Zadania ze statystyki matematycznej
Transkrypt
Zadania ze statystyki matematycznej
Jan Rusinek 50 zadań ze statystyki matematycznej dla studentów ZARZĄDZANIA z rozwiązaniami UWAGA! Ten tekst jest w trakcie przygotowania i sprawdzania. Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany i umieszczany pod aktualną datą! Autor będzie wdzięczny za uwagi: [email protected] Obecna data 29.2.2016 2 3 Wstęp Zbiorek ten zawiera zadania ze statystyki matematycznej wybrane z zadań przerabianych na zajęciach, zadań domowych i egzaminacyjnych na studiach drugiego stopnia kierunku zarządzanie w Wyższej Szkole Menedżerskiej w Warszawie. Część rachunków jest wykonana przy pomocy darmowego programu calc z pakietu OpenOffice. W zadaniach, w których trzeba samodzielnie obliczać wartości średnie i wariancje, próbki są bardzo niewielkiej liczności. Oczywiście w praktyce używa się znacznie większych próbek. Chodzi jednak o to, aby poznać metody, nie tracąc czasu na żmudne (nawet jeśli używamy komputera, to samo wpisanie danych z dużej próbki zajmuje sporo czasu) obliczenia. Mam nadzieję, że zbiorek ten pomoże studentom w opanowaniu tego przedmiotu i w przygotowaniu się do egzaminu. 4 WZORY I OZNACZENIA µ – wartość średnia σ – odchylenie standardowe n – liczba prób k – liczba Pnsukcesów w n próbach 1 x= n x – średnia z próby i=1 i Pn 1 s2 = n−1 (x − x)2 – wariancja z próby i=1 i √ s = s2 – odchylenie standardowe z próby √s – błąd standardowy n u(p) – p-ty kwantyl rozkładu normalnego N (0, 1) t(p, j) – p-ty kwantyl rozkładu Studenta o j stopniach swobody χ2 (p, j) – p-ty kwantyl rozkładu χ2 o j stopniach swobody F(p, i, j) – p-ty kwantyl rozkładu Snedecora o i, j stopniach swobody Dnobl – statystyka testowa dla rozkładu Kołmogorowa dn (p) – p-ty kwantyl statystyki Dn Kołmogorowa k(p, i, j) – wartość krytyczna rozkładu liczby serii Wzór na dystrybuantę rozkładu jednostajnego na przedziale [a; b]. ( F (x) = 0 x−a b−a 1 dla dla dla x < a, a ¬ x ¬ b, x > b. 5 A) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ Model A1. Rozkład normalny, znane σ. P = [x − l; x + l], l = u(1 − σ α ) . 2 √n Model A2. Rozkład normalny, nieznane σ. P = [x − l; x + l], l = t(1 − α ,n 2 s − 1) √ . n Model A3. Rozkład dowolny, nieznane σ, n 30. P = [x − l; x + l], l = u(1 − s α ) . 2 √n 6 B) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH Model B1. Raczej duża próba (n 30). r h P = k k − l; + l , l = u 1 − n n i α k n 1− 2 k n n . UWAGA. Można też stosować nieco dokładniejszy, ale bardziej skomplikowany wzór q P = u(1 − α 2 ) 2 + 2k 2(n + u(1 − α 2 ) ) 2 − l; u(1 − α 2 ) 2 + 2k 2(n + u(1 − α 2 ) ) 2 +l , l= u α u(1− )2 2 4 k(n−k) n α 2 ) 2 + n + u(1 − . 7 C) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ODCHYLENIA STANDARDOWEGO Model C1. Rozkład normalny. r P = s n−1 ;s χ2 (1 − α , n − 1) 2 r n−1 . χ2 ( α , n − 1) 2 Model C2. Rozkład normalny, duża próba (n 30). " P = √ s p 2(n − 1) 2n − 3 + u(1 − α ) 2 ;√ s # p 2(n − 1) 2n − 3 − u(1 − α ) 2 . 8 MINIMALNA LICZNOŚĆ PRÓBY Model M1. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x − l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny, znane σ. u 1− n α 2 !2 σ . l Model M2. (Procedura Steina) Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x − l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny nieznane σ. n t 1− α , n0 2 −1 s 0 2 l n0 − 1 + 1, n0 gdzie n0 liczność wstępnej próby, x0 = 1 n0 n0 X xi , s20 = i=1 1 n0 − 1 n0 X (xi − x0 )2 . i=1 Po dodaniu n − n0 prób s0przedział ufności liczymy z wzoru: P = [x − l; x + l], gdzie √ . l=t 1− α , n − 1 0 2 n Model M3. Przy wyznaczaniu przedziału ufności mentów wyróżnionych. n u(1 − 4l2 α 2 ) 2 . k n − l; k n + l dla frakcji ele- 9 TESTY ZGODNOŚCI Test χ2 χ2obl = X (wartość zaobserwowana − wartość spodziewana)2 wartość spodziewana . Hipotezę odrzucamy, jeśli χ2obl > χ2 (1 − α, k − 1), k – liczba składników w sumie. Test Kołmogorowa Sprawdzamy, czy próbki pochodzą z rozkładu o dystrybuancie F (x). Ustawiamy próbki w ciąg niemalejący: x1 , . . . xn . Statystyka testowa Dnobl = sup |Sn (x) − F (x)|, x∈IR gdzie ( Sn (x) = 0 i n 1 dla dla dla x < x1 , xi ¬ x < xi+1 , x xn . Hipotezę odrzucamy, jeśli Dnobl > dn (1 − α). Test serii Sprawdzamy, czy dwie próbki pochodzą z takego samego rozkładu. α - poziom istotności, i liczebność pierwszej, a j liczebność drugiej próbki. Dwie próbki ustawiamy we wspólny ciąg rosnący. Serią nazywamy podciąg kolejnych elementów z tej samej próbki. K oznacza liczbę serii. Hipotezę odrzucamy, jeśli K ¬ k(α, i, j). 10 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA ŚREDNIEJ Hipoteza µ = µ0 , W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W Model D1. Rozkład normalny o znanym σ. g = uobl = x − µ0 √ n. σ W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ0 ; W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ > µ0 ; W = (−∞; −u(1 − α )] ∪ [u(1 − α ); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ 6= µ0 . 2 2 Model D2. Rozkład normalny o nieznanym σ, mała próba. g = tobl = x − µ0 √ n. s W = (−∞; −t(1 − α, n − 1)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ0 ; W = [t(1 − α, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ > µ0 ; W = (−∞; −t(1− α , n−1)]∪[t(1− α , n−1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ 6= µ0 . 2 2 Model D3. Rozkład dowolny o nieznanym σ. Duża próba. g = uobl = W jak w modelu D1. x − µ0 √ n. s 11 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARIANCJI Hipoteza σ = σ0 , W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W . Model E1. Rozkład normalny o nieznanych µ i σ, n ¬ 50. Mając do dyspozycji komputer można ten model stosować i do dużych n. g = χ2obl = (n − 1)s2 . σ02 W = (0; χ2 (α, n − 1)] dla hipotezy przeciwnej σ < σ0 ; W = [χ2 (1 − α, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej σ > σ0 ; W = (0; χ2 ( α , n − 1)] ∪ [χ2 (1 − α , n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej σ 6= σ0 ; 2 2 Model E2. - Rozkład normalny o nieznanych µ i σ (n 50). r g = uobl = √ 2(n − 1)s2 − 2n − 3. σ02 W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ0 ; W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ > µ0 ; W = (−∞; −u(1 − α )] ∪ [u(1 − α ); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ 6= µ0 . 2 2 12 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH Hipoteza p = p0 . Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W . Model F1. Próba powinna być raczej duża. g = uobl = k − np0 p . np0 (1 − p0 ) W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej p < p0 ; W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej p > p0 ; W = (−∞; −u(1 − α )] ∪ [u(1 − α ); ∞) dla hipotezy przeciwnej p 6= p0 . 2 2 13 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARIANCJI W DWÓCH POPULACJACH Model G1. Hipoteza σ1 = σ2 . Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W . Gdy hipotezą przeciwną jest σ1 > σ2 , to g = Fobl = s21 s22 . W = [F (1 − α, n1 − 1, n2 − 1); ∞). Gdy hipotezą przeciwną jest σ1 < σ2 , to zamieniamy kolejność próbek. Gdy hipotezą przeciwną jest σ1 6= σ2 , to g = Fobl = max(s21 , s22 ) min(s21 , s22 ) . W = [F(1 − α , nl − 1, nm − 1); ∞), gdzie nl liczność probki o większej wariancji, 2 a nm o mniejszej. 14 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W DWÓCH POPULACJACH Hipoteza µ1 = µ2 , W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W Model H1 – rozkłady normalne znane σ1 i σ2 . g = uobl = x − x2 q 12 σ1 n1 + . 2 σ2 n2 W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 ; W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 > µ2 ; )] ∪ [u(1 − α ); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 6= µ2 . W = (−∞; −u(1 − α 2 2 Model H2. – rozkłady normalne, nieznane, ale równe σ1 i σ2 . g = tobl = x1 − x2 q . (n1 −1)s2 +(n2 −1)s2 1 2 n1 +n2 −2 · n1 +n2 n1 n2 W = (−∞; −t(1 − α, n − 1)] dla hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 ; W = [t(1 − α, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 > µ2 ; W = (−∞; −t(1− α , n−1)]∪[t(1− α , n−1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 6= µ2 . 