Zadania ze statystyki matematycznej

Komentarze

Transkrypt

Zadania ze statystyki matematycznej
Jan Rusinek
50
zadań ze statystyki matematycznej dla
studentów
ZARZĄDZANIA
z rozwiązaniami
UWAGA!
Ten tekst jest w trakcie przygotowania i sprawdzania.
Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany i umieszczany pod aktualną datą! Autor będzie wdzięczny za uwagi:
[email protected]
Obecna data 29.2.2016
2
3
Wstęp
Zbiorek ten zawiera zadania ze statystyki matematycznej wybrane z zadań przerabianych na zajęciach, zadań domowych i egzaminacyjnych na studiach drugiego stopnia kierunku zarządzanie w Wyższej Szkole Menedżerskiej w Warszawie. Część rachunków jest wykonana przy pomocy darmowego programu calc z pakietu OpenOffice.
W zadaniach, w których trzeba samodzielnie obliczać wartości średnie i wariancje, próbki są bardzo niewielkiej liczności. Oczywiście w
praktyce używa się znacznie większych próbek. Chodzi jednak o to,
aby poznać metody, nie tracąc czasu na żmudne (nawet jeśli używamy
komputera, to samo wpisanie danych z dużej próbki zajmuje sporo
czasu) obliczenia.
Mam nadzieję, że zbiorek ten pomoże studentom w opanowaniu
tego przedmiotu i w przygotowaniu się do egzaminu.
4
WZORY I OZNACZENIA
µ – wartość średnia
σ – odchylenie standardowe
n – liczba prób
k – liczba
Pnsukcesów w n próbach
1
x= n
x – średnia z próby
i=1 i
Pn
1
s2 = n−1
(x − x)2 – wariancja z próby
i=1 i
√
s = s2 – odchylenie standardowe z próby
√s – błąd standardowy
n
u(p) – p-ty kwantyl rozkładu normalnego N (0, 1)
t(p, j) – p-ty kwantyl rozkładu Studenta o j stopniach swobody
χ2 (p, j) – p-ty kwantyl rozkładu χ2 o j stopniach swobody
F(p, i, j) – p-ty kwantyl rozkładu Snedecora o i, j stopniach swobody
Dnobl – statystyka testowa dla rozkładu Kołmogorowa
dn (p) – p-ty kwantyl statystyki Dn Kołmogorowa
k(p, i, j) – wartość krytyczna rozkładu liczby serii
Wzór na dystrybuantę rozkładu jednostajnego na przedziale [a; b].
(
F (x) =
0
x−a
b−a
1
dla
dla
dla
x < a,
a ¬ x ¬ b,
x > b.
5
A) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ
Model A1. Rozkład normalny, znane σ.
P = [x − l; x + l], l = u(1 −
σ
α
)
.
2 √n
Model A2. Rozkład normalny, nieznane σ.
P = [x − l; x + l], l = t(1 −
α
,n
2
s
− 1) √ .
n
Model A3. Rozkład dowolny, nieznane σ, n ­ 30.
P = [x − l; x + l], l = u(1 −
s
α
)
.
2 √n
6
B) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA FRAKCJI ELEMENTÓW
WYRÓŻNIONYCH
Model B1. Raczej duża próba (n ­ 30).
r
h
P =
k
k
− l; + l , l = u 1 −
n
n
i
α
k
n
1−
2
k
n
n
.
UWAGA. Można też stosować nieco dokładniejszy, ale bardziej skomplikowany
wzór
q
P =
u(1 −
α 2
)
2
+ 2k
2(n + u(1 −
α 2
) )
2
− l;
u(1 −
α 2
)
2
+ 2k
2(n + u(1 −
α 2
) )
2
+l , l=
u
α
u(1− )2
2
4
k(n−k)
n
α 2
)
2
+
n + u(1 −
.
7
C) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ODCHYLENIA
STANDARDOWEGO
Model C1. Rozkład normalny.
r
P = s
n−1
;s
χ2 (1 − α
, n − 1)
2
r
n−1
.
χ2 ( α
, n − 1)
2
Model C2. Rozkład normalny, duża próba (n ­ 30).
"
P =
√
s
p
2(n − 1)
2n − 3 + u(1 −
α
)
2
;√
s
#
p
2(n − 1)
2n − 3 − u(1 −
α
)
2
.
8
MINIMALNA LICZNOŚĆ PRÓBY
Model M1. Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x − l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny, znane σ.
u 1−
n­
α
2
!2
σ
.
l
Model M2. (Procedura Steina) Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x −
l; x + l] dla wartości średniej, rozkład normalny nieznane σ.
n­
t 1−
α
, n0
2
−1
s 0 2
l
n0 − 1
+ 1,
n0
gdzie n0 liczność wstępnej próby,
x0 =
1
n0
n0
X
xi ,
s20 =
i=1
1
n0 − 1
n0
X
(xi − x0 )2 .
i=1
Po dodaniu n − n0 prób
s0przedział ufności liczymy z wzoru: P = [x − l; x + l], gdzie
√ .
l=t 1− α
,
n
−
1
0
2
n
Model M3. Przy wyznaczaniu przedziału ufności
mentów wyróżnionych.
n­
u(1 −
4l2
α 2
)
2
.
k
n
− l;
k
n
+ l dla frakcji ele-
9
TESTY ZGODNOŚCI
Test χ2
χ2obl =
X (wartość zaobserwowana − wartość spodziewana)2
wartość spodziewana
.
Hipotezę odrzucamy, jeśli
χ2obl > χ2 (1 − α, k − 1),
k – liczba składników w sumie.
Test Kołmogorowa
Sprawdzamy, czy próbki pochodzą z rozkładu o dystrybuancie F (x). Ustawiamy
próbki w ciąg niemalejący: x1 , . . . xn . Statystyka testowa
Dnobl = sup |Sn (x) − F (x)|,
x∈IR
gdzie
(
Sn (x) =
0
i
n
1
dla
dla
dla
x < x1 ,
xi ¬ x < xi+1 ,
x ­ xn .
Hipotezę odrzucamy, jeśli
Dnobl > dn (1 − α).
Test serii
Sprawdzamy, czy dwie próbki pochodzą z takego samego rozkładu. α - poziom
istotności, i liczebność pierwszej, a j liczebność drugiej próbki. Dwie próbki ustawiamy we wspólny ciąg rosnący. Serią nazywamy podciąg kolejnych elementów z
tej samej próbki. K oznacza liczbę serii. Hipotezę odrzucamy, jeśli
K ¬ k(α, i, j).
10
PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA ŚREDNIEJ
Hipoteza µ = µ0 , W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W
Model D1. Rozkład normalny o znanym σ.
g = uobl =
x − µ0 √
n.
