Algebra Liniowa z Geometrią Zestaw 13 Wektory i wartości własne 1

Algebra Liniowa z Geometrią
Zestaw 13
Wektory i wartości własne
1. Wyznaczyć wektory i wartości własne następujących przekształceń.
h 2 −1 2 i
(1) f : R3 → R3 , Mfe,e = 5 −3 3 .
0 i
−2
h −1
0 1 0
e,e
3
3
−4
4
0
.
(2) f : R → R , Mf =
1 2
−2
3 −1 0 0
e,e
4
4
1 1
0 0
(3) f : R → R , Mf = 3 0 5 −3 .
4 −1 3−1
(4) f : F23 → F23 , Mfe,e = [ 12 21 ].
(5) Φ : R[t]n → R[t]n , Φ(f ) := f 0 .
(6) Φ : R[t]n → R[t]n , Φ(f ) := f − tf 0 .
2. Zbadać, które z poniższych macierzy można sprowadzić do postaci diagonalnej (nad R lub C). Znaleźć odpowiednią bazę i postać
macierzy.
h 4 7 −5 i
(1) −4 5 0 .
11 19 −4
1 1
1 1 −1 −1
(2) 1 −1 1 −1 .
1 −1 −1 1
3. Wyznaczyć wartości własne macierzy AT A, gdzie A = [a1 , . . . , an ].
4. Wyznaczyć wszystkie podprzestrzenie
h liniowe
iniezmiennicze wzglę4
−2
2
e,e
dem przekształcenia f : R3 → R3 , Mf = 2 0 2 .
−1 1 1
5. Wyznaczyć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze przekształcenia liniowego Φ : R[t]n → R[t]n , Φ(f ) := f 0 .
6. Wyznaczyć wszystkie podprzestrzenie, które są jednocześnie niezmiennicze względem
liniowych f, g : R3 →
h −6 przekształceń
i
h 5 −1 −1 inastępujących
2
3
R3 , Mfe,e = −1 5 −1 , Mge,e = 2 −3 6 .
−1 −1 5
3
6 2