2 2 Model H3. rozkłady normalne, nieznane σ1 i σ2 , nieduża próbka. Stosujemy statystykę (tzw. statystyka Cochrana i Coxa) g = Cobl = x − x2 q 12 s1 n1 + . s2 2 n2 Przybliżoną wartość kwantyla c(p, n1 , n2 ) znajdujemy z wzoru c(p, n1 , n2 ) ≈ s2 1 t(p, n1 n1 − 1) + s2 1 n1 + s2 2 t(p, n2 n2 s2 2 n2 − 1) . Zbiór krytyczny: W = (−∞; −c(1 − α, n1 , n2 )] dla hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 ; W = [c(1 − α, n1 , n2 ); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 > µ2 ; W = (−∞; −c(1 − α , n1 , n2 )] ∪ [c(1 − α , n1 , n2 ); ∞) dla hipotezy przeciwnej 2 2 µ1 6= µ2 ; Model H4 – rozkłady dowolne, nieznane σ1 i σ2 – duża próba, n1 , n2 50. g = uobl = x − x2 q 12 s1 n1 + s2 2 n2 . 15 W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 ; W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 > µ2 ; W = (−∞; −u(1 − α )] ∪ [u(1 − α ); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 6= µ2 . 2 2 16 HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW WYRÓŻNIONYCH W DWÓCH POPULACJACH Model I1 – raczej duża próbka (n1 , n2 50) Stawiamy hipotezę p1 = p2 . Stosujemy statystykę g = uobl = k1 n1 q k1 +k2 n1 n2 − k2 n2 1− k1 +k2 n1 +n2 . Gdy liczność próby nie jest dostatecznie duża stosujemy statystykę: r uobl = 2 arc sin k1 − 2 arc sin n1 r k2 n2 q n1 n2 . n1 + n2 Zbiór krytyczny: W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej p1 < p2 ; W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej p1 > p2 ; ); ∞) dla hipotezy przeciwnej p1 6= p2 ; gdzie W = (−∞; −u(1 − α )] ∪ [u(1 − α 2 2 n1 i n2 liczności pierwszej i drugiej próbki, k1 i k2 liczby sukcesów w pierwszej i drugiej próbce. 17 TEST χ2 NIEZALEŻNOŚCI χ2obl = X (wartość zaobserwowana − wartość spodziewana)2 wartość spodziewana . Test odrzucamy, jeśli χ2obl > χ2 (1 − α, (r − 1)(s − 1)), gdzie r liczba wartości pierwszej cechy, a s liczba wartości drugiej cechy. Współczynnik Cramera r V = χ2obl n(m − 1) , gdzie m = min(r, s) Współczynnik C Pearsona r C= χ2obl χ2obl + n n liczba wszystkich danych w macierzy r × s. . 18 Jak używać programu calc? Będziemy posługiwać się tym programem do obliczanie wartości średniej, wariancji, odchylenia standardowego oraz wynikających z tego dalszych rezultatów. Pokażemy to na przykładzie. Zakładamy, że mamy dane empiryczne x1 = 7, x2 = 1, x3 = 5, x4 = 3, x5 = 5 oraz liczbę µ0 = 3. Mamy policzyć kolejno n x= 1X xk , n k=1 n s2 = 1 X (xi − x)2 , n−1 k=1 √ s = s2 , a następnie wstawić to do wzoru: x − µ0 √ n. s Uruchamiamy program calc i wpisujemy dane np. w komórkach A1 − A5. Daną µ0 możemy wpisać np w kolejnej komórce B1, a liczbę prób (5) np. w komórce B2. Warto wpisywać te dane w komórkach, a nie w ostatecznym wzorze, bo wtedy przy rozwiązywaniu następnego zadania opartego na tym samym modelu, wystarczy zmienić dane bez konieczności zmiany wzoru. Wybieramy jakąć inną komórkę np. C1 i wpisujemy w niej wzór: =ŚREDNIA(A1:A5) Po zaakceptowaniu ukazuje się w tej komórce wynik 4.2. Wybieramy następną komórkę powiedzmy C2 i wpisujemy w niej wzór 19 =WARIANCJA(A1:A5) Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 5.2. Wybieramy kolejną komórkę np. C3 i wpisujemy w niej wzór =pierwiastek(c2) Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 2.28 (w zależności od tego jaką dokładność wybierzemy). Wybieramy następną komórkę (np. C4) i wstawiamy w niej wzór (patrz rysunek) =(C1-B1)*pierwiastek(B2)/C3 Zauważmy, że możemy wpisywać wzory zarówno małymi jak i dużymi literami. Po zaakceptowaniu otrzymamy już ostateczny wynik 1.1767. Program calc zamiast tablic statystycznych Większość danych potrzebnych do rozwiązywania zamieszczonych tu zadań zamiast z tablic, możemy wygenerować przy pomocy 20 programu calc. Niektóre są nieco inaczej zdefiniowane niż w tablicach statystycznych, dlatego podajemy dokładnie co trzeba zrobić, aby otrzymać dane zgodne z tablicami. Ia) Dystrybuanta rozkładu normalnego Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie N (0, 1), a dana x jest umieszczona np. w komórce A1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.normalny.s(a1) Ib) Kwantyle rozkładu normalnego Aby wyznaczyć kwantyl u(p) rozkładu normalnego N (0, 1) np. dla danej p umieszczonej w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.normalny.s.odw(b1) IIa) Dystrybuanta rozkładu t Studenta Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie t Studenta z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.t(a1;b1;1) Program akceptuje tylko x-y dodatnie. Aby wyznaczyć P (X < x) dla x ujemnych wystarczy skorzystać z wzoru P (X < x) = P (X > −x) = 1 − P (X < −x). IIb) Kwantyle rozkładu t Studenta Aby wyznaczyć kwantyl t(p, n) rozkładu t Studenta dla danej p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.t.odw(2*(1-a1);b1) IIIa) Dystrybuanta rozkładu χ2 21 Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie χ2 z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.chi(a1;b1) Gęstość rozkładu χ2 (t) jest różna od zera tylko dla t dodatnich dlatego wzór działa tylko dla x 0. IIIb) Kwantyle rozkładu χ2 Aby wyznaczyć kwantyl χ2 (p, n) rozkładu χ2 dla danej p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce A2 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.chi.odw(1-a1;a2) IVa) Dystrybuanta rozkładu F Snedecora Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie F Snedecora z n, k stopniami swobody, dana x jest umieszczona np. w komórce A1, a dana n w komórce B1, dana k w komórce C1 wpisujemy w komórce wyniku =1-rozkład.f(a1;b1;c1) IVb) Kwantyle rozkładu F Snedecora Aby wyznaczyć kwantyl F(p, n, k) rozkładu F dla danej p umieszczonej w komórce B1, danej n w komórce B2 i danej k w komórce B3 wpisujemy w komórce wyniku =rozkład.f.odw(1-b1;b2;b3) Korzystanie programu zamiast z tablic ma dodatkową zaletę, że możemy znajdować wartości kwantyli dla nietypowych α, których nie ma w tablicach np. 0.03, 0.17 itp. W tablicach zwykle nie ma też dystrybuant innych rozkładów niż normalny. Możemy też włączyć te wzory do danego modelu otrzymując rozwiązanie w całości przy pomocy komputera. Odpowiedni przykład opiszemy przy rozwiązywaniu konkretnego zadania. 22 Zadania 23 ZADANIE 1. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [−1; 3] znajdź a) P (X < 0), b) P (X > 2), c) takie c, że P (X < c) = 0.95 = p, czyli p-ty kwantyl rozkładu jednostajnego na przedziale [−1; 3]. Rozwiązanie. Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale [−1; 3] jest równa dla x < −1, 0 x+1 dla −1 ¬ x ¬ 3, F (x) = 4 1 dla x > 3. Zatem a) P (X < 0) = F (0) = 14 ., b) P (X > 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − F (2) = 1 − 43 = 14 . c) Trzeba rozwiązać równanie P (X < c) = 0.95, czyli c+1 4 = 0.95. Stąd c = 2.8. 24 ZADANIE 2. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie normalnym standardowym N (0, 1) i α = 0.02: a) P (X > 2.3), b) P (X < −1.2), c) u(α), d) u(1 − α), e) u(1 − α2 ). Rozwiązanie. a) i b) znajdujemy w tablicy 1 otrzymując: a) 1−0.9893 = 0.0107; b) 0.115 c), d) i e) można rozwiązać zarówno komputerem jak i przy pomocy tablic. Otrzymamy c) u(0.02) = −2.05, d) u(0.98) = 2.05, e) u(0.99) = 2.33. 25 ZADANIE 3. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X rozkładzie t Studenta z n = 9 oraz α = 0.05: a) P (X > 1.3), b) P (X < −1.4), c) t(1 − α, n), d) t(1 − α2 , n), Rozwiązanie. a) i b) najlepiej rozwiązać programem calc otrzymując: a) 1 − 0.8870 = 0.1129; b) Musimy skorzystać z faktu, że t(−p, n) = 1 − t(p, n). Otrzymamy wynik 0.0.0975. c) t(0.95, 9) = 1.83, d) t(0.975, 9) = 2.26. 26 ZADANIE 4. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie χ2 z n = 20 i α = 0.05: a) P (X < 20), b) P (X > 10), c) χ2 (α, n), d) χ2 (1 − α, n) e) χ2 (1 − α2 , n). Rozwiązanie. Dla a) i b) skorzystamy z programu calc. Otrzymamy dla a) wartość 0.542, a dla b) 1 − 0.0318 = 0.9682. Dla c) - e) można też skorzystać z tablic mamy: c) χ2 (0.05, 20) = 10.851, d) χ2 (0.95, 20) = 31.41, e) χ2 (0.975, 20) = 34.17. 27 ZADANIE 5. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie F z n = 8, k = 4, oraz dla α = 0.05: a) P (X > 3), b) P (X < 4), c) F(1 − α, n, k), d) F(1 − α2 , n, k). Rozwiązanie. Dla a) i b) skorzystamy z programu calc otrzymując dla a) wartość 0.8489, a dla b) wartość 1 − 0.9025 = 0.0975. c) F(0.95, 9, 4) = 6.04, d) F(0.975, 9, 4) = 8.98. 