σ
W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ0 ;
W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ > µ0 ;
W = (−∞; −u(1 − α
)] ∪ [u(1 − α
); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ 6= µ0 .
2
2
Model D2. Rozkład normalny o nieznanym σ, mała próba.
g = tobl =
x − µ0 √
n.
s
W = (−∞; −t(1 − α, n − 1)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ0 ;
W = [t(1 − α, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ > µ0 ;
W = (−∞; −t(1− α
, n−1)]∪[t(1− α
, n−1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ 6= µ0 .
2
2
Model D3. Rozkład dowolny o nieznanym σ. Duża próba.
g = uobl =
W jak w modelu D1.
x − µ0 √
n.
s
11
PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARIANCJI
Hipoteza σ = σ0 , W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W .
Model E1. Rozkład normalny o nieznanych µ i σ, n ¬ 50. Mając do dyspozycji
komputer można ten model stosować i do dużych n.
g = χ2obl =
(n − 1)s2
.
σ02
W = (0; χ2 (α, n − 1)] dla hipotezy przeciwnej σ < σ0 ;
W = [χ2 (1 − α, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej σ > σ0 ;
W = (0; χ2 ( α
, n − 1)] ∪ [χ2 (1 − α
, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej σ 6= σ0 ;
2
2
Model E2. - Rozkład normalny o nieznanych µ i σ (n ­ 50).
r
g = uobl =
√
2(n − 1)s2
− 2n − 3.
σ02
W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ0 ;
W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ > µ0 ;
W = (−∞; −u(1 − α
)] ∪ [u(1 − α
); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ 6= µ0 .
2
2
12
HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW
WYRÓŻNIONYCH
Hipoteza p = p0 . Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W .
Model F1. Próba powinna być raczej duża.
g = uobl =
k − np0
p
.
np0 (1 − p0 )
W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej p < p0 ;
W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej p > p0 ;
W = (−∞; −u(1 − α
)] ∪ [u(1 − α
); ∞) dla hipotezy przeciwnej p 6= p0 .
2
2
13
HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARIANCJI W DWÓCH
POPULACJACH
Model G1.
Hipoteza σ1 = σ2 . Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W .
Gdy hipotezą przeciwną jest σ1 > σ2 , to
g = Fobl =
s21
s22
.
W = [F (1 − α, n1 − 1, n2 − 1); ∞).
Gdy hipotezą przeciwną jest σ1 < σ2 , to zamieniamy kolejność próbek.
Gdy hipotezą przeciwną jest σ1 6= σ2 , to
g = Fobl =
max(s21 , s22 )
min(s21 , s22 )
.
W = [F(1 − α
, nl − 1, nm − 1); ∞), gdzie nl liczność probki o większej wariancji,
2
a nm o mniejszej.
14
HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W DWÓCH
POPULACJACH
Hipoteza µ1 = µ2 , W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W
Model H1 – rozkłady normalne znane σ1 i σ2 .
g = uobl =
x − x2
q 12
σ1
n1
+
.
2
σ2
n2
W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 ;
W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 > µ2 ;
)] ∪ [u(1 − α
); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 6= µ2 .
W = (−∞; −u(1 − α
2
2
Model H2. – rozkłady normalne, nieznane, ale równe σ1 i σ2 .
g = tobl =
x1 − x2
q
.
(n1 −1)s2
+(n2 −1)s2
1
2
n1 +n2 −2
·
n1 +n2
n1 n2
W = (−∞; −t(1 − α, n − 1)] dla hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 ;
W = [t(1 − α, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 > µ2 ;
W = (−∞; −t(1− α
, n−1)]∪[t(1− α
, n−1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 6= µ2 .
2
2
Model H3. rozkłady normalne, nieznane σ1 i σ2 , nieduża próbka.
Stosujemy statystykę (tzw. statystyka Cochrana i Coxa)
g = Cobl =
x − x2
q 12
s1
n1
+
.
s2
2
n2
Przybliżoną wartość kwantyla c(p, n1 , n2 ) znajdujemy z wzoru
c(p, n1 , n2 ) ≈
s2
1
t(p, n1
n1
− 1) +
s2
1
n1
+
s2
2
t(p, n2
n2
s2
2
n2
− 1)
.
Zbiór krytyczny:
W = (−∞; −c(1 − α, n1 , n2 )] dla hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 ;
W = [c(1 − α, n1 , n2 ); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 > µ2 ;
W = (−∞; −c(1 − α
, n1 , n2 )] ∪ [c(1 − α
, n1 , n2 ); ∞) dla hipotezy przeciwnej
2
2
µ1 6= µ2 ;
Model H4 – rozkłady dowolne, nieznane σ1 i σ2 – duża próba, n1 , n2 ­ 50.
g = uobl =
x − x2
q 12
s1
n1
+
s2
2
n2
.
15
W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 ;
W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 > µ2 ;
W = (−∞; −u(1 − α
)] ∪ [u(1 − α
); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ1 6= µ2 .
2
2
16
HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW
WYRÓŻNIONYCH W DWÓCH POPULACJACH
Model I1 – raczej duża próbka (n1 , n2 ­ 50)
Stawiamy hipotezę p1 = p2 .
Stosujemy statystykę
g = uobl =
k1
n1
q
k1 +k2
n1 n2
−
k2
n2
1−
k1 +k2
n1 +n2
.
Gdy liczność próby nie jest dostatecznie duża stosujemy statystykę:
r
uobl =
2 arc sin
k1
− 2 arc sin
n1
r
k2
n2
q
n1 n2
.
n1 + n2
Zbiór krytyczny:
W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej p1 < p2 ;
W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej p1 > p2 ;
); ∞) dla hipotezy przeciwnej p1 6= p2 ; gdzie
W = (−∞; −u(1 − α
)] ∪ [u(1 − α
2
2
n1 i n2 liczności pierwszej i drugiej próbki, k1 i k2 liczby sukcesów w pierwszej
i drugiej próbce.
17
TEST χ2 NIEZALEŻNOŚCI
χ2obl =
X (wartość zaobserwowana − wartość spodziewana)2
wartość spodziewana
.
Test odrzucamy, jeśli
χ2obl > χ2 (1 − α, (r − 1)(s − 1)),
gdzie r liczba wartości pierwszej cechy, a s liczba wartości drugiej cechy.
Współczynnik Cramera
r
V =
χ2obl
n(m − 1)
,
gdzie m = min(r, s)
Współczynnik C Pearsona
r
C=
χ2obl
χ2obl + n
n liczba wszystkich danych w macierzy r × s.
.
18
Jak używać programu calc?
Będziemy posługiwać się tym programem do obliczanie wartości
średniej, wariancji, odchylenia standardowego oraz wynikających z
tego dalszych rezultatów. Pokażemy to na przykładzie.
