Zadania

LINIOWE I NIELINIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE
Zadanie 1. W pewnym przedsiębiorstwie zaobserwowano następujące wydatki na reklamę oraz wielkość sprzedaŜy w kilku okresach [w mln zł]:
Wydatki na reklamę
6
3
4
2
7
5
SprzedaŜ
11,5
7
9
5
12,5
10,5
a) Narysuj wykres dla danych obserwacji. Jaką jest postać zaleŜności sprzedaŜy od wydatków na reklamę?
b) Zakładając istnienie liniowej zaleŜności pomiędzy tymi zmiennymi oszacuj parametry modelu i zinterpretuj je. Podaj postać modelu.
c) Przeprowadź weryfikację merytoryczną oraz statystyczną otrzymanego modelu:
•
Oceń jego dopasowanie do wyników obserwacji
•
Określ oszacowanie odchylenia standardowego składnika losowego i oblicz błędy ocen parametrów
•
Zbadaj istotność ocen parametrów dla α=0,05 (t*=2,776)
d) Jakiej sprzedaŜy naleŜy się spodziewać przy wydatkach na reklamę w kwocie 8 mln zł?
Zadanie 2. W kolejnych latach zaobserwowano następującą sprzedaŜ cukru w pewnej cukrowni (w tys. ton):
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
16
15,5
14,9
13,8
12,6
12,6
11,4
10,3
9,7
9,2
Postawiono hipotezę, Ŝe trend na postać liniową: Y=β1t+β2.
a) Oszacuj parametry trendu i podaj ich interpretację.
b) Przeprowadź weryfikację statystyczną otrzymanego modelu – dopasowanie, błędy ocen parametrów oraz istotność zmiennej objaśniającej.
c) Jakiej sprzedaŜy naleŜy oczekiwać w 2008 roku?
Zadanie 3. (D) Zweryfikuj statystyczną istotność ocen parametrów strukturalnych modelu: Y=-8X1+2X2+17 wiedząc, Ŝe odchylenie standardowe składnika
losowego s=3,2; tKR=2,228 oraz znając postać macierzy (XTX)-1:
1,1
-0,35
-0,12
-0,35
0,9
-0,53
-0,12
-0,53
2,9
Zadanie 4. W poniŜszej tabeli przedstawiono wielkość zbiorów morel w wybranych latach oraz ceny tego owocu w tym sezonie:
Zbiór (tys. ton)
5,2
2,8
3,2
4,9
3,8
Cena (zł/kg)
5
8
7,5
6
7
a) Zakładając, Ŝe cena morel zaleŜy od zbioru w danym roku zgodnie z modelem hiperbolicznym, oszacuj parametry takiego modelu.
b) Zinterpretuj wartości parametrów
c) Określ dopasowanie modelu do obserwacji.
d) Postaw prognozę cen morel w roku, w którym zebrane zostanie 6 tys. ton morel.
Zadanie 5. Ilość punktów ksero w pewnym mieście wynosiła w kolejnych latach:
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
70
120
149
185
209
243
258
Zakładając, Ŝe ilość tych punktów zwiększała się zgodnie z trendem potęgowym, oszacuj jego postać, zweryfikuj model oraz postaw prognozę na rok 2005.
Zadanie 6. Tabela przedstawia miesięczne wydatki na warzywa na osobę
zaobserwowane w kilku rodzinach w zaleŜności od dochodów na głowę:
Przeciętny dochód (w zł) Przeciętne wydatki na warzywa (w zł)
320
30,3
720
48,4
1250
57,1
1755
62,3
2242
67,2
2849
73
Zakładając, Ŝe zaleŜność tą moŜna opisać funkcją Törnquista I rodzaju:
a) oszacuj parametry tej funkcji,
b) podaj, ile wynosi poziom nasycenia,
c) oceń dopasowanie modelu do wyników obserwacji,
d) oblicz jakich wydatków na owoce naleŜy się spodziewać u
osoby zarabiającej 1000 zł,
e) wykorzystując elastyczność funkcji oszacuj wydatki na owoce
dla osoby zarabiającej 1020 zł.
Zadanie 7. Postawiono hipotezę, Ŝe wydatki na szparagi zaleŜą od
dochodów wg funkcji Törnquista II rodzaju:
,gdzie X –
dochód na osobę a Y wydatki (zł/tydz). Po linearyzacji i podstawieniu
takim, Ŝe Z1=1/X, a Z2=Y/X, oszacowano model pomocniczy:
Y=-13650Z1-110Z2+65 (R2=92,6%)
a) Odtwórz parametry modelu oryginalnego
b) W rodzinach o jakich dochodach nie obserwuje się wydatków
na szparagi?
c) Jakiej kwoty nie przekroczą wydatki na szparagi?
d) Oblicz wielkość wydatków na szparagi dla tygodniowego
dochodu równego 350zł?
Zadanie 8. (D) Postawiono hipotezę, Ŝe wydatki na odzieŜ zaleŜą od
, gdzie X
dochodów wg funkcji Törnquista III rodzaju:
– miesięczny dochód na osobę w zł, Y miesięczne wydatki w zł.
Po linearyzacji i podstawieniu takim, Ŝe Z1=X, a Z2=Y/X, oszacowano
model pomocniczy: Y=0,3Z1-950Z2-48 (R2=91,3%).
a) Odtwórz parametry modelu oryginalnego.
b) W rodzinach o jakich dochodach nie obserwuje się wydatków na to
dobro?
c) Zaprognozuj wydatki na to dobro w rodzinie zarabiającej 1250 zł/os?
Zadanie 9. Liczba samochodów w pewnym powiecie kształtowała się w
ostatnich latach według trendu wykładniczego: Y=32000e0,002t. W roku
t=0 w powiecie było 32000 samochodów. Oszacuj ilość samochodów w
powiecie w roku t=10, korzystając ze stopy wzrostu funkcji.
Zadanie 10. Popyt na konserwy rybne firmy Z, mierzony miesięczną
sprzedaŜą S (w mln puszek) zaleŜy od ceny C (w zł/puszkę) oraz
poziomu dochodu konsumentów D (w zł/osobę) w następujący sposób:
S = 70 D0,8 C-3. Koszty produkcji (K) zaleŜą od wielkości produkcji (Q)
w następujący sposób: K = 20 + 2 Q.
Produkcja równa jest sprzedaŜy, a aktualna cena C wynosi 4 zł, a
sprzedaŜ 12 mln puszek miesięcznie.
a) Podaj aktualny przychód, koszt i zysk.
b) Jak zmieni się sprzedaŜ konserw jeśli ich cena zostanie
obniŜona o 5%. Skorzystaj z elastyczności.
c) Ile wyniesie nowa cena i wielkość sprzedaŜy?
d) Oblicz nowy przychód, koszt i zysk i oceń czy decyzja
zmniejszenia ceny była słuszna?
Zadanie 11. ZaleŜność między ceną kaloryferów (C – w zł/szt) a
popytem na nie (X - w szt) wyraŜa się wzorem: C=720-15X, natomiast
koszty produkcji zaleŜą od ilości produkowanych kaloryferów (X – w
szt) wg następującego wzoru: K=3200+30X+8X2.
a) Oblicz zysk przy aktualnej produkcji 20 kaloryferów
b) Określ wielkość produkcji maksymalizującą zysk. Ile on wynosi?
c) Wyznacz wielkość produkcji minimalizującą koszt jednostkowy. Ile
on wynosi i jaki jest wtedy zysk jednostkowy?