28 ZADANIE 6. Przy pomocy programu calc znajdź dla próbki x1 = 1.31, x2 = 2.45, x3 = 3.45, x4 = −2.71: a) x, b) s2 , c) s, d) błąd standardowy. Rozwiązanie. a) x = 1.125, b) s2 = 7.3009, c) s = 2.702, d) √s n = 1.351. 29 ZADANIE 7. Zaobserwowano, że waga noworodków w pewnym szpitalu ma rozkład normalny z wartością średnią 3.6 kg i odchyleniem standardowym 0.26 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dziecko urodzone w tym szpitalu waży: a) więcej niż 4 kg?; b) mniej niż 3 kg? Rozwiązanie. a) a = 4, b = ∞. Stąd c = 4−3.6 0.26 , d = ∞. Zatem P (4 < X) = 1 − Φ(c) = 0.40. b) a = −∞, b = 3, Stąd c = −∞, d = 3−3.6 0.26 = −2.31. Zatem P (X > 3) = Φ(−2.31) = 1 − Φ(2.31) = 1 − 0.989 = 0.0.11. 30 ZADANIE 8. Czas pracy żarówek produkowanych w pewnym zakładzie ma rozkład normalny z wartością średnią 700 godzin i odchyleniem standardowym 220 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka zepsuje się przed upływem 500 godzin pracy? Rozwiązanie. d= Mamy µ = 700, σ = 220, a = −∞, b = 500. Stąd c = −∞, = −0.91. Zatem 500−700 220 P (X < 500) = Φ(−0.91) = 1 − Φ(0.91) = 1 − 0.82 = 0.18. 31 ZADANIE 9. Plony zboża w gospodarstwach rolnych mają rozkład normalny z wartością średnią 45 kwintali/ha i odchyleniem standardowym 14 kwintali/ha. Jaki procent gospodarstw ma wydajność większą niż 50 kwintali z hektara? Rozwiązanie. Dane: µ = 45, σ = 14, a = 50, b = ∞. Stąd c = d = ∞. Zatem 50−45 14 P (50 < X) = 1 − Φ(.36) = 1 − 0.64 = 0.36. Odp. 36%. = 0.36, 32 ZADANIE 10. Wzrost żołnierzy ma rozkład normalny ze średnią 177 cm i odchyleniem standardowym 13 cm. W jednostce wojskowej służy 1050 żołnierzy. Do kompanii honorowej zostanie wybranych 90 najwyższych. Ile trzeba mieć wzrostu, aby zostać wybranym? Rozwiązanie. 90 1050 W tym zadaniu mamy dane prawdopodobieństwo P (X > a) = = 0.086, a musimy wyznaczyć a. Mamy 0.086 = P (X > a) = 1 − Φ(c), gdzie c = a−177 13 . Stąd Φ(c) = 0.914. W tablicach rozkładu normalnego znajdujemy, że c = 1.35. Stąd mamy równanie 1.35 = a − 177 , 13 skąd a = 194.5. Odp. Trzeba mieć co najmniej 194 cm wzrostu. 33 ZADANIE 11. Wiadomo, że maszyna do paczkowania cukru pakuje wg rozkładu normalnego z odchyleniem standardowym σ = 2dkg. Nastawiono ją na 1 kg i przebadano losowo 10 torebek otrzymując rezultaty w dkg: 103, 96, 99, 97, 99, 100, 101, 95, 97, 99. Oszacuj punktowo i przedziałowo średnią wagę torebki na poziomie ufności 1 − α = 0.95. Rozwiązanie. a) Oszacowanie punktowe: √s n Mamy x = 98.60, s = 2.41. Zatem błąd standardowy jest równy = 0.76. Ponieważ odchylenie standardowe jest znane stosujemy model A1, gdzie l = u(1 − α2 ) √σn . W naszym przypadku l = 1.24 i P = [97.36; 99.84]. 34 ZADANIE 12. Rozwiąż poprzednie zadanie przy założeniu, że odchylenie standardowe nie jest znane. Rozwiązanie. Tym razem stosujemy model A2, w którym P = [x − l; x + l], l = t(1 − α2 , n − 1) √sn . W naszym przypadku n = 10, 1 − α2 = 0.975, t(0.975) = 2.26. Stąd l = 1.72, skąd P = [96.88; 100.32]. 35 ZADANIE 13. Pewien algorytm sortowania przetestowano na 9 bazach danych losowo wymieszanych i uzyskano czasy sortowania w sekundach: 9, 13, 21, 7, 21, 14, 12, 21, 11. Oszacuj wartość średnią punktowo i przedziałowo przyjmując, że rozkład jest normalny oraz współczynnik ufności 1 − α = 0.95. Rozwiązanie. a) Oszacowanie punktowe: Obliczamy wartość średnią i wariancję. Otrzymujemy x = 14.33, Błąd standardowy jest równy √s 9 s = 5.41. = 1.8. b) Oszacowanie przedziałowe: Ponieważ próba jest mała i odchylenie standardowe nie jest znane i rozkład jest normalny, stosujemy model A2. l = t(1 − α2 , n − 1) √sn . W naszym przypadku znajdujemy t(0.975, 8) = 2.306. Stąd l = 2.306 · 5.41 = 4.16. 3 Zatem przedział ufności jest równy [10.18; 18.49]. 36 ZADANIE 14. Pewna duża firma komputerowa chce ustalić średnią wielkość sprzedaży w ciągu dnia. Na podstawie danych z 3 miesięcy (78 dni) obliczono wartość x równą 2953 tys. zł. i odchylenie standardowe empiryczne s = 1034 tys. zł. Oszacuj średnią wielkość dziennej sprzedaży przy współczynniku ufności 1 − α = 0.95. Rozwiązanie. Ponieważ próbka jest duża, skorzystamy z modelu A3. Mamy α = 0.05, skąd 1− α2 = 0.975. Znajdujemy w tablicach u(1− α2 ) = 1.96. √ = 229.5 Stąd l = 1.96 · 1034 78 Ostatecznie P = [2723.5; 3182.5]. Znajdujemy 37 ZADANIE 15. Trzysta wylosowanych rodzin z danej miejscowości zapytano, czy posiadają w domu komputer. 121 rodzin odpowiedziało, że tak, w tym 91 rodzin ma komputer stacjonarny, a 42 rodziny laptop. Wyznacz przedziały ufności z 95%-ową wiarygodnością dla procentu rodzin: a) posiadających komputer; b) posiadających komputer stacjonarny; c) posiadających laptop; d) posiadających i komputer stacjonarny i laptop. Rozwiązanie. Stosujemy model B1, czyli wzór k k P = − l; + l , n n qk (1− k ) gdzie l = u(1 − α2 ) n n n . Mamy n = 300. Znajdujemy w tablicach u(1 − α2 ) = 1.96. W punkcie a) mamy k = 121, skąd k/n = 0.403 oraz l = 0.056. Zatem P = [0.348; 0.459] = [34.8%; 45.9%]. W punkcie b) mamy k = 91, skąd k/n = 0.303 oraz l = 0.052. Zatem P = [0.251; 0.355] = [25.1%; 35.5%]. W punkcie c) mamy k = 42, k/n = 0.14, l = 0.039. Stąd P = [0.101; 0.179] = [10.1%; 17.9%]. W punkcie d) mamy k = 12 (dlaczego?), skąd k/n = 0.04 oraz l = 0.022. Zatem P = [0.018; 0.062] = [1.8%; 6.2%]. 38 ZADANIE 16. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Nastawiono automat na 5 dkg i sprawdzono na bardzo dokładnej wadze 9 losowo wybranych porcji otrzymując wyniki w dkg: 5.07, 5.08, 4.91, 4.95, 5.00, 5.09. 4.98, 4.95, 4.96. Zakładając, że rozkład jest normalny wyznacz przedziały ufności dla odchylenia standardowego na poziomie ufności 1 − α = 0.99. Rozwiązanie. Stosujemy model C1. W tablicach rozkładu χ2 znajdujemy χ2 (1− − 1) = χ2 (0.995, 8) = 21.96, χ2 ( α2 , n − 1) = χ2 (0.005, 8) = 1.34. Natępnie mamy s = 0.065659. Stąd # " s s n−1 n−1 = [0.0396; 0.1602]. ;s P = s χ2 ( α2 , n − 1) χ2 (1 − α2 , n − 1) α 2,n Opiszemy krok po kroku jak można rozwiązać to zadanie całkowicie przy użyciu pakietu calc Wpisujemy w komórkach A1-A9 dane. Wpisujemy w komórce B2 liczbę 0.99. Wpisujemy w komórce B3 liczbę 9. Wpisujemy w komórce C1 =średnia(a1:a9) Wpisujemy w komórce C2 =pierwiastek(wariancja(a1:a9)) Wpisujemy w komórce C3 =rozkład.chi.odw(b1/2;8) Wpisujemy w komórce C4 =rozkład.chi.odw(1-b1/2;8) Wpisujemy w komórce C5 =c2*pierwiastek((b3-1)/c3) 39 To będzie lewy koniec przedziału. Wpisujemy w komórce D5 =c2*pierwiastek((b3-1)/c4) To będzie prawy koniec przedziału. 40 ZADANIE 17. W celu sprawdzenia, czy automat do pakowania mąki porcjuje precyzyjnie firma młynarska przed ewentualnym zakupem zważyła 200 kilogramowych torebek mąki i otrzymała wyniki w kg: x = 0.99 i odchylenie standardowe z próbki s = 0.077 dkg. Wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego przy współczynniku ufności 1 − α = 0.95. Rozwiązanie. Dla dużej próby stosujemy nodel C2. Mamy u(1 − α 2) Stąd # √ √ 0.077 398 0.077 398 = [0.072; 0.083]. ;√ P = √ 397 − 1.96 397 + 1.96 " = 1.96. 41 ZADANIE 18. Mamy zważyć sztabkę złota. Chcemy, na poziomie ufności 0.95 otrzymać przedział ufności [x − l; x + l] z l = 0.01 mg. Elektroniczna waga ma rozkład błędów normalny z odchyleniem standardowym 0.02 mg. Ile niezależnych pomiarów trzeba wykonać? Rozwiązanie. Ponieważ odchylenie standardowe jest znane, stosujemy wzór M1. Z tablic kwantyli rozkładu normalnego znajdujemy u(1 − α2 ) = 1.96. A więc 2 1.96 · 0.02 n> = 15.37. 0.01 Trzeba wykonać 16 pomiarów. 42 ZADANIE 19. Pewien program sortujący dane został przetestowany na 7 losowo wybranych różnego rodzaju plikach długości 1000000 rekordów, i otrzymano czas sortowania w sek. 111, 22, 33, 42, 199, 77, 138. Ile jeszcze należy dodatkowo dokonać testów, aby otrzymać na poziomie ufności 1−α = 0.95 przedział ufności nie dłuższy niż 80 sek?. Zakładamy, że cecha ma rozkład normalny. Rozwiązanie. Zastosujemy procedurę Steina (model M2). Mamy x0 = 88.86, s0 = 64.5, l = 80 2 = 40, n0 = 7, t(0.975, 6) = 2.447. Wstawiając to wszystko do wzoru M2 otrzymujemy n> 2.447 · 64.5 40 2 · 6 + 1 = 14.35. 