Zakładamy, że mamy dane empiryczne x1 = 7, x2 = 1, x3 = 5,
x4 = 3, x5 = 5 oraz liczbę µ0 = 3. Mamy policzyć kolejno
n
x=
1X
xk ,
n
k=1
n
s2 =
1 X
(xi − x)2 ,
n−1
k=1
√
s = s2 ,
a następnie wstawić to do wzoru:
x − µ0 √
n.
s
Uruchamiamy program calc i wpisujemy dane np. w komórkach
A1 − A5.
Daną µ0 możemy wpisać np w kolejnej komórce B1, a liczbę prób
(5) np. w komórce B2.
Warto wpisywać te dane w komórkach, a nie w ostatecznym wzorze, bo wtedy przy rozwiązywaniu następnego zadania opartego na
tym samym modelu, wystarczy zmienić dane bez konieczności zmiany
wzoru.
Wybieramy jakąć inną komórkę np. C1 i wpisujemy w niej wzór:
=ŚREDNIA(A1:A5)
Po zaakceptowaniu ukazuje się w tej komórce wynik 4.2.
Wybieramy następną komórkę powiedzmy C2 i wpisujemy w niej
wzór
19
=WARIANCJA(A1:A5)
Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 5.2.
Wybieramy kolejną komórkę np. C3 i wpisujemy w niej wzór
=pierwiastek(c2)
Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 2.28 (w zależności od tego jaką dokładność wybierzemy).
Wybieramy następną komórkę (np. C4) i wstawiamy w niej wzór
(patrz rysunek)
=(C1-B1)*pierwiastek(B2)/C3
Zauważmy, że możemy wpisywać wzory zarówno małymi jak i
dużymi literami.
Po zaakceptowaniu otrzymamy już ostateczny wynik 1.1767.
Program calc zamiast tablic statystycznych
Większość danych potrzebnych do rozwiązywania zamieszczonych tu zadań zamiast z tablic, możemy wygenerować przy pomocy
20
programu calc. Niektóre są nieco inaczej zdefiniowane niż w tablicach statystycznych, dlatego podajemy dokładnie co trzeba zrobić,
aby otrzymać dane zgodne z tablicami.
Ia) Dystrybuanta rozkładu normalnego
Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie
N (0, 1), a dana x jest umieszczona np. w komórce A1 wpisujemy w
komórce wyniku
=rozkład.normalny.s(a1)
Ib) Kwantyle rozkładu normalnego
Aby wyznaczyć kwantyl u(p) rozkładu normalnego N (0, 1) np.
dla danej p umieszczonej w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku
=rozkład.normalny.s.odw(b1)
IIa) Dystrybuanta rozkładu t Studenta
Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie t
Studenta z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w
komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku
=1-rozkład.t(a1;b1;1)
Program akceptuje tylko x-y dodatnie. Aby wyznaczyć P (X < x) dla
x ujemnych wystarczy skorzystać z wzoru
P (X < x) = P (X > −x) = 1 − P (X < −x).
IIb) Kwantyle rozkładu t Studenta
Aby wyznaczyć kwantyl t(p, n) rozkładu t Studenta dla danej
p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce B1 wpisujemy w
komórce wyniku
=rozkład.t.odw(2*(1-a1);b1)
IIIa) Dystrybuanta rozkładu χ2
21
Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie
χ2 z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce
A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku
=1-rozkład.chi(a1;b1)
Gęstość rozkładu χ2 (t) jest różna od zera tylko dla t dodatnich dlatego wzór działa tylko dla x ­ 0.
IIIb) Kwantyle rozkładu χ2
Aby wyznaczyć kwantyl χ2 (p, n) rozkładu χ2 dla danej p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce A2 wpisujemy w komórce
wyniku
=rozkład.chi.odw(1-a1;a2)
IVa) Dystrybuanta rozkładu F Snedecora
Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie F
Snedecora z n, k stopniami swobody, dana x jest umieszczona np. w
komórce A1, a dana n w komórce B1, dana k w komórce C1 wpisujemy
w komórce wyniku
=1-rozkład.f(a1;b1;c1)
IVb) Kwantyle rozkładu F Snedecora
Aby wyznaczyć kwantyl F(p, n, k) rozkładu F dla danej p umieszczonej w komórce B1, danej n w komórce B2 i danej k w komórce B3
wpisujemy w komórce wyniku
=rozkład.f.odw(1-b1;b2;b3)
Korzystanie programu zamiast z tablic ma dodatkową zaletę, że
możemy znajdować wartości kwantyli dla nietypowych α, których nie
ma w tablicach np. 0.03, 0.17 itp. W tablicach zwykle nie ma też
dystrybuant innych rozkładów niż normalny.
Możemy też włączyć te wzory do danego modelu otrzymując
rozwiązanie w całości przy pomocy komputera. Odpowiedni przykład
opiszemy przy rozwiązywaniu konkretnego zadania.
22
Zadania
23
ZADANIE 1. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym
na przedziale [−1; 3] znajdź a) P (X < 0), b) P (X > 2), c) takie c, że
P (X < c) = 0.95 = p, czyli p-ty kwantyl rozkładu jednostajnego na
przedziale [−1; 3].
Rozwiązanie.
Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale [−1; 3] jest
równa

dla x < −1,
 0
x+1
dla −1 ¬ x ¬ 3,
F (x) =
 4
1
dla x > 3.
Zatem a) P (X < 0) = F (0) = 14 ., b) P (X > 2) = 1 − P (X <
2) = 1 − F (2) = 1 − 43 = 14 . c) Trzeba rozwiązać równanie P (X <
c) = 0.95, czyli c+1
4 = 0.95. Stąd c = 2.8.
24
ZADANIE 2. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie normalnym standardowym N (0, 1) i α = 0.02: a)
P (X > 2.3), b) P (X < −1.2), c) u(α), d) u(1 − α), e) u(1 − α2 ).
Rozwiązanie.
a) i b) znajdujemy w tablicy 1 otrzymując: a) 1−0.9893 = 0.0107;
b) 0.115 c), d) i e) można rozwiązać zarówno komputerem jak i przy
pomocy tablic. Otrzymamy c) u(0.02) = −2.05, d) u(0.98) = 2.05, e)
u(0.99) = 2.33.
25
ZADANIE 3. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X rozkładzie t Studenta z n = 9 oraz α = 0.05: a) P (X > 1.3),
b) P (X < −1.4), c) t(1 − α, n), d) t(1 − α2 , n),
Rozwiązanie.
a) i b) najlepiej rozwiązać programem calc otrzymując: a) 1 −
0.8870 = 0.1129; b) Musimy skorzystać z faktu, że t(−p, n) = 1 −
t(p, n). Otrzymamy wynik 0.0.0975. c) t(0.95, 9) = 1.83,
d) t(0.975, 9) = 2.26.
