1) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany

STEREOMETRIA
1) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany bocznej jest trzy razy mniejsze od pola
podstawy.
a) Oblicz objętość tego ostrosłupa przyjmując, że długość krawędzi podstawy wynosi 14 cm.
b) Wyznacz sinus kata między sąsiednimi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa.
2) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości b jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod katem 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa oraz wyznacz
cosinus kąta płaskiego ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa.
3) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych wynosi
60°. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 16(1 + 2 )
a)Wyznacz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
b)Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej.
4) Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 21 . Ściana boczna ostrosłupa
tworzy z płaszczyzną podstawy kat o mierze 60°
a)Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz pole jego przekroju wyznaczonego przez wysokość i krawędź boczną
ostrosłupa.
b)Oblicz odległość wierzchołka podstawy ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.
5) Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy większe od pola jego podstawy,
długość krawędzi podstawy wynosi 3 2 .
a)Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi
ostrosłupa.
b)Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wysokości sąsiednich ścian bocznych.
6) Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy mniejsza niż suma
długości wszystkich krawędzi pewnego sześcianu. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 12,
sinus kąta między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa wynosi
13
5
.
a)Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz wyznacz cosinus kąta między krawędziami bocznymi ostrosłupa.
b)Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej ostrosłupa do pola powierzchni całkowitej sześcianu.
7) Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego tworzą z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60°.
Promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa ma długość R. Oblicz objętość i pole powierzchni
całkowitej tego ostrosłupa oraz wyznacz cosinus kąta między jego sąsiednimi krawędziami bocznymi.
8) Długość wysokości prawidłowego ostrosłupa czworokątnego wynosi 7 3 , a krawędź boczna tego ostrosłupa
jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°.
a)Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b)Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do
płaszczyzny podstawy pod katem 30°.
9) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi bocznej jest równa długości krawędzi
podstawy, a pole ściany bocznej jest równe 72 3 .
a)Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej.
b)Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi
podstawy i wierzchołek ostrosłupa.
10)
Przekrojem osiowym walca jest prostokąt o polu 48. Objętość walca jest równa objętości bryły
powstałej przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 6 i 8 dookoła
przeciwprostokątnej. Oblicz pole pow. całkowitej walca.
11)
Objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego wynosi 576 3 . Długość promienia okręgu wpisanego w
podstawę ostrosłupa wynosi 4 3 .
a)Wyznacz miarę kata nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz oblicz pole
powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b)Oblicz odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej.
12)
Dane są: prawidłowy ostrosłup trójkątny o długości krawędzi podstawy równej 10 i kącie nachylenia
ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynoszącym 30° oraz prawidłowy graniastosłup czworokątny, w
którym przekątna ściany bocznej o długości 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 30°.
a)Oblicz o ile pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest większe od pola powierzchni całkowitej
ostrosłupa.
b)Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch
krawędzi podstawy.
13)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 4, a pole przekroju tego
ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i przekątną podstawy wynosi 6 14 .Oblicz pole
powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz wyznacz odległość środka wysokości ostrosłupa od jego ściany
bocznej.
14)
Przekątne dwóch ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka są nachylone do
płaszczyzny podstawy pod kątami α i β takimi, że tgα = 4 oraz tgβ = 2. Suma długości wszystkich krawędzi
prostopadłościanu jest równa 56.
a)Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.
b)Wyznacz cosinus kąta ϕ między przekątnymi ścian bocznych prostopadłościany wychodzącymi z jednego
wierzchołka oraz wykaż, że cosϕ = sinα⋅sinβ.
15)
Długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym wynoszą odpowiednio 2
oraz 5. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej z obrotu tego trójkąta dookoła:
a)prostej zawierającej najkrótszy bok trójkąta.
b)prostej zawierającej najdłuższy bok trójkąta.
16)
W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym krawędzie boczne maja długość 17 . Pole powierzchni bocznej
ostrosłupa jest 4 3 razy większe od pola jego podstawy. Oblicz objętość ostrosłupa oraz odległość środka
wysokości ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.
17)
Objętość prawidłowego graniastosłupa trójkątnego wynosi 432 3 . Długość promienia okręgu
wpisanego w podstawę graniastosłupa wynosi 2 3 .
a)Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa oraz wyznacz cosinus kąta między przekątnymi ścian
bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka graniastosłupa.
b)Oblicz pole przekroju graniastosłupa płaszczyzną poprowadzoną przez przekątną ściany bocznej i środek
jego krawędzi bocznej nie zawierającej się w tej ścianie.
18) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości a, przekątna ściany bocznej
tworzy z drugą ścianą boczną kąt o mierze alfa.
a) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.
b*) Znajdź odległość między dwiema prostymi zawierającymi nie przecinające się przekątne dwóch
sąsiednich ścian bocznych tego graniastosłupa.
19) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, o podstawie ABCD i wierzchołku S. Pole trójkąta
ABS jest równe 6 cm2. Punkty E i F SA odpowiednio środkami krawędzi AB i BC. Cosinus kata ESF jest
równy ¾.
a) Oblicz długość wysokości i objętość ostrosłupa ABCDS.
b) Wyznacz tangens kąta nachylenia przekroju ESF do podstawy ABCD ostrosłupa.
20) Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny, którego przeciwprostokątna jest równa a.
Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem α.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
21). Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S . Pole trójkąta
ABS wynosi 6 cm 2 , a cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy tego
3
ostrosłupa jest równy .
4
a. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDS .
b. Punkt E jest środkiem krawędzi BC .Oblicz cosinus kąta DES .