7 Trzeba jeszcze dodać 15 − 7 = 8 dodatkowych pomiarów. 43 ZADANIE 20. Pewien informatyk skonstruował program rozpoznający linie papilarne. Ile prób należy przeprowadzić, aby na poziomie ufności 1 − α = 0.95 otrzymać przedział ufności długości 10%? Rozwiązanie. Zastosujemy wzór M3. Mamy u(1 − α2 ) = 1.96, l = Zatem 1.962 n = 384.2. 4 · 0.052 Trzeba wykonać 385 prób. 0.10 2 = 0.05. 44 ZADANIE 21. Pewien sklep chce przeprowadzić badanie, jaki procent klientów po raz drugi dokonuje zakupów w tym sklepie. Ilu klientów powinien uwzględnić w badaniu aby na poziomie ufności 1 − α = 0.9 otrzymać przedział ufności długości 6%? Rozwiązanie. Ponownie skorzystamy z wzoru M3. Mamy u(1 − l = 0.03. 1.642 n = 747.11. 4 · 0.032 α 2) = 1.64. Powinien w badaniu uwzględnić 748 klientów.1 1 Liczba 1.64 jako wartość kwantyla u(0.95) jest w tablicach podana w przybliżeniu. Dlatego, jeśli użyjemy do obliczeń programu calc to użyta zostanie jako u(0.95) dokładniejsza liczba 1.64485 i otrzymamy w tym zadaniu wynik 751. 45 ZADANIE 22. Rzucamy 20 razy kostką. Otrzymaliśmy wyniki otrzymane w tabelce: liczba oczek liczba rzutów 1 0 2 2 3 7 4 5 5 3 6 3 Zweryfikuj hipotezę, że kość jest „uczciwa”, przyjmując α = 0.05. Rozwiązanie. to Zastosujemy test χ2 . Wartość spodziewana dla każdej liczby oczek = 3.33. W takim razie wartość statystyki testowej wynosi 20 6 χ2obl = (0 − 3.33)2 (2 − 3.33)2 (7 − 3.33)2 + + + 3.33 3.33 3.33 (5 − 3.33)2 (3 − 3.33)2 (3 − 3.33)2 + + = 8.8. 3.33 3.33 3.33 W tablicach kwantyli rozkładu χ2 lub przy pomocy komputera znajdujemy χ2 (0.95, 5) = 11.071. Nie ma powodu odrzucania hipotezy, bo 8.8 < 11.071. 46 ZADANIE 23. Ruletka ma 4 równe pola: dwa czerwone, jedno białe i jedno czarne. Uruchomiono ją 100 razy; 60 razy wypadło pole czerwone, 29 razy białe i 11 razy czarne. Zweryfikuj hipotezę, że ruletka jest „uczciwa” przyjmując: a) α = 0.05 i b) α = 0.005. Rozwiązanie. Ponownie zastosujemy test χ2 . Przy 100 losowaniach wartości spodziewane to: 50 razy pole czerwone i po 25 razy pole białe i pole czarne. Zatem statystyka testowa wynosi χ2obl = (29 − 25)2 (11 − 25)2 (60 − 50)2 + + = 10.48. 50 25 25 W tablicach rozkładu χ2 lub przy pomocy komputera znajdujemy χ2 (0.95, 2) = 5.991 oraz χ2 (0.995, 2) = 10.597 Hipotezę odrzucamy w punkcie a), a punkcie b) nie. 47 ZADANIE 24. Łucznik strzelał z łuku do tarczy o promieniu 10 cm. W 10 próbach otrzymał następujące odległości od środka tarczy (z dokładnością 1cm): 4, 7, 8, 8, 0, 3, 2, 5, 7, 6. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że rozkład odległości trafień od środka tarczy jest jednostajny na przedziale [0; 10]. Rozwiązanie. Stosujemy test Kołmogorowa. Rozkład jednostajny na przedziale [0; 10] ma dystrybuantę dla x < 0, 0 x dla 0 ¬ x ¬ 10, F (x) = 10 1 dla x > 10. Tworzymy tabelę xi 0 2 3 4 5 6 7 7 8 8 max F (xi ) 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,7 0,8 0,8 i−1 9 i 9 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 i−1 9 − F (xi ) 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,0 0,0 0,1 0,1 i 9 − F (xi ) 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 Stąd maksimum=0.2. W tablicach rozkładu Kołmogorowa znajdujemy d10 (0.95) = 0.409. Wartość statystyki testowej jest mniejsza. Hipotezy nie odrzucamy. 48 ZADANIE 25. Zważono losowo 9 paczek wysyłanych w pewnym urzędzie pocztowym i uzyskano wyniki w kg. 6.0, 1.5, 0.7, 2.5, 6.3, 1.1, 2.2, 2.8, 1.1. Postaw hipotezę, że rozkład jest typu N (x, s) 2 i zweryfikuj ją na poziomie istotności α = 0.05. Rozwiązanie. Obliczając przy pomocy komputera mamy x = 1.52, s = 0, 70. stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi z rozkładu N (1.52, 0.70). Stosujemy test Kołmogorowa. Tworzymy tabelkę: i−1 i i−1 i − F (xi ) xi F (xi ) − F (xi ) 0.7 1.1 1.1 1.5 2.2 2.5 2.8 6.0 6.3 max 0,17 0,22 0,22 0,28 0,41 0,46 0,52 0,94 0,96 9 9 0 0,11 0,22 0,33 0,44 0,56 0,67 0,78 0,89 0,11 0,22 0,33 0,44 0,56 0,67 0,78 0,89 1,00 9 9 0,17 0,11 0,00 0,05 0,04 0,09 0,14 0,16 0,07 0,17 0,06 0,00 0,11 0,16 0,15 0,20 0,26 0,06 0,06 0,26 Dnobl = 0.26. Znajdujemy w tablicach d9 (0.95) = 0.43. Hipotezy nie odrzucamy. 2 W zasadzie test Kołmogorowa powinno stosować się wtedy, gdy parametry rozkładu, z którym porównujemy próbkę są z góry dane. 49 ZADANIE 26. Próbka dała następujące wyniki 0, 0, 0, 0, 0, 6. Pokaż przy pomocy testu Kołmogorowa, że na poziomie istotności α = 0.10 należy odrzucić hipotezę, że rozkład jest typu N (x, s). Rozwiązanie. Mamy x = 1, s = 2.45. Tworzymy tabelkę dla testu Kołmogorowa. Stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi od rozkładu N (1, 0.245). i−1 i i−1 i − F (xi ) xi F (xi ) − F (xi ) 0 0 0 0 0 6 max 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 0.96 6 6 0 0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 1 6 6 0.34 0.17 0.01 0.16 0.33 0.15 0.34 0.17 0.01 0.16 0.32 0.49 0.02 0.49 Dnobl jest równe 0.49. Natomiast d6 (0.90) = 0.468. Zatem hipotezę odrzucamy. 50 ZADANIE 27. Rozważ próbę z poprzedniego zadania. Pokaż, że przy innym wyborze µ na tym samym poziomie istotności nie odrzucimy hipotezy, że rozkład jest typu N (µ, s). Rozwiązanie. Jeśli ustalimy średnią na przykład na 0.5, to test Kołmogorowa da rezultat i−1 i i−1 i − F (xi ) xi F (xi ) − F (xi ) 0 0 0 0 0 6 max 0.42 0.42 0.42 0.42 0.42 0.99 6 6 0 0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 1 6 6 0.42 0.25 0.09 0.08 0.24 0.15 0.42 0.25 0.09 0.08 0.25 0.41 0.01 0.41 Dnobl = 0.42. Natomiast d6 (0.90) = 0.468. Zatem hipotezy nie odrzucamy. 51 ZADANIE 28. Jeszcze raz rozważ próbkę z poprzedniego zadania. Pokaż, że nie odrzucimy hipotezy na tym samym poziomie istotności, że rozkład jest jednostajny na przedziale [a; b] przy pewnym wyborze a i b. Rozwiązanie. Wybierzmy np. a = −6, b = 8. Wtedy dla x < −6 0 x+6 dla x ∈ [−6; 8] F (x) = 14 1 dla x > 8. Zatem tabela do testu Kołmogorowa wygląda następująco: i−1 i i−1 i − F (xi ) xi F (xi ) − F (xi ) 0 0 0 0 0 6 max 0.43 0.43 0.43 0.43 0.43 0.86 6 6 0 0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 1 6 6 0.43 0.26 0.10 0.07 0.24 0.02 0.43 0.26 0.10 0.07 0.24 0.40 0.14 0.40 Maksimum jest równe 0.43. Natomiast d6 (0.90) = 0.468. Zatem hipotezy nie odrzucamy. 52 ZADANIE 29. Pewien sklep sprowadził jabłka tej samej odmiany od dwóch dostawców. Wybrał losowo po 7 jabłek z każdej dostawy i zważył je. Otrzymał rezultaty w gramach: u pierwszego dostawcy 123, 111, 134, 144, 122, 133, 145. U drugiego dostawcy 122, 133, 117, 129, 137, 159, 161. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można stwierdzić, że obaj dostawcy dają analogiczną ofertę? Rozwiązanie. Zastosujemy test serii. Ustawimy wszystkie wartości w ciąg rosnący. Oznaczmy pierwszego dostawcę przez x, drugiego przez y. Otrzymamy tabelkę: 111 117 122 122 123 129 133 133 134 137 144 145 159 161 x y x(y) y(x) x y x(y) y(x) x y x x y y W dwóch przypadkach mamy te same wartości w obu próbkach, zatem serii może być najmniej 8, a najwięcej 10, w zależności od tego jak ustawimy próbki o tej samej wartości. Znajdujemy w tablicy 8 k(0.05, 7, 7) = 4. Widzimy, że niezależnie od ustawienia kolejności takich samych wartości, mamy K > 4. Uznajemy, że obaj dostawcy mają podobną ofertę. 53 ZADANIE 30. Producent wag twierdzi, że jego wagi działają z odchyleniem standardowym 0.1 dkg. Aby sprawdzić, czy dostarczone nam z hurtowni torebki cukru są kilogramowe, zważyliśmy 100 losowo wybranych torebek i otrzymaliśmy wartość średnią 0.995 kg. Czy na poziomie istotności α = 0.05 możemy mieć do hurtownika zastrzeżenia? Rozwiązanie. Należy zastosować model D1. Stawiamy hipotezę µ = 100 przeciwko hipotezie µ < 100. Wartość statystyki testowej jest równa (po przeliczeniu wszystkich danych na dekagramy) uobl = 99.5 − 100 · 10 = −5. 0.1 Zbiorem krytycznym jest przedział (−∞; −u(0.95)] = (−∞; −1.64]. Wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego (i to wyraźnie!). Powinniśmy mieć poważne zastrzeżenia. 