26
ZADANIE 4. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie χ2 z n = 20 i α = 0.05: a) P (X < 20), b)
P (X > 10), c) χ2 (α, n), d) χ2 (1 − α, n) e) χ2 (1 − α2 , n).
Rozwiązanie.
Dla a) i b) skorzystamy z programu calc. Otrzymamy dla a)
wartość 0.542, a dla b) 1 − 0.0318 = 0.9682. Dla c) - e) można też
skorzystać z tablic mamy: c) χ2 (0.05, 20) = 10.851, d) χ2 (0.95, 20) =
31.41, e) χ2 (0.975, 20) = 34.17.
27
ZADANIE 5. Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmiennej X o rozkładzie F z n = 8, k = 4, oraz dla α = 0.05: a) P (X > 3),
b) P (X < 4), c) F(1 − α, n, k), d) F(1 − α2 , n, k).
Rozwiązanie.
Dla a) i b) skorzystamy z programu calc otrzymując dla a) wartość 0.8489, a dla b) wartość 1 − 0.9025 = 0.0975. c) F(0.95, 9, 4) =
6.04, d) F(0.975, 9, 4) = 8.98.
28
ZADANIE 6. Przy pomocy programu calc znajdź dla próbki
x1 = 1.31, x2 = 2.45, x3 = 3.45, x4 = −2.71: a) x, b) s2 , c) s, d) błąd
standardowy.
Rozwiązanie.
a) x = 1.125, b) s2 = 7.3009, c) s = 2.702, d)
√s
n
= 1.351.
29
ZADANIE 7. Zaobserwowano, że waga noworodków w pewnym
szpitalu ma rozkład normalny z wartością średnią 3.6 kg i odchyleniem standardowym 0.26 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
dziecko urodzone w tym szpitalu waży: a) więcej niż 4 kg?; b) mniej
niż 3 kg?
Rozwiązanie.
a) a = 4, b = ∞. Stąd c =
4−3.6
0.26 ,
d = ∞. Zatem
P (4 < X) = 1 − Φ(c) = 0.40.
b) a = −∞, b = 3, Stąd c = −∞, d =
3−3.6
0.26
= −2.31. Zatem
P (X > 3) = Φ(−2.31) = 1 − Φ(2.31) = 1 − 0.989 = 0.0.11.
30
ZADANIE 8. Czas pracy żarówek produkowanych w pewnym zakładzie ma rozkład normalny z wartością średnią 700 godzin i odchyleniem standardowym 220 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
żarówka zepsuje się przed upływem 500 godzin pracy?
Rozwiązanie.
d=
Mamy µ = 700, σ = 220, a = −∞, b = 500. Stąd c = −∞,
= −0.91. Zatem
500−700
220
P (X < 500) = Φ(−0.91) = 1 − Φ(0.91) = 1 − 0.82 = 0.18.
31
ZADANIE 9. Plony zboża w gospodarstwach rolnych mają rozkład normalny z wartością średnią 45 kwintali/ha i odchyleniem standardowym 14 kwintali/ha. Jaki procent gospodarstw ma wydajność
większą niż 50 kwintali z hektara?
Rozwiązanie.
Dane: µ = 45, σ = 14, a = 50, b = ∞. Stąd c =
d = ∞. Zatem
50−45
14
P (50 < X) = 1 − Φ(.36) = 1 − 0.64 = 0.36.
Odp. 36%.
= 0.36,
32
ZADANIE 10. Wzrost żołnierzy ma rozkład normalny ze średnią
177 cm i odchyleniem standardowym 13 cm. W jednostce wojskowej
służy 1050 żołnierzy. Do kompanii honorowej zostanie wybranych 90
najwyższych. Ile trzeba mieć wzrostu, aby zostać wybranym?
Rozwiązanie.
90
1050
W tym zadaniu mamy dane prawdopodobieństwo P (X > a) =
= 0.086, a musimy wyznaczyć a. Mamy
0.086 = P (X > a) = 1 − Φ(c),
gdzie c = a−177
13 . Stąd Φ(c) = 0.914. W tablicach rozkładu normalnego znajdujemy, że c = 1.35. Stąd mamy równanie
1.35 =
a − 177
,
13
skąd a = 194.5.
Odp. Trzeba mieć co najmniej 194 cm wzrostu.
33
ZADANIE 11. Wiadomo, że maszyna do paczkowania cukru pakuje wg rozkładu normalnego z odchyleniem standardowym σ =
2dkg. Nastawiono ją na 1 kg i przebadano losowo 10 torebek otrzymując rezultaty w dkg: 103, 96, 99, 97, 99, 100, 101, 95, 97, 99. Oszacuj
punktowo i przedziałowo średnią wagę torebki na poziomie ufności
1 − α = 0.95.
Rozwiązanie.
a) Oszacowanie punktowe:
√s
n
Mamy x = 98.60, s = 2.41. Zatem błąd standardowy jest równy
= 0.76.
Ponieważ odchylenie standardowe jest znane stosujemy model
A1, gdzie
l = u(1 − α2 ) √σn .
W naszym przypadku l = 1.24 i
P = [97.36; 99.84].
34
ZADANIE 12. Rozwiąż poprzednie zadanie przy założeniu, że
odchylenie standardowe nie jest znane.
Rozwiązanie.
Tym razem stosujemy model A2, w którym
P = [x − l; x + l],
l = t(1 − α2 , n − 1) √sn .
W naszym przypadku n = 10, 1 − α2 = 0.975, t(0.975) = 2.26.
Stąd l = 1.72, skąd
P = [96.88; 100.32].
35
ZADANIE 13. Pewien algorytm sortowania przetestowano na 9
bazach danych losowo wymieszanych i uzyskano czasy sortowania
w sekundach: 9, 13, 21, 7, 21, 14, 12, 21, 11. Oszacuj wartość średnią
punktowo i przedziałowo przyjmując, że rozkład jest normalny oraz
współczynnik ufności 1 − α = 0.95.
Rozwiązanie.
a) Oszacowanie punktowe:
Obliczamy wartość średnią i wariancję. Otrzymujemy
x = 14.33,
Błąd standardowy jest równy
√s
9
s = 5.41.
= 1.8.
b) Oszacowanie przedziałowe:
Ponieważ próba jest mała i odchylenie standardowe nie jest znane
i rozkład jest normalny, stosujemy model A2.
l = t(1 − α2 , n − 1) √sn .
W naszym przypadku znajdujemy t(0.975, 8) = 2.306. Stąd
l = 2.306 ·
5.41
= 4.16.
