomorfizmu liniowego o macierzy
−1
1 1

2
0 2 .
A=
4 −2 2


7. Wykazać, że w n-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb zespolonych, każdy
endomorfizm liniowy ma n − 1 wymiarową podprzestrzeń niezmienniczą.
8. Niech λ1 , λ2 . . . , λn będą pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A
Wyznaczyć wartości własne:
(1) przekształcenia liniowego f (X) = AXAT w przestrzeni Mn (R);
(2) przekształcenia liniowego f (X) = AXA−1 w przestrzeni Mn (R), gdzie macierz A
jest nieosobliwa.
9. Wykazać następujące własności endomorfizmów liniowych:
(1) jądro oraz obraz endomorfizmu liniowego f są niezmiennicze względem f ;
(2) każda podprzestrzeń zawierająca obraz przekształcenia f jest niezmiennicza względem f ;
1
(3) jeśli podprzestrzeń W jest niezmiennicza względem f , to jej obraz i przeciwobraz
też są niezmiennicze względem f ;
(4) jeśli f jest automorfizmem, to podprzestrzeń niezmiennicza względem f jest również
niezmiennicza względem f −1 .
10. Niech λ0 ∈ K oraz
λ0 1 0 0
 0 λ0
0 0 
.
A=
 0
0 λ0 1 
0 0 0 λ0
Wyznaczyć krotność algebraiczną ka (λ0 ) oraz krotność geometryczną kg (λ0 ).


11. Znaleźć warunek konieczny i wystarczający na to by macierz
A=
a b
c d
∈ M2 (C)
była diagonalizowalna.
12. Wyznaczyć wartości własne macierzy AT A, gdzie A jest macierzą o jednym wierszu
A = [a1 a2 . . . an ].
13. Wykazać, że wszystkie wartości własne macierzy A są różne od zera wtedy i tylko
wtedy, gdy macierz A jest odwracalna.
14. Wykazać następujące własności wielomianu charakterystycznego
(1) współczynniki wielomianu det(A + tI) = tn + c1 tn−1 + · · · + cn−1 t + cn są sumami
minorów głównych odpowiedniego stopnia macierzy A;
(2) suma i iloczyn wartości własnych macierzy A są równe odpowiednio jej śladowi i
wyznacznikowi,
(3) każdy wielomian stopnia n o najwyższym współczynniku (−1)n jest wielomianem
charakterystycznym pewnej macierzy stopnia n.
15. Wykazać, że jeśli f : V → V jest endomorfizmem liniowym i λ2 jest wartością własną
endomorfizmu f 2 , to λ lub −λ jest wartością własną f .
16. Niech f1 , f2 , . . . , fn będą endomorfizmami skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem C takimi, że f◦ fj = fj ◦ fi dla dowolnych i, j.
(1) Wykazać, że istnieje wektor własny wspólny wszystkim przekształceniom fi ;
(2) Istnieje baza przestrzeni V w której macierze endomorfizmów fi są górno-trójkątne.
2