54 ZADANIE 31. Twórca programu obliczeniowego twierdzi, że jego program rozwiązuje pewne równania różniczkowe na danym procesorze w czasie około 2 sek. z odchyleniem standardowym 1 sek. Przetestowano go na 10 zadaniach z różnymi danymi początkowymi i uzyskano czasy w sekundach: 0.8, 1.9, 2.3, 2.4, 2.4, 0.9, 3.5, 4.2, 2.4, 2.9. Sprawdź na poziomie istotności α = 0.1 czy autor programu się „nie przechwala”. Rozwiązanie. Sposób I. Zastosujemy test Kołmogorowa, aby się przekonać, że możemy rozkład uważać za normalny z parametrami zadeklarowanymi przez twórcę programu, czyli typu N (2, 1). = Φ x− . Tworzymy tabelę. Przypominamy, że F (x) = Φ x−µ σ xi 0.8 0.9 1.9 2.3 2.4 2.4 2.4 2.9 3.5 4.2 max F (xi ) 0.12 0.14 0.46 0.62 0.66 0.66 0.66 0.82 0.93 0.99 i−1 10 i 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 i−1 10 − F (xi ) 0.12 0.04 0.26 0.32 0.26 0.16 0.06 0.12 0.13 0.09 0.32 i 10 − F (xi ) 0.02 0.06 0.16 0.22 0.16 0.06 0.04 0.02 0.03 0.01 0.22 Zatem Dnobl = 0.32, a d10 (0.1) = 0.381. Ponieważ 0.32 < 0.381, hipotezy nie odrzucamy. Sposób II. Przyjmujemy, że rozkład jest normalny i stawiamy hipotezę µ = 2 wobec hipotezy przeciwnej µ > 2. Stoujemy model D2. Wyliczamy x = 2.37, s = 1.04. Statystyka testowa wynosi tobl = 2.37 − 2 √ · 10 = 1.12. 1.041 55 Zbiór krytyczny jest równy W = [t(0.9, 9); ∞) = [1.38; ∞). Ponieważ tobl 6∈ W hipotezy nie odrzucamy. 56 ZADANIE 32. Producent baterii twierdzi, że czas pracy baterii wynosi co najmniej 30 godzin. Przebadano 100 baterii i uzyskano średni czas pracy 28 godzin i 20 minut i odchylenie standardowe 7 godzin 25 minut. Na poziomie istotności α = 0.05 sprawdź czy producent ma rację. Rozwiązanie. Ponieważ próba jest duża stosujemy model D3. Po przeliczaniu danych na minuty mamy x = 1700, s = 445, µ0 = 1800. Stawiamy hipotezę µ = 1800 wobec hipotezy przeciwnej µ < 1800. Wartość statystyki testowej wynosi uobl = 1700 − 1800 √ · 100 = −2.25. 445 Zbiór krytyczny jest równy W = (−∞; −u(0.95)] = (−∞; −1.64]. Ponieważ uobl ∈ W hipotezę odrzucamy. Producent nie ma racji. 57 ZADANIE 33. Jaki jest graniczny poziom istotności, przy którym odrzucimy hipotezę w poprzednim zadaniu? Rozwiązanie. Wartość statystyki testowej wynosi −2.25. Trzeba znaleźć takie 1 − α, że −u(1 − α) = −2.25, czyli obliczyć wartość dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego w punkcie 2.25. Korzystając z tablic lub komputera otrzymujemy. 1 − α = Φ(.) = .. Zatem granicznym poziomem istotności jest α = 0.01222. 58 ZADANIE 34. Aby oszacować dokładność pomiarów wykonywanych elektroniczną wagą sześciokrotnie zważono ten sam obiekt i otrzymano wyniki (w gramach): 11.11, 11, 20, 11.10, 11.13, 11.12, 11.21. Zakładając, że próbka pochodzi z rozkładu normalnego, na poziomie istotności 0.05 zweryfikuj hipotezę σ = 0.04 g. przeciwko hipotezie σ > 0.04 g. Rozwiązanie. Obliczamy x = 11, 145, s = 0, 04764. Ponieważ rozkład cechy jest normalny, stosujemy model E1. Statystka testowa wynosi χ2obl = (n − 1)s2 = 7.09, σ02 a zbiór krytyczny W = [11.07; ∞). Wartość statystyki testowej nie należy do W . Hipotezy nie odrzucamy. 59 ZADANIE 35. Dla danych z poprzedniego zadania wyznacz graniczny poziom istotności α, przy którym odrzucimy hipotezę. Rozwiązanie. Wartość statystyki testowej jest równa 7.09. Trzeba wyznaczyć takie α, że χ2 (1 − α, 5) = 7.09, czyli wyznaczyć wartość dystrybuanty F rozkładu χ2 z 5 stopniami swobody w punkcie 7.09. Użyjemy programu calc i otrzymamy 1 − α = 0.79, skąd α = 0.21. 60 ZADANIE 36. Aby zbadać dokładność pracy mikrometra zmierzono 60 razy grubość drutu i uzyskano empiryczne odchylenie standardowe 0.05 mm. Przy założeniu, że rozkład błędów pomiaru jest normalny zbadać na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że mikrometr mierzy z dokładnością 0.04 mm. Rozwiąż zadanie przy pomocy modeli E1 i E2. Rozwiązanie. Stawiamy hipotezę σ = 0.04 przeciwko hipotezie σ > 0.04. Stosujemy model E1. Statystka testowa wynosi χ2obl = (n − 1)s2 = 92.19, σ02 a zbiór krytyczny W = [χ2 (0.95, 59); ∞). Wartość χ2 (0.95, 59) obliczamy przy pomocy programu calc otrzymując wartość 77.93. Zatem W = [77.93; ∞). Jak widać wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego, a zatem hipotezę odrzucamy. Stosujemy model E2. Statystyka testowa wynosi r 118 · 0.052 √ − 117 = 2.76, uobl = 0.042 a zbiór krytyczny W = [1.64; ∞). I przy tej metodzie hipotezę odrzucamy. Przy obu metodach wyraźnie! 61 ZADANIE 37. Rzucamy 300 razy monetą. Orzeł wypadł 165 razy. Na poziomie istotności α = 0.05 sprawdź hipotezę, że moneta jest symetryczna. Rozwiązanie. Stosujemy model F1. Mamy p0 = 0.5, n = 300, k = 165. Stawiamy hipotezę p = 0.5 wobec hipotezy przeciwnej p 6= 0.5. Wartość statystyki testowej jest równa k − np0 uobl = p np0 (1 − p0 ) = 1.73. Natomiast zbiór krytyczny jest równy (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞). uobl 6∈ W , zatem hipotezy nie odrzucamy. 62 ZADANIE 38. Wyznacz graniczny poziom istotności α, przy którym odrzucimy hipotezę z poprzedniego zadania. Rozwiązanie. Trzeba znaleźć takie α, że u(1− α2 ) = 1.73, czyli obliczyć wartość dystrybuanty Φ w punkcie 1.73. Otrzymujemy 1− skąd α = 0.0836. α 2 = 0.9582, 63 ZADANIE 39. Rozwiąż poprzednie dwa zadania przy pomocy testu zgodności χ2 . Rozwiązanie. Orłów wypadło 165, a reszek 135, w obu wypadkach wartość spodziewana to 150. Zatem wartość statystyki testowej jest równa χ2obl = (135 − 150)2 (165 − 150)2 + = 3. 150 150 Liczba wyników n jest równa 2, zatem liczymy χ2 (0.95, 2 − 1) = 3.841. Ponieważ 3 < 3.841, hipotezy nie odrzucamy. Aby wyznaczyć graniczny poziom istotności musimy policzyć wartość dystrybuanty rozkładu χ2 o jednym stopniu swobody w punkcie 3. Najlepiej posłużyć się komputerem (np. programem calc, bo w tablicach tego nie mamy). Otrzymujemy wartość 0.9167. Stąd α = 0.0833. Zauważmy, jak bardzo bliskie są wyniki przy obu metodach! 64 ZADANIE 40. Policzono pewnego dnia klientów internetowego sklepu i okazało się, że na 155 klientów, którzy wzięli udział w ankiecie podając płeć, 31 było kobietami. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że procent klientów kobiet w tym sklepie wynosi 25%. Rozwiązanie. Stosujemy model F1. Mamy p0 = 0.25, n = 155, k = 31. Stawiamy hipotezę p = 0.25 wobec hipotezy przeciwnej p 6= 0.25. Wartość statystyki testowej wynosi k − np0 uobl = p np0 (1 − p0 ) = −1.44. Zbiór krytyczny: W = (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞). Wartość −1.44 nie należy do zbioru krytycznego. Nie odrzucamy hipotezy. 65 ZADANIE 41. Pewien sklep z odzieżą chce sprawdzić, czy również na terenie jego działalności potwierdzą się dane, że co najmniej 90% klientów stanowią panie. Przez tydzień skrupulatnie liczono klientów i okazało się, że na 527 osób, pań było 450. Czy dane te przeczą ogólnej statystyce na poziomie istotności α = 0.05? Rozwiązanie. Ponownie trzeba zastosować model F1. Mamy p0 = 0.9, n = 527, k = 450. Stawiamy hipotezę p = 0.9 wobec hipotezy przeciwnej p < 0.9 (dlaczego?). Wartość statystyki testowej wynosi k − np0 uobl = p = −3.53. np0 (1 − p0 ) Zbiór krytyczny: W = (−∞; −1.64]. Wartość −3.53 należy do zbioru krytycznego. Odrzucamy hipotezę. 66 ZADANIE 42. Dwa narzędzia pomiarowe przebadano mierząc nimi po 20 razy pewien obiekt. Uzyskano następujące rezultaty: s1 = 0.13, s2 = 0.20. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można zakładać, że oba urządzenia mierzą jednakowo dokładnie? Rozwiązanie. Przyjmujemy hipotezę σ1 = σ2 wobec hipotezy przeciwnej σ1 6= σ2 . Stosujemy model G1. Ponieważ większa jest wariancja w drugiej próbce, przyjmujemy statystykę Fobl = s22 = 2.37. s21 Zbiór krytyczny W = F(1 − α2 , 19, 19); ∞) = [2.53; ∞). 2.37 6∈ W , hipotezy nie odrzucamy. 67 ZADANIE 43. Właściciel sklepu zauważył, że jego waga nie waży dokładnie. Zważył 50 razy tę samą paczkę kilogramową cukru i otrzymał odchylenie standardowe 2 dkg. Oddał wagę do remontu, i po naprawie zważył ponownie 50 razy kilogram cukru otrzymując odchylenie standardowe 0.5 dkg. Czy może na poziomie istotności α = 0.05 uznać naprawę za dobrą? Rozwiązanie. Zastosujemy model G1. Stawiamy hipotezę σ1 = σ2 wobec hipotezy przeciwnej σ1 > σ2 . Statystyka testowa jest równa Fobl = s21 = 16. s22 Natomiast zbiór krytyczny jest równy W = F(1 − α, 49, 49); ∞) = [1.61; ∞). Wartość statystyki testowej wyraźnie należy do zbioru krytycznego. Hipotezę o równości wariancji odrzucamy. Możemy stąd wywnioskować, że waga została porządnie naprawiona! 