3
Zatem przedział ufności jest równy [10.18; 18.49].
36
ZADANIE 14. Pewna duża firma komputerowa chce ustalić średnią wielkość sprzedaży w ciągu dnia. Na podstawie danych z 3 miesięcy (78 dni) obliczono wartość x równą 2953 tys. zł. i odchylenie
standardowe empiryczne s = 1034 tys. zł. Oszacuj średnią wielkość
dziennej sprzedaży przy współczynniku ufności 1 − α = 0.95.
Rozwiązanie.
Ponieważ próbka jest duża, skorzystamy z modelu A3. Mamy
α = 0.05, skąd 1− α2 = 0.975. Znajdujemy w tablicach u(1− α2 ) = 1.96.
√
= 229.5
Stąd l = 1.96 · 1034
78
Ostatecznie
P = [2723.5; 3182.5].
Znajdujemy
37
ZADANIE 15. Trzysta wylosowanych rodzin z danej miejscowości zapytano, czy posiadają w domu komputer. 121 rodzin odpowiedziało, że tak, w tym 91 rodzin ma komputer stacjonarny, a 42 rodziny laptop. Wyznacz przedziały ufności z 95%-ową wiarygodnością
dla procentu rodzin: a) posiadających komputer; b) posiadających
komputer stacjonarny; c) posiadających laptop; d) posiadających i
komputer stacjonarny i laptop.
Rozwiązanie.
Stosujemy model B1, czyli wzór
k
k
P =
− l; + l ,
n
n
qk
(1− k )
gdzie l = u(1 − α2 ) n n n .
Mamy n = 300. Znajdujemy w tablicach u(1 − α2 ) = 1.96.
W punkcie a) mamy k = 121, skąd k/n = 0.403 oraz l = 0.056.
Zatem
P = [0.348; 0.459] = [34.8%; 45.9%].
W punkcie b) mamy k = 91, skąd k/n = 0.303 oraz l = 0.052.
Zatem
P = [0.251; 0.355] = [25.1%; 35.5%].
W punkcie c) mamy k = 42, k/n = 0.14, l = 0.039. Stąd
P = [0.101; 0.179] = [10.1%; 17.9%].
W punkcie d) mamy k = 12 (dlaczego?), skąd k/n = 0.04 oraz
l = 0.022. Zatem
P = [0.018; 0.062] = [1.8%; 6.2%].
38
ZADANIE 16. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do
produkcji i porcjowania lodów. Nastawiono automat na 5 dkg i sprawdzono na bardzo dokładnej wadze 9 losowo wybranych porcji otrzymując wyniki w dkg: 5.07, 5.08, 4.91, 4.95, 5.00, 5.09. 4.98, 4.95, 4.96.
Zakładając, że rozkład jest normalny wyznacz przedziały ufności dla
odchylenia standardowego na poziomie ufności 1 − α = 0.99.
Rozwiązanie.
Stosujemy model C1. W tablicach rozkładu χ2 znajdujemy χ2 (1−
− 1) = χ2 (0.995, 8) = 21.96, χ2 ( α2 , n − 1) = χ2 (0.005, 8) = 1.34.
Natępnie mamy s = 0.065659. Stąd
#
" s
s
n−1
n−1
= [0.0396; 0.1602].
;s
P = s
χ2 ( α2 , n − 1)
χ2 (1 − α2 , n − 1)
α
2,n
Opiszemy krok po kroku jak można rozwiązać to zadanie całkowicie przy użyciu pakietu calc
Wpisujemy w komórkach A1-A9 dane. Wpisujemy w komórce B2
liczbę 0.99. Wpisujemy w komórce B3 liczbę 9. Wpisujemy w komórce
C1
=średnia(a1:a9)
Wpisujemy w komórce C2
=pierwiastek(wariancja(a1:a9))
Wpisujemy w komórce C3
=rozkład.chi.odw(b1/2;8)
Wpisujemy w komórce C4
=rozkład.chi.odw(1-b1/2;8)
Wpisujemy w komórce C5
=c2*pierwiastek((b3-1)/c3)
39
To będzie lewy koniec przedziału.
Wpisujemy w komórce D5
=c2*pierwiastek((b3-1)/c4)
To będzie prawy koniec przedziału.
40
ZADANIE 17. W celu sprawdzenia, czy automat do pakowania
mąki porcjuje precyzyjnie firma młynarska przed ewentualnym zakupem zważyła 200 kilogramowych torebek mąki i otrzymała wyniki w kg: x = 0.99 i odchylenie standardowe z próbki s = 0.077
dkg. Wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego przy
współczynniku ufności 1 − α = 0.95.
Rozwiązanie.
Dla dużej próby stosujemy nodel C2. Mamy u(1 −
α
2)
Stąd
#
√
√
0.077 398 0.077 398
= [0.072; 0.083].
;√
P = √
397 − 1.96
397 + 1.96
"
= 1.96.
41
ZADANIE 18. Mamy zważyć sztabkę złota. Chcemy, na poziomie ufności 0.95 otrzymać przedział ufności [x − l; x + l] z l = 0.01
mg. Elektroniczna waga ma rozkład błędów normalny z odchyleniem
standardowym 0.02 mg. Ile niezależnych pomiarów trzeba wykonać?
Rozwiązanie.
Ponieważ odchylenie standardowe jest znane, stosujemy wzór
M1. Z tablic kwantyli rozkładu normalnego znajdujemy u(1 − α2 ) =
1.96. A więc
2
1.96 · 0.02
n>
= 15.37.
0.01
Trzeba wykonać 16 pomiarów.
42
ZADANIE 19. Pewien program sortujący dane został przetestowany na 7 losowo wybranych różnego rodzaju plikach długości
1000000 rekordów, i otrzymano czas sortowania w sek. 111, 22, 33,
42, 199, 77, 138. Ile jeszcze należy dodatkowo dokonać testów, aby
otrzymać na poziomie ufności 1−α = 0.95 przedział ufności nie dłuższy niż 80 sek?. Zakładamy, że cecha ma rozkład normalny.
Rozwiązanie.
Zastosujemy procedurę Steina (model M2). Mamy x0 = 88.86,
s0 = 64.5, l = 80
2 = 40, n0 = 7, t(0.975, 6) = 2.447. Wstawiając to
wszystko do wzoru M2 otrzymujemy
n>
2.447 ·
64.5
40
2
·
6
+ 1 = 14.35.
7
Trzeba jeszcze dodać 15 − 7 = 8 dodatkowych pomiarów.
43
ZADANIE 20. Pewien informatyk skonstruował program rozpoznający linie papilarne. Ile prób należy przeprowadzić, aby na poziomie ufności 1 − α = 0.95 otrzymać przedział ufności długości 10%?
Rozwiązanie.
Zastosujemy wzór M3. Mamy u(1 − α2 ) = 1.96, l =
Zatem
1.962
n­
= 384.2.
4 · 0.052
Trzeba wykonać 385 prób.
0.10
2
= 0.05.
44
ZADANIE 21. Pewien sklep chce przeprowadzić badanie, jaki
procent klientów po raz drugi dokonuje zakupów w tym sklepie. Ilu
klientów powinien uwzględnić w badaniu aby na poziomie ufności
1 − α = 0.9 otrzymać przedział ufności długości 6%?
Rozwiązanie.
Ponownie skorzystamy z wzoru M3. Mamy u(1 −
l = 0.03.
1.642
n­
= 747.11.
4 · 0.032
α
2)
= 1.64.
Powinien w badaniu uwzględnić 748 klientów.1
1 Liczba 1.64 jako wartość kwantyla u(0.95) jest w tablicach podana w przybliżeniu. Dlatego, jeśli użyjemy do obliczeń programu calc to użyta zostanie jako
u(0.95) dokładniejsza liczba 1.64485 i otrzymamy w tym zadaniu wynik 751.
45
ZADANIE 22. Rzucamy 20 razy kostką. Otrzymaliśmy wyniki
otrzymane w tabelce:
liczba oczek
liczba rzutów
1
0
2
2
3
7
4
5
5
3
6
3
Zweryfikuj hipotezę, że kość jest „uczciwa”, przyjmując α = 0.05.
Rozwiązanie.
to
Zastosujemy test χ2 . Wartość spodziewana dla każdej liczby oczek
= 3.33. W takim razie wartość statystyki testowej wynosi
20
6
χ2obl =
(0 − 3.33)2
(2 − 3.33)2
(7 − 3.33)2
+
+
+
3.33
3.33
3.33
(5 − 3.33)2
(3 − 3.33)2
(3 − 3.33)2
+
+
= 8.8.
3.33
3.33
3.33
W tablicach kwantyli rozkładu χ2 lub przy pomocy komputera
znajdujemy χ2 (0.95, 5) = 11.071.
Nie ma powodu odrzucania hipotezy, bo 8.8 < 11.071.
46
ZADANIE 23. Ruletka ma 4 równe pola: dwa czerwone, jedno
białe i jedno czarne. Uruchomiono ją 100 razy; 60 razy wypadło pole czerwone, 29 razy białe i 11 razy czarne. Zweryfikuj hipotezę, że
ruletka jest „uczciwa” przyjmując: a) α = 0.05 i b) α = 0.005.
Rozwiązanie.
Ponownie zastosujemy test χ2 . Przy 100 losowaniach wartości
spodziewane to: 50 razy pole czerwone i po 25 razy pole białe i pole
czarne. Zatem statystyka testowa wynosi
χ2obl =
(29 − 25)2
(11 − 25)2
(60 − 50)2
+
+
= 10.48.
50
25
25
W tablicach rozkładu χ2 lub przy pomocy komputera znajdujemy χ2 (0.95, 2) = 5.991 oraz χ2 (0.995, 2) = 10.597 Hipotezę odrzucamy w punkcie a), a punkcie b) nie.
47
ZADANIE 24. Łucznik strzelał z łuku do tarczy o promieniu 10
cm. W 10 próbach otrzymał następujące odległości od środka tarczy
(z dokładnością 1cm): 4, 7, 8, 8, 0, 3, 2, 5, 7, 6. Zweryfikuj na poziomie
istotności α = 0.05 hipotezę, że rozkład odległości trafień od środka
tarczy jest jednostajny na przedziale [0; 10].
Rozwiązanie.
Stosujemy test Kołmogorowa. Rozkład jednostajny na przedziale
[0; 10] ma dystrybuantę

dla x < 0,
 0
x
dla 0 ¬ x ¬ 10,
F (x) =
 10
1
dla x > 10.
Tworzymy tabelę
xi
0
2
3
4
5
6
7
7
8
8
max
F (xi )
0
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,8
i−1
9
i
9
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
i−1
9
− F (xi )
0
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,0
0,0
0,1
0,1
i
9
− F (xi )
0,1
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
Stąd maksimum=0.2. W tablicach rozkładu Kołmogorowa znajdujemy d10 (0.95) = 0.409. Wartość statystyki testowej jest mniejsza.
Hipotezy nie odrzucamy.
48
ZADANIE 25. Zważono losowo 9 paczek wysyłanych w pewnym
urzędzie pocztowym i uzyskano wyniki w kg. 6.0, 1.5, 0.7, 2.5, 6.3,
1.1, 2.2, 2.8, 1.1. Postaw hipotezę, że rozkład jest typu N (x, s) 2
i zweryfikuj ją na poziomie istotności α = 0.05.
Rozwiązanie.
Obliczając przy pomocy komputera mamy x = 1.52, s = 0, 70.
stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi z rozkładu N (1.52, 0.70). Stosujemy test Kołmogorowa. Tworzymy tabelkę:
i−1
i
i−1
i
− F (xi )
xi
F (xi )
− F (xi )
0.7
1.1
1.1
1.5
2.2
2.5
2.8
6.0
6.3
max
0,17
0,22
0,22
0,28
0,41
0,46
0,52
0,94
0,96
9
9
0
0,11
0,22
0,33
0,44
0,56
0,67
0,78
0,89
0,11
0,22
0,33
0,44
0,56
0,67
0,78
0,89
1,00
9
9
0,17
0,11
0,00
0,05
0,04
0,09
0,14
0,16
0,07
0,17
0,06
0,00
0,11
0,16
0,15
0,20
0,26
0,06
0,06
0,26
Dnobl = 0.26. Znajdujemy w tablicach d9 (0.95) = 0.43. Hipotezy
nie odrzucamy.
2 W zasadzie test Kołmogorowa powinno stosować się wtedy, gdy parametry
rozkładu, z którym porównujemy próbkę są z góry dane.
49
ZADANIE 26. Próbka dała następujące wyniki 0, 0, 0, 0, 0, 6.
Pokaż przy pomocy testu Kołmogorowa, że na poziomie istotności
α = 0.10 należy odrzucić hipotezę, że rozkład jest typu N (x, s).
Rozwiązanie.
Mamy x = 1, s = 2.45. Tworzymy tabelkę dla testu Kołmogorowa. Stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi od rozkładu N (1, 0.245).
i−1
i
i−1
i
− F (xi )
xi
F (xi )
− F (xi )
0
0
0
0
0
6
max
0.33
0.33
0.33
0.33
0.33
0.96
6
6
0
0.17
0.33
0.50
0.67
0.83
0.17
0.33
0.50
0.67
0.83
1
6
6
0.34
0.17
0.01
0.16
0.33
0.15
0.34
0.17
0.01
0.16
0.32
0.49
0.02
0.49
Dnobl jest równe 0.49. Natomiast d6 (0.90) = 0.468. Zatem hipotezę odrzucamy.