68 ZADANIE 44. W pewnej fabryce zmierzono średnice śrub na dwóch przyrządach pomiarowych od dwóch różnych dostawców uzyskując wyniki w cm: 0.99, 0.97, 0.97, 1.00, 0.98, 0.99, oraz odpowiednio 1.06, 1.07, 1.03, 1.01, 1.08. Wiadomo, że pierwszy przyrząd pomiarowy działa z dokładnością σ1 = 0.01 cm, a drugi przyrząd z dokładnością σ2 = 0.02 cm. Zakładamy, że rozpatrywana cecha długości śrub ma rozkład normalny. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że długości śrub u obu dostawców są takie same. Rozwiązanie. Nasze dane n1 = 6, n2 = 5. Ponieważ znane są odchylenia standardowe możemy zastosować model H1. Stawiamy hipotezę µ1 = µ2 wobec hipotezy przeciwnej µ1 6= µ2 . Obliczamy x1 = 0.9833, x2 = 1.050. (odchyleń standardowych w tym modelu nie trzeba obliczać). Statystyka testowa jest równa x1 − x2 uobl = r = −6.78. σ12 σ22 + n2 n2 1 2 Zbiór krytyczny W = (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞). Hipotezę wyraźnie odrzucamy. 69 ZADANIE 45. Jaki jest graniczny poziom istotności, przy którym odrzucimy hipotezę w poprzednim zadaniu? Rozwiązanie. Wartość statystyki testowej jest równa 6.78. Musimy zatem znaleźć takie α, aby −u(1 − α2 ) = −6.78. Trzeba policzyć dystrybuantę Φ(.). Jest ona praktyczne równa 1 (największy argument w tablicach jest zwykle 3.5). Wartość ta policzona programem calc jest równa 0.999999996. Stąd α = 0.000000007. Możemy zatem uznać, że hipotezę odrzucimy na każdym sensownym poziomie istotności. 70 ZADANIE 46. Rozwiąż zadanie 40 bez informacji o odchyleniach standardowych. Rozwiązanie. Zadanie rozwiążemy w dwóch etapach. W pierwszym etapie sprawdzimy, czy możemy przyjąć, że obie próby mają podobne odchylenie standardowe. Dodatkowo obliczamy s1 = 0.01211, s2 = 0.02915. Stosujemy model G1. Statystyka testowa jest równa Fobl = s22 = 5.8. s21 Zbiór krytyczny W = [F(0.975, 5 − 1, 6 − 1); ∞) = [7.39; ∞). Możemy uznać, że odchylenia standardowe są równe. Zatem w drugim, głównym etapie stosujemy model H2. tobl = q x1 − x2 (n1 −1)s21 +(n2 −1)s22 n1 +n2 −2 . · n1 +n2 n1 n2 Wstawiając nasze dane otrzymujemy wartość −5.14. Zbiór krytyczny jest postaci W = (−∞; −t(0.975, 9)] ∪ [t(0.975, 9); ∞), czyli W = (−∞; −2.26] ∪ [2.26; ∞). I w tym wypadku hipotezę wyraźnie odrzucamy. 71 ZADANIE 47. Zbadano płace 5 kobiet i 5 mężczyzn pracujących w pewnej firmie. Otrzymano dla kobiet dane (w złotych) 1700, 1300, 1900, 1900, 3500, a dla mężczyzn 1600, 1700, 1800, 2700, 4500. Sprawdzić na poziomie istotności α = 0.05, czy można stwierdzić, że płace kobiet są niższe w tej firmie niż mężczyzn. Zakładamy, że płace mają rozkłady normalne. Rozwiązanie. Najpierw obliczamy x1 = 2060, s1 = 841.43, x2 = 2460, s2 = 1221.88. Test przeprowadzimy w dwóch etapach. W etapie pierwszym sprawdzimy, czy oba odchylenia standardowe możemy uznać za jednakowe. W zależności od tego do właściwego testu wybierzemy model H2 lub H3. ETAP 1. Stawiamy hipotezę σ1 = σ2 wobec hipotezy przeciwnej σ1 6= σ2 . Stosujemy model G1. Druga próbka ma większą wariancję, zatem nasza statystyka testowa jest równa Fobl = s22 = 2.11. s21 Natomiast zbiór krytyczny jest równy W = [F(1 − α2 , 5 − 1, 5 − 1); ∞) = [9.6; ∞). Nie odrzucamy hipotezy o równość odchyleń standardowych. Zatem w trzecim etapie zastosujemy model H2. ETAP 2. Stawiamy hipotezę µ1 = µ2 wobec hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 . Statystyka testowa jest równa x1 − x2 . tobl = q (n1 −1)s21 +(n2 −1)s22 n1 +n2 · n1 +n2 −2 n1 n 2 Dla naszych danych otrzymujemy wynik −0.6. Zbiór krytyczny W = (−∞; −2.31] ∪ [2.31; ∞). Hipotezy nie odrzucamy. Przyjmujemy, że płace są podobne. 72 ZADANIE 48. W zakładzie z poprzedniego zadania odeszła z pracy kobieta zarabiająca 3500 złotych i do próby losowej wybrano tylko poprzednie 4 kobiety. Rozwiąż poprzednie zadanie przy nowych danych. Rozwiązanie. Teraz mamy n1 = 4, x1 = 1700, s1 = 282.84. Pozostałe dane bez zmian. Test równości wariancji wypada teraz negatywnie, bo wartość statystyki testowej jest równa 18.66, natomiast zbiór krytyczny jest równy W = [15.1; ∞). Zatem w drugim etapie stosujemy model H3. Wartość statystyki Cobl = −1.35, natomiast zbiór krytyczny W = (−∞; −2.8] ∪ [2.8; ∞). Widzimy, że Cobl 6∈ W , zatem hipotezy nie odrzucamy. 73 ZADANIE 49. Policja przeprowadziła badania prędkości samochodów w pewnym niebezpiecznym miejscu na próbach liczności 200 dla samochodów osobowych i ciężarowych i uzyskała wyniki: dla osobowych 101 km/h przy odchyleniu standardowym 7.8 km/h, a dla ciężarowych 88 km/h przy odchyleniu standardowym 10.9 km/h. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że samochody osobowe w tym miejscu jeżdżą nie prędzej niż samochody ciężarowe. Rozwiązanie. Próbki są duże, stosujemy więc model H4. Mamy x1 = 101, s1 = 7.8, x2 = 88, s2 = 10.9, n1 = n2 = 200. Stawiamy hipotezę µ1 = µ2 wobec hipotezy µ1 > µ2 . Statystyka testowa dana jest wzorem x1 − x2 . uobl = q 2 s1 s22 n1 + n2 W naszym wypadku uobl = 13.72, a zbiór krytyczny ma postać W = [1.64; ∞). Hipotezę bardzo zdecydowanie odrzucamy. 74 ZADANIE 50. Do sklepu pewnego dnia przyszło: 180 kobiet, spośród których 88 dokonało zakupu, oraz 122 mężczyzn, spośród nich 101 dokonało zakupu. Czy słuszna jest hipoteza, że procent osób dokonujących zakupu po wejściu do sklepu nie zależy od płci? Przyjmij α = 0.05. Rozwiązanie. Trzeba zastosować model I1. Mamy n1 = 180, k1 = 88, n2 = 122, k2 = 101. Stawiamy hipotezę p1 = p2 wobec hipotezy przeciwnej p1 6= p2 . Stosujemy statystykę uobl =r k1 n1 k1 +k2 n1 n2 − nk22 . 2 1 − nk11 +k +n2 Podstawiając nasze dane otrzymujemy uobl = −5.97, natomiast zbiór krytyczny W = (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞). uobl należy do zbioru krytycznego, hipotezę odrzucamy. 75 ZADANIE 51. Pewna firma niezadowolona z wielkości sprzedaży postanowiła zatrudnić agencję reklamową. Tabelka pokazuje średnią tygodniową sprzedaż wybranych asortymentów (w tys. zł.) po zatrudnieniu tej agencji. Czy słuszna jest hipoteza, że zatrudnienie agencji nie zmieniło wielkości sprzedaży. Zakładamy, że wszystkie próbki pochodzą z rozkładu normalnego i przyjmujemy α = 0.05 wielkość sprzedaży przed wielkość sprzedaży po 9 21 11 21 17 18 4 5 7 9 9 19 Rozwiązanie. Tworzymy nową zmienną Y = X2 −X1 . Mamy y1 = 12, y2 = 10, y3 = 1, y4 = 1, y5 = 2, y6 = 10. Mamy y = 6.00, s = 5.18. Testujemy hipotezę µ = 0 wobec hipotezy µ > 0. Ponieważ próbka jest nieliczna, stosujemy model E2. Wartość statystyki wynosi 1.89, a zbiór krytyczny W = [2.02; ∞). Hipotezy nie odrzucamy. Wynika z tego, że zatrudnienie agencji tylko nieznacznie poprawiło sprzedaż. 76 ZADANIE 52. W pewnym niebezpiecznym miejscu doszło w pewnym miesiącu do 32 kolizji drogowych. Policja ustawiła tam ostrzegawczy oświetlony znak. Po ustawieniu tego znaku w najbliższym miesiącu doszło do 19 kolizji. Czy można uznać, że sytuacja się poprawiła? Przyjmij α = 0.05. Rozwiązanie. Problem ten można próbować rozwiązać kilkoma sposobami. Po pierwsze możemy zastosować model I1, ale nie będzie on w stu procentach dobry, bo próby nie są niezależne. Można liczbę wypadków potraktować jako liczbę „sukcesów” w rozkładzie dwupunktowym np. obliczając liczbę godzin w miesiącu (744) i przyjąć, że każdy wypadek zdarzył się w innej godzinie. Następnie rozważać zmienną k = k1 − k2 = 13 przyjąć hipotezę p = p0 = 0, wobec hipotezy p > 0 i zastosować model F1. Ale we wzorze na statystykę testową p0 musi być większe od zera. Możemy rozumowanie poprawić tak. Możemy przyjąć, że minimalna liczba kolizji zawsze będzie: np. 1 na 1000 godzin. I jako hipotezę zerową przyjąć p = 0.001 wobec hipotezy przeciwnej p > 0.001. Jeśli te dane: n = 744, k = 13, p0 = 0.0001 wstawimy do modelu F1, to wartość statystyki testowej wyjdzie 14.22, a zbiór krytyczny będzie równy W = [1.64; ∞). Hipotezę zdecydowanie odrzucamy. To oznacza, że sytuacja się wyraźnie poprawiła. 