50
ZADANIE 27. Rozważ próbę z poprzedniego zadania. Pokaż, że
przy innym wyborze µ na tym samym poziomie istotności nie odrzucimy hipotezy, że rozkład jest typu N (µ, s).
Rozwiązanie.
Jeśli ustalimy średnią na przykład na 0.5, to test Kołmogorowa
da rezultat
i−1
i
i−1
i
− F (xi )
xi
F (xi )
− F (xi )
0
0
0
0
0
6
max
0.42
0.42
0.42
0.42
0.42
0.99
6
6
0
0.17
0.33
0.50
0.67
0.83
0.17
0.33
0.50
0.67
0.83
1
6
6
0.42
0.25
0.09
0.08
0.24
0.15
0.42
0.25
0.09
0.08
0.25
0.41
0.01
0.41
Dnobl = 0.42. Natomiast d6 (0.90) = 0.468. Zatem hipotezy nie
odrzucamy.
51
ZADANIE 28. Jeszcze raz rozważ próbkę z poprzedniego zadania. Pokaż, że nie odrzucimy hipotezy na tym samym poziomie istotności, że rozkład jest jednostajny na przedziale [a; b] przy pewnym
wyborze a i b.
Rozwiązanie.
Wybierzmy np. a = −6, b = 8. Wtedy

dla
x < −6
 0
x+6
dla
x
∈ [−6; 8]
F (x) =
 14
1
dla
x > 8.
Zatem tabela do testu Kołmogorowa wygląda następująco:
i−1
i
i−1
i
− F (xi )
xi
F (xi )
− F (xi )
0
0
0
0
0
6
max
0.43
0.43
0.43
0.43
0.43
0.86
6
6
0
0.17
0.33
0.50
0.67
0.83
0.17
0.33
0.50
0.67
0.83
1
6
6
0.43
0.26
0.10
0.07
0.24
0.02
0.43
0.26
0.10
0.07
0.24
0.40
0.14
0.40
Maksimum jest równe 0.43. Natomiast d6 (0.90) = 0.468. Zatem
hipotezy nie odrzucamy.
52
ZADANIE 29. Pewien sklep sprowadził jabłka tej samej odmiany
od dwóch dostawców. Wybrał losowo po 7 jabłek z każdej dostawy i
zważył je. Otrzymał rezultaty w gramach: u pierwszego dostawcy 123,
111, 134, 144, 122, 133, 145. U drugiego dostawcy 122, 133, 117, 129,
137, 159, 161. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można stwierdzić,
że obaj dostawcy dają analogiczną ofertę?
Rozwiązanie.
Zastosujemy test serii. Ustawimy wszystkie wartości w ciąg rosnący. Oznaczmy pierwszego dostawcę przez x, drugiego przez y.
Otrzymamy tabelkę:
111 117 122 122 123 129 133 133 134 137 144 145 159 161
x
y x(y) y(x) x
y x(y) y(x) x
y
x
x
y
y
W dwóch przypadkach mamy te same wartości w obu próbkach,
zatem serii może być najmniej 8, a najwięcej 10, w zależności od tego
jak ustawimy próbki o tej samej wartości.
Znajdujemy w tablicy 8 k(0.05, 7, 7) = 4. Widzimy, że niezależnie od ustawienia kolejności takich samych wartości, mamy K > 4.
Uznajemy, że obaj dostawcy mają podobną ofertę.
53
ZADANIE 30. Producent wag twierdzi, że jego wagi działają
z odchyleniem standardowym 0.1 dkg. Aby sprawdzić, czy dostarczone nam z hurtowni torebki cukru są kilogramowe, zważyliśmy 100
losowo wybranych torebek i otrzymaliśmy wartość średnią 0.995 kg.
Czy na poziomie istotności α = 0.05 możemy mieć do hurtownika
zastrzeżenia?
Rozwiązanie.
Należy zastosować model D1. Stawiamy hipotezę µ = 100 przeciwko hipotezie µ < 100. Wartość statystyki testowej jest równa (po
przeliczeniu wszystkich danych na dekagramy)
uobl =
99.5 − 100
· 10 = −5.
0.1
Zbiorem krytycznym jest przedział
(−∞; −u(0.95)] = (−∞; −1.64].
Wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego (i to wyraźnie!). Powinniśmy mieć poważne zastrzeżenia.
54
ZADANIE 31. Twórca programu obliczeniowego twierdzi, że jego program rozwiązuje pewne równania różniczkowe na danym procesorze w czasie około 2 sek. z odchyleniem standardowym 1 sek.
Przetestowano go na 10 zadaniach z różnymi danymi początkowymi
i uzyskano czasy w sekundach: 0.8, 1.9, 2.3, 2.4, 2.4, 0.9, 3.5, 4.2, 2.4,
2.9. Sprawdź na poziomie istotności α = 0.1 czy autor programu się
„nie przechwala”.
Rozwiązanie.
Sposób I.
Zastosujemy test Kołmogorowa, aby się przekonać, że możemy
rozkład uważać za normalny z parametrami zadeklarowanymi przez
twórcę programu, czyli typu N (2, 1).
= Φ x−
.
Tworzymy tabelę. Przypominamy, że F (x) = Φ x−µ
σ

xi
0.8
0.9
1.9
2.3
2.4
2.4
2.4
2.9
3.5
4.2
max
F (xi )
0.12
0.14
0.46
0.62
0.66
0.66
0.66
0.82
0.93
0.99
i−1
10
i
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
i−1
10
− F (xi )
0.12
0.04
0.26
0.32
0.26
0.16
0.06
0.12
0.13
0.09
0.32
i
10
− F (xi )
0.02
0.06
0.16
0.22
0.16
0.06
0.04
0.02
0.03
0.01
0.22
Zatem Dnobl = 0.32, a d10 (0.1) = 0.381. Ponieważ 0.32 < 0.381,
hipotezy nie odrzucamy.
Sposób II.
Przyjmujemy, że rozkład jest normalny i stawiamy hipotezę µ =
2 wobec hipotezy przeciwnej µ > 2. Stoujemy model D2. Wyliczamy
x = 2.37, s = 1.04.
Statystyka testowa wynosi
tobl =
2.37 − 2 √
· 10 = 1.12.
1.041
55
Zbiór krytyczny jest równy
W = [t(0.9, 9); ∞) = [1.38; ∞).
Ponieważ tobl 6∈ W hipotezy nie odrzucamy.