77 ZADANIE 53. Wyniki egzaminu ze statystyki studentów chodzących na wykłady (C) i niechodzących (N) w pewnej grupie wg rezultatów (zaliczony - ZAL i niezaliczony - NZAL) podane są w tabelce ZAL 2 28 N C NZAL 102 36 Zbadaj, czy hipoteza zaliczenie egzaminu jest niezależne od tego czy student chodzi na zajęcia jest słuszna. Przyjmij α = 0.05. Rozwiązanie. Dodając dane w kolumnach i wierszach zapiszmy naszą tabelkę następująco N C razem ZAL 2 28 30 NZAL 102 36 138 razem 104 64 168 Zastosujemy test χ2 . Obliczamy χ2obl 2 − 30 · 104 168 = 30 · 104 168 64 28 − 30 · 168 64 30 · 168 2 2 + 104 102 − 138 · 168 + 104 138 · 168 64 36 − 138 · 168 64 138 · 168 2 + 2 ≈ 47. Natomiast χ2 (0.95, (2−1)·(2−1)) = 3.84. Hipotezę zdecydowanie odrzucamy. 78 ZADANIE 54. Wyznacz współczynniki Cramera i C Pearsona dla poprzedniego zadania. Rozwiązanie. Mamy n = 168, m = 2. s V = χ2obl ≈ 0.53. n(m − 1) s C= χ2obl 2 χobl + n ≈ 0.47. 79 Tablice Tablice Tablica 1. Wartości Φ(u) rozkładu normalnego N (0, 1) u 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 0,00 0,5000 ,5398 ,5793 ,6179 ,6554 ,6915 ,7257 ,7580 ,7881 ,8159 0,8413 ,8643 ,8849 ,9032 ,9192 ,9332 ,9452 ,9554 ,9641 ,9713 0,9772 ,9821 ,9861 ,9893 ,9918 ,9938 ,9953 ,9965 ,9974 ,9981 ,9987 ,9990 ,9993 ,9995 ,9997 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 ,5438 ,5478 ,5517 ,5557 ,5596 ,5636 ,5675 ,5714 ,5753 ,5832 ,5871 ,5910 ,5948 ,5987 ,6026 ,6064 ,6103 ,6141 ,6217 ,6255 ,6293 ,6331 ,6368 ,6406 ,6443 ,6480 ,6517 ,6591 ,6628 ,6664 ,6700 ,6736 ,6772 ,6808 ,6844 ,6879 ,6950 ,6985 ,7019 ,7054 ,7088 ,7123 ,7157 ,7190 ,7224 ,7290 ,7324 ,7357 ,7389 ,7422 ,7454 ,7486 ,7517 ,7549 ,7611 ,7642 ,7673 ,7704 ,7734 ,7764 ,7794 ,7823 ,7852 ,7910 ,7939 ,7967 ,7995 ,8023 ,8051 ,8078 ,8106 ,8133 ,8186 ,8212 ,8238 ,8264 ,8289 ,8315 ,8340 ,8365 ,8389 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 ,8665 ,8686 ,8708 ,8729 ,8749 ,8770 ,8790 ,8810 ,8830 ,8869 ,8888 ,8907 ,8925 ,8944 ,8962 ,8980 ,8997 ,9015 ,9049 ,9066 ,9082 ,9099 ,9115 ,9131 ,9147 ,9162 ,9177 ,9207 ,9222 ,9236 ,9251 ,9265 ,9279 ,9292 ,9306 ,9319 ,9345 ,9357 ,9370 ,9382 ,9394 ,9406 ,9418 ,9429 ,9441 ,9463 ,9474 ,9484 ,9495 ,9505 ,9515 ,9525 ,9535 ,9545 ,9564 ,9573 ,9582 ,9591 ,9599 ,9608 ,9616 ,9625 ,9633 ,9649 ,9656 ,9664 ,9671 ,9678 ,9686 ,9693 ,9699 ,9706 ,9719 ,9726 ,9732 ,9738 ,9744 ,9750 ,9756 ,9761 ,9767 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 ,9826 ,9830 ,9834 ,9838 ,9842 ,9846 ,9850 ,9854 ,9857 ,9864 ,9868 ,9871 ,9875 ,9878 ,9881 ,9884 ,9887 ,9890 ,9896 ,9898 ,9901 ,9904 ,9906 ,9909 ,9911 ,9913 ,9916 ,9920 ,9922 ,9925 ,9927 ,9929 ,9931 ,9932 ,9934 ,9936 ,9940 ,9941 ,9943 ,9945 ,9946 ,9948 ,9949 ,9951 ,9952 ,9955 ,9956 ,9957 ,9959 ,9960 ,9961 ,9962 ,9963 ,9964 ,9966 ,9967 ,9968 ,9969 ,9970 ,9971 ,9972 ,9973 ,9974 ,9975 ,9976 ,9977 ,9977 ,9978 ,9979 ,9979 ,9980 ,9981 ,9982 ,9982 ,9983 ,9984 ,9984 ,9985 ,9985 ,9986 ,9986 ,9987 ,9987 ,9988 ,9988 ,9989 ,9989 ,9989 ,9990 ,9990 ,9991 ,9991 ,9991 ,9992 ,9992 ,9992 ,9992 ,9993 ,9993 ,9993 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9995 ,9995 ,9995 ,9995 ,9995 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9998 80 Tablica 2. Kwantyle rozkładu normalnego N (0, 1), u(p) = Φ− (p) p 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 Φ− (p) 0.0000 0.0251 0.0502 0.0753 0.1005 0.1257 0.1510 0.1764 0.2019 0.2276 0.2534 0.2794 0.3055 0.3319 0.3585 0.3854 0.4125 0.4400 0.4677 0.4959 0.5244 0.5534 0.5829 0.6129 0.6434 p 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 Φ− (p) 0.6745 0.7063 0.7389 0.7722 0.8065 0.8417 0.8779 0.9154 0.9542 0.9945 1.0365 1.0804 1.1264 1.1750 1.2266 1.2816 1.3408 1.4051 1.4758 1.5548 1.6449 1.7507 1.8808 2.0537 2.3263 Tablica 2.5 Uproszczone kwantyle u(p) rozkładu normalnego N (0, 1) p u(p) 0,90 1,28 0,95 1,64 0,975 1,96 0,99 2,33 0,995 2,58 81 Tablice Tablica 3. Kwantyle t(p, k) rzędu p rozkładu Studenta o k stopniach swobody k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,90 3,078 1,886 ,638 ,533 ,476 1,440 ,415 ,397 ,383 ,372 1,363 ,356 ,350 ,345 ,341 1,337 ,333 ,330 ,328 ,325 1,323 ,321 ,319 ,318 ,316 1,315 ,314 ,312 ,311 ,310 0,95 6,314 2,920 ,353 ,132 ,015 1,943 ,895 ,859 ,833 ,812 1,795 ,782 ,771 ,761 ,753 1,746 ,740 ,734 ,729 ,725 1,721 ,717 ,714 ,711 ,708 1,706 ,703 ,701 ,699 ,697 p 0,975 12,706 4,303 3,182 2,776 ,571 2,447 ,365 ,306 ,262 ,228 2,201 ,179 ,160 ,145 ,131 2,120 ,110 ,101 ,093 ,086 2,080 ,074 ,069 ,064 ,060 2,055 ,052 ,048 ,045 ,042 0,99 31,821 6,965 4,541 3,747 ,365 3,143 2,998 ,897 ,821 ,764 2,718 ,681 ,650 ,624 ,602 2,583 ,567 ,552 ,539 ,528 2,518 ,508 ,500 ,492 ,485 2.479 ,473 ,467 ,462 ,457 0,995 63,657 9,925 5,841 4,604 ,032 3,707 ,499 ,355 ,250 ,169 3,106 ,054 ,012 2,977 ,947 2,921 ,898 ,878 ,861 ,845 2,831 ,819 ,807 ,797 ,787 2,779 ,771 ,763 ,756 ,750 82 Tablica 3. Kwantyle t(p, k) rzędu p rozkładu Studenta o k stopniach swobody c.d. k 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 55 60 65 70 75 80 90 100 120 150 200 300 500 1000 ∞ 0,90 1,309 ,309 ,308 ,307 ,306 1,305 ,305 ,304 ,304 ,303 1,303 ,302 ,302 ,301 ,301 1.300 ,300 ,299 ,299 ,299 1,297 ,295 ,295 ,294 ,293 1,292 ,291 ,290 ,289 ,287 1,286 ,284 ,283 ,282 ,282 0,95 1,695 ,694 ,692 ,691 ,690 1,688 ,687 ,686 ,685 ,684 1,683 ,682 ,681 ,680 ,679 1,679 ,678 ,677 ,677 ,676 1,673 ,671 ,669 ,667 ,665 1,664 ,662 ,660 ,658 ,655 1,653 ,650 ,648 ,646 ,645 p 0,975 2,039 ,037 ,034 ,032 ,030 2,028 ,025 ,024 ,023 ,021 2,019 ,018 ,017 ,015 ,014 2,013 ,012 ,011 ,010 ,009 2,004 ,000 1,997 ,994 ,992 1,990 ,987 ,984 ,980 ,976 1,972 ,968 ,965 ,962 ,960 0,99 2,453 ,449 ,445 ,441 ,438 2,434 ,431 ,429 ,425 ,423 2,421 ,418 ,416 ,414 ,412 2,410 ,408 ,407 ,405 ,403 2,396 ,390 ,385 ,381 ,377 2,374 ,369 ,364 ,358 ,351 2,345 ,339 ,334 ,330 ,326 0,995 2,744 ,738 ,733 ,728 ,724 2,720 ,715 ,712 ,708 ,704 2,701 ,698 ,695 ,692 ,690 2,687 ,685 ,682 ,680 ,678 2,668 ,660 ,654 648 ,643 2,639 632 ,626 ,617 ,609 2,601 ,592 ,586 ,581 ,576 83 Tablice Tablica 4. Kwantyle χ2 (p, k) rzędu p rozkładu χ2 o k stopniach swobody p k 0,005 0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99 0,995 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,257 14,954 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,336 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 3,841 5,991 7,815 9,488 11,071 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 5,024 7,378 9,348 11,143 12,833 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,194 44,461 45,722 46,979 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,299 29,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,559 46,928 48,290 49,645 50,993 52,336 53,672 84 Tablica 4. Kwantyle χ2 (p, k) rzędu p rozkładu χ2 o k stopniach swobody c.d p k 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 0,005 14,458 15,134 15,815 16,501 17,192 17,887 18,586 19,289 19,996 20,707 21,421 22,138 22,859 23,584 24,311 25,041 25,775 26,511 27,249 27,991 0,01 15,655 16,362 17,074 17,789 18,509 19,233 19,960 20,691 21,426 22,164 22,906 23,650 24,398 25,148 25,901 26,657 27,416 28,177 28,941 29,707 0,025 17,539 18,291 19,047 19,806 20,569 21,336 22,106 22,878 23,654 24,433 25,215 25,999 26,785 27,575 28,366 29,160 29,956 30,755 31,555 32,357 0,05 19,281 20,072 20,867 21,664 22,465 23,269 24,075 24,884 25,695 26,509 27,326 28,144 28,965 29,787 30,612 31,439 32,268 33,098 33,930 34,764 0,95 44,985 46,194 47,400 48,602 49,802 50,998 52,192 53,384 54,572 55,758 56,942 58,124 59,304 60,481 61,656 62,830 64,001 65,171 66,339 67,505 0,975 48,232 49,480 50,725 51,966 53,203 54,437 55,668 56,896 58,120 59,342 60,561 61,777 62,990 64,201 65,410 66,617 67,821 69,023 70,222 71,420 0,99 52,191 43,486 54,776 56,061 57,342 58,619 59,892 61,162 62,428 63,691 64,950 66,206 67,459 68,710 69,957 71,201 72,443 73,683 74,919 76,154 0,995 55,003 56,328 57,648 58,964 60,275 61,581 62,883 64,181 65,476 66,766 68,053 69,336 70,616 71,893 73,166 74,437 75,704 76,969 78,231 79,490 85 Tablice Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k1 , k2 ) rzędu 1 − α rozkładu F Snedecora o k1 , k2 stopniach swobody, 1 − α = 0.95 k1 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ 1 2 3 4 161 18,50 10,10 7,71 6,61 5,99 ,59 ,32 ,12 4,96 4,84 ,75 ,67 ,60 ,54 ,49 ,45 ,41 ,38 ,35 4,32 ,30 ,28 ,26 ,24 ,23 ,21 ,20 ,18 ,17 4,08 ,00 3,92 ,84 200 19 9,55 6,94 5,79 ,14 4,74 ,46 ,26 ,10 3,98 ,89 ,81 ,74 ,68 ,63 ,59 ,55 ,52 ,49 3,47 ,44 ,42 ,40 ,39 ,37 ,35 ,34 ,33 ,32 3,23 ,15 ,07 ,00 216 19,2 9,28 6,59 5,41 4,76 ,35 ,07 3,86 ,71 3,59 ,49 ,41 ,34 ,29 ,24 ,20 ,16 ,13 ,10 3,07 ,05 ,03 ,01 2,99 ,98 ,96 ,95 ,93 ,92 2,84 ,76 ,68 ,60 225 19,2 9,12 6,39 5,19 4,53 ,12 3,84 ,63 ,48 3,36 ,26 ,18 ,11 ,06 ,01 2,96 ,93 ,90 ,87 2,84 ,82 ,80 ,78 ,76 ,74 ,73 ,71 ,70 ,69 2,61 ,53 ,44 ,37 5 230 19,3 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 ,69 ,48 ,33 3,20 ,11 ,03 2,96 ,90 ,85 ,81 ,77 ,74 ,71 2,68 ,66 ,64 ,62 ,60 ,59 ,57 ,56 ,55 ,53 2,45 ,37 ,29 ,21 6 234 19,3 8,94 6,16 4,95 ,28 3,87 ,58 ,37 ,22 3,09 ,00 2,92 ,85 ,79 ,74 ,70 ,66 ,63 ,60 2,57 ,55 ,53 ,51 ,49 ,47 ,46 ,45 ,43 ,42 2,34 ,25 ,17 ,10 7 237 19,4 8,89 6,09 4,88 ,21 3,79 ,50 ,29 ,14 3,01 2,91 ,83 ,76 ,71 ,66 ,61 ,58 ,54 ,51 2,49 ,46 ,44 ,42 ,40 ,39 ,37 ,36 ,35 ,33 2,25 ,17 ,08 ,01 8 239 19,4 8,85 6,04 4,82 ,15 3,73 ,44 ,23 ,07 2,95 ,85 ,77 ,70 ,64 ,59 ,55 ,51 ,48 ,45 2,42 ,40 ,37 36 ,34 ,32 ,31 ,29 ,28 ,27 2,18 ,10 ,01 1,94 86 Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k1 , k2 ) rzędu 1 − α rozkładu F Snedecora o k1 , k2 stopniach swobody c.d., 1 − α = 0.95 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ 10 12 20 242 19,40 8,79 5,96 4,74 ,06 3,64 ,35 ,14 2,98 2,85 ,75 ,67 ,60 ,54 ,49 ,45 ,41 ,38 ,35 2,32 ,30 ,27 ,25 ,24 ,22 ,20 ,19 ,18 ,16 2,08 1,99 ,91 ,83 244 19,4 8,74 5,91 4,68 ,00 3,57 ,28 ,07 2,91 2,79 ,69 ,60 ,53 ,48 ,42 ,38 ,34 ,31 ,28 2,25 ,23 ,20 ,18 ,16 ,15 ,13 ,12 ,10 ,09 2,00 1,92 ,83 ,75 248 19,4 8,66 5,80 4,56 3,87 ,44 ,15 2,94 ,77 2,65 ,54 ,46 ,39 ,33 ,28 ,23 ,19 ,16 ,12 2,10 ,07 ,05 ,03 ,01 1,99 ,97 ,96 ,94 ,93 1,84 ,75 ,65 ,57 k1 40 251 19,5 8,59 5,72 4,46 3,77 ,34 ,04 2,83 ,66 2,53 ,43 ,34 ,27 ,20 ,15 ,10 ,06 ,03 1,99 1,96 ,94 ,91 ,89 ,87 ,85 ,84 ,82 ,81 ,79 1,69 ,59 ,49 ,39 60 252 19,5 8,57 5,69 4,43 3,74 ,30 ,01 2,79 ,62 2,49 ,38 ,30 ,22 ,16 ,11 ,06 ,02 1,98 ,95 1,92 ,89 ,86 ,84 ,82 ,80 ,79 ,77 ,75 ,74 1,64 ,53 ,42 ,32 100 253 19,5 8,55 5,66 4,41 3,71 ,27 2,97 ,76 ,59 2,46 ,35 ,26 ,19 ,12 ,07 ,02 1,98 ,94 ,91 1,88 ,85 ,82 ,80 ,78 ,76 ,74 ,73 ,71 ,70 1,59 ,48 ,36 ,24 ∞ 254 19,5 8,53 5,63 4,37 3,67 ,23 2,93 ,71 ,54 2,40 ,30 ,21 ,13 ,07 ,01 1,96 ,92 ,88 ,84 1,81 ,78 ,76 ,73 ,71 ,69 ,67 ,65 ,64 ,62 1,51 ,39 ,25 ,00 87 Tablice Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k1 , k2 ) rzędu 1 − α rozkładu F Snedecora o k1 , k2 stopniach swobody, c.d 1 − α = 0.975 k1 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ 1 2 3 4 648 38,50 17,40 12,2 10,0 8,81 ,07 7,57 ,21 6,94 6,72 ,55 ,41 ,30 ,20 ,12 ,04 5,98 ,92 ,87 5,83 ,79 ,75 ,72 ,69 ,66 ,63 ,61 ,59 ,57 5,42 ,29 ,15 ,02 800 39 16 10,6 8,43 7,26 6,54 ,06 5,71 ,46 5,26 ,10 4,97 ,86 ,76 ,69 ,62 ,56 ,51 ,46 4,42 ,38 ,35 ,32 ,29 ,27 ,24 ,22 ,20 ,18 4,05 3,93 ,80 ,69 864 39,2 15,4 9,98 7,76 6,60 5,89 ,42 ,08 4,83 4,63 ,47 ,35 ,24 ,15 ,08 ,01 3,95 ,90 ,86 3,82 ,78 ,75 ,72 ,69 ,67 ,65 ,63 ,61 ,59 3,46 ,34 ,22 ,12 900 39,2 15,1 9,60 7,39 6,23 5,52 ,05 4,72 ,47 4,28 ,12 ,00 3,89 ,80 ,73 ,66 ,61 ,56 ,51 3,48 ,44 ,41 ,38 ,35 ,33 ,31 ,29 ,27 ,25 3,13 ,01 2,89 ,79 5 922 39,3 14,9 9,36 7,15 5,99 ,29 4,82 ,48 ,24 4,04 3,89 ,77 ,66 ,58 ,50 ,44 ,38 ,33 ,29 3,25 ,22 ,18 ,15 ,13 ,10 ,08 ,06 ,04 ,03 2,90 ,79 ,67 ,57 6 937 39,3 14,7 9,20 6,98 5,82 ,12 4,65 ,32 ,07 3,88 ,73 ,60 ,50 ,41 ,34 ,28 ,22 ,17 ,13 3,09 ,05 ,02 2,99 ,97 ,94 ,92 ,90 ,88 ,87 2,74 ,63 ,51 ,41 7 948 39,4 14,6 9,07 6,85 5,70 4,99 ,53 ,20 3,95 3,76 ,61 ,48 ,38 ,29 ,22 ,16 ,10 ,05 ,01 197 ,93 ,90 ,87 ,85 ,82 ,80 ,78 ,76 ,75 162 ,51 39 ,29 8 957 39,4 14,5 8,98 6,76 5,60 4,90 ,43 ,10 3,85 3,66 ,51 ,39 ,29 ,20 ,12 ,06 ,01 2,96 ,91 2,87 ,84 ,81 ,78 ,75 ,73 ,71 ,69 ,67 ,65 2,53 ,41 30 ,19 88 Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k1 , k2 ) rzędu 1 − α rozkładu F Snedecora o k1 , k2 stopniach swobody c.d., 1 − α = 0.975 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ 10 12 20 969 39,4 14,4 8,84 6,62 5,46 4,76 ,30 3,96 ,72 3,53 ,37 ,25 ,15 ,06 2,99 ,92 ,87 ,82 ,77 2,73 ,70 ,67 ,64 ,61 ,59 ,57 ,55 ,53 ,51 2,39 ,27 ,15 ,05 977 39,4 14,3 8,75 6,52 5,37 4,67 ,20 3,87 ,62 3,43 ,28 ,15 ,05 2,96 ,89 ,82 ,77 ,72 ,68 2,64 ,60 ,57 ,54 ,51 ,49 ,47 ,45 ,43 ,41 2,29 ,17 ,05 1,94 993 39,4 14,2 8,56 6,33 5,17 4,47 ,00 3,67 ,42 3,23 ,07 2,95 ,84 ,76 ,68 ,62 ,56 ,51 ,46 2,42 ,39 ,36 ,33 ,30 ,28 ,25 ,23 ,21 ,20 2,07 1,94 ,82 ,71 k1 40 1006 39,5 14,0 8,41 6,18 5,01 4,31 3,84 ,51 ,26 3,06 2,91 ,78 ,67 ,58 ,51 ,44 ,38 ,33 ,29 2,25 ,21 ,18 ,15 ,12 ,09 ,07 ,05 ,03 ,01 1,88 ,74 ,61 ,48 60 1010 39,5 14,0 8,36 6,12 4,92 ,25 3,78 ,45 ,20 3,00 2,85 ,72 ,61 ,52 ,45 ,38 ,32 ,27 ,22 2,18 ,14 ,11 ,08 ,05 ,03 ,00 1,98 ,96 ,94 1,80 ,67 ,52 ,39 100 1013 39,5 14,0 8,32 6,08 4,92 ,21 3,74 ,40 ,15 2,96 ,80 ,67 ,56 ,47 ,40 ,33 ,27 22 ,17 2,13 ,09 ,06 ,02 ,00 1,97 ,94 ,92 ,90 ,88 1,74 ,60 ,45 ,30 ∞ 1018 39,5 13,9 8,26 6,02 4,85 ,14 3,67 ,33 ,08 2,88 ,72 ,60 ,49 ,40 ,32 ,25 ,19 ,13 ,09 2,04 ,00 1,97 ,94 ,91 ,88 ,85 ,83 ,81 ,79 1,64 ,48 ,31 ,00 89 Tablice Tablica 6. Kwantyle dn (1 − α) statystyki Dn Kołmogorowa n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,10 0,950 ,776 ,636 ,565 ,509 ,468 ,436 ,410 ,387 ,369 ,352 ,338 ,325 ,314 ,304 ,295 ,286 ,279 ,271 ,265 ,259 ,253 ,247 ,242 ,238 ,233 ,229 ,225 ,221 ,218 α 0,05 0,975 ,842 ,708 ,624 ,563 ,519 ,483 ,454 ,430 ,409 ,391 ,375 ,361 ,349 ,338 ,327 ,318 ,309 ,301 ,294 ,287 ,281 ,275 ,269 ,264 ,259 ,254 ,250 ,246 ,242 0,01 0,995 ,929 ,829 ,734 ,669 ,617 ,576 ,542 ,513 ,489 ,468 ,449 ,432 ,418 ,404 ,392 ,381 ,371 ,361 ,352 ,344 ,337 ,330 ,323 ,317 ,311 ,305 ,300 ,294 ,290 n 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 0,10 0,168 ,166 ,165 ,163 ,162 ,160 ,159 ,158 ,156 ,155 ,154 ,153 ,151 ,150 ,149 ,148 ,147 ,146 ,145 ,144 ,143 ,142 ,141 ,140 ,139 ,138 ,137 ,136 ,136 ,135 α 0,05 0,187 ,185 ,183 ,181 ,180 ,178 ,177 ,175 ,174 ,172 ,171 ,170 ,168 ,167 ,166 ,164 ,163 ,162 ,161 ,160 ,159 ,158 ,156 ,155 ,154 ,153 ,152 ,151 ,151 ,150 0,01 0,224 ,222 ,220 ,218 ,216 ,214 ,212 ,210 ,208 ,207 ,205 ,203 ,202 ,200 ,199 ,197 ,196 ,194 ,193 ,192 ,190 ,189 ,188 ,186 ,185 ,184 ,183 ,182 ,181 ,179 90 Tablica 6. Kwantyle dn (1 − α) statystyki Dn Kołmogorowa c.d. n 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 0,10 ,214 ,211 ,208 ,205 ,202 ,199 ,196 ,194 ,191 ,189 ,187 ,185 ,183 ,181 ,179 ,177 ,175 ,173 ,171 ,170 α 0,05 ,238 ,234 ,231 ,227 ,224 ,221 ,218 ,215 ,213 ,210 ,208 ,205 ,203 ,201 ,198 ,196 ,194 ,192 ,190 ,188 0,01 ,285 ,281 ,277 ,273 ,269 ,265 ,262 ,258 ,255 ,252 ,249 ,246 ,243 ,241 ,238 ,235 ,233 ,231 ,228 ,226 n 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 0,10 ,134 ,133 ,132 ,131 ,131 ,130 ,129 ,128 ,128 ,127 ,126 ,126 ,125 ,124 ,124 ,123 ,122 ,122 ,121 ,121 α 0,05 ,149 ,148 ,147 ,146 ,145 ,144 ,144 ,143 ,142 ,141 ,140 ,140 ,139 ,138 ,137 ,137 ,136 ,135 ,135 ,134 0,01 ,178 ,177 ,176 ,175 ,174 ,173 ,172 ,171 ,170 ,169 ,168 ,168 ,167 ,166 ,165 ,164 ,163 ,162 ,162 ,161 91 Tablice Tablica 8. Wartości krytyczne k(α, n1 n2 ) rozkładu liczby serii; k(α, n1 , n2 ) = k(α, n1 , n2 ) → n1 ↓ n2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 → n1 5 6 7 3 3 3 3 4 2 4 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 4 3 3 4 3 4 4 3 4 4 3 4 5 3 4 5 4 4 5 4 4 5 4 5 5 4 5 5 4 5 6 4 5 6 5 6 7 8 3 4 4 5 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 8 9 4 4 5 5 6 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 9 10 4 5 5 6 6 6 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 10 11 4 5 5 6 6 7 7 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 11 α = 0, 05 12 13 14 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 7 10 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 8 9 9 8 9 9 9 9 10 9 10 10 12 13 14 α = 0.01 15 5 6 6 7 8 8 9 9 10 10 11 9 9 10 10 10 11 15 16 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 11 11 10 10 11 11 11 16 17 5 6 7 7 8 9 9 10 10 11 11 12 12 10 11 11 11 17 18 5 6 7 8 8 9 10 10 11 11 12 12 13 13 19 5 6 7 8 8 9 10 10 11 12 12 13 13 14 14 20 n2 ↓ 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 10 10 11 10 12 11 13 12 14 12 15 13 16 13 17 14 18 14 19 15 20 11 12 12 12 12 13 18 19 20