56
ZADANIE 32. Producent baterii twierdzi, że czas pracy baterii wynosi co najmniej 30 godzin. Przebadano 100 baterii i uzyskano
średni czas pracy 28 godzin i 20 minut i odchylenie standardowe 7
godzin 25 minut. Na poziomie istotności α = 0.05 sprawdź czy producent ma rację.
Rozwiązanie.
Ponieważ próba jest duża stosujemy model D3. Po przeliczaniu
danych na minuty mamy x = 1700, s = 445, µ0 = 1800. Stawiamy
hipotezę µ = 1800 wobec hipotezy przeciwnej µ < 1800.
Wartość statystyki testowej wynosi
uobl =
1700 − 1800 √
· 100 = −2.25.
445
Zbiór krytyczny jest równy
W = (−∞; −u(0.95)] = (−∞; −1.64].
Ponieważ uobl ∈ W hipotezę odrzucamy. Producent nie ma racji.
57
ZADANIE 33. Jaki jest graniczny poziom istotności, przy którym odrzucimy hipotezę w poprzednim zadaniu?
Rozwiązanie.
Wartość statystyki testowej wynosi −2.25. Trzeba znaleźć takie
1 − α, że −u(1 − α) = −2.25, czyli obliczyć wartość dystrybuanty
standardowego rozkładu normalnego w punkcie 2.25. Korzystając z
tablic lub komputera otrzymujemy.
1 − α = Φ(.) = ..
Zatem granicznym poziomem istotności jest α = 0.01222.
58
ZADANIE 34. Aby oszacować dokładność pomiarów wykonywanych elektroniczną wagą sześciokrotnie zważono ten sam obiekt
i otrzymano wyniki (w gramach): 11.11, 11, 20, 11.10, 11.13, 11.12,
11.21. Zakładając, że próbka pochodzi z rozkładu normalnego, na
poziomie istotności 0.05 zweryfikuj hipotezę σ = 0.04 g. przeciwko
hipotezie σ > 0.04 g.
Rozwiązanie.
Obliczamy x = 11, 145, s = 0, 04764.
Ponieważ rozkład cechy jest normalny, stosujemy model E1.
Statystka testowa wynosi
χ2obl =
(n − 1)s2
= 7.09,
σ02
a zbiór krytyczny
W = [11.07; ∞).
Wartość statystyki testowej nie należy do W . Hipotezy nie odrzucamy.
59
ZADANIE 35. Dla danych z poprzedniego zadania wyznacz graniczny poziom istotności α, przy którym odrzucimy hipotezę.
Rozwiązanie.
Wartość statystyki testowej jest równa 7.09. Trzeba wyznaczyć
takie α, że χ2 (1 − α, 5) = 7.09, czyli wyznaczyć wartość dystrybuanty F rozkładu χ2 z 5 stopniami swobody w punkcie 7.09. Użyjemy
programu calc i otrzymamy 1 − α = 0.79, skąd α = 0.21.
60
ZADANIE 36. Aby zbadać dokładność pracy mikrometra zmierzono 60 razy grubość drutu i uzyskano empiryczne odchylenie standardowe 0.05 mm. Przy założeniu, że rozkład błędów pomiaru jest
normalny zbadać na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że mikrometr mierzy z dokładnością 0.04 mm. Rozwiąż zadanie przy pomocy
modeli E1 i E2.
Rozwiązanie.
Stawiamy hipotezę σ = 0.04 przeciwko hipotezie σ > 0.04.
Stosujemy model E1. Statystka testowa wynosi
χ2obl =
(n − 1)s2
= 92.19,
σ02
a zbiór krytyczny
W = [χ2 (0.95, 59); ∞).
Wartość χ2 (0.95, 59) obliczamy przy pomocy programu calc otrzymując wartość 77.93. Zatem
W = [77.93; ∞).
Jak widać wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego,
a zatem hipotezę odrzucamy.
Stosujemy model E2. Statystyka testowa wynosi
r
118 · 0.052 √
− 117 = 2.76,
uobl =
0.042
a zbiór krytyczny
W = [1.64; ∞).
I przy tej metodzie hipotezę odrzucamy.
Przy obu metodach wyraźnie!
61
ZADANIE 37. Rzucamy 300 razy monetą. Orzeł wypadł 165 razy. Na poziomie istotności α = 0.05 sprawdź hipotezę, że moneta jest
symetryczna.
Rozwiązanie.
Stosujemy model F1. Mamy p0 = 0.5, n = 300, k = 165. Stawiamy hipotezę p = 0.5 wobec hipotezy przeciwnej p 6= 0.5.
Wartość statystyki testowej jest równa
k − np0
uobl = p
np0 (1 − p0 )
= 1.73.
Natomiast zbiór krytyczny jest równy
(−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞).
uobl 6∈ W , zatem hipotezy nie odrzucamy.
62
ZADANIE 38. Wyznacz graniczny poziom istotności α, przy którym odrzucimy hipotezę z poprzedniego zadania.
Rozwiązanie.
Trzeba znaleźć takie α, że u(1− α2 ) = 1.73, czyli obliczyć wartość
dystrybuanty Φ w punkcie 1.73. Otrzymujemy
1−
skąd α = 0.0836.
α
2
= 0.9582,
63
ZADANIE 39. Rozwiąż poprzednie dwa zadania przy pomocy
testu zgodności χ2 .
Rozwiązanie.
Orłów wypadło 165, a reszek 135, w obu wypadkach wartość
spodziewana to 150. Zatem wartość statystyki testowej jest równa
χ2obl =
(135 − 150)2
(165 − 150)2
+
= 3.
150
150
Liczba wyników n jest równa 2, zatem liczymy
χ2 (0.95, 2 − 1) = 3.841.
Ponieważ 3 < 3.841, hipotezy nie odrzucamy.
Aby wyznaczyć graniczny poziom istotności musimy policzyć
wartość dystrybuanty rozkładu χ2 o jednym stopniu swobody w punkcie 3. Najlepiej posłużyć się komputerem (np. programem calc, bo
w tablicach tego nie mamy). Otrzymujemy wartość 0.9167. Stąd α =
0.0833.
Zauważmy, jak bardzo bliskie są wyniki przy obu metodach!
64
ZADANIE 40. Policzono pewnego dnia klientów internetowego
sklepu i okazało się, że na 155 klientów, którzy wzięli udział w ankiecie
podając płeć, 31 było kobietami. Na poziomie istotności α = 0.05
zweryfikuj hipotezę, że procent klientów kobiet w tym sklepie wynosi
25%.
Rozwiązanie.
Stosujemy model F1. Mamy p0 = 0.25, n = 155, k = 31. Stawiamy hipotezę p = 0.25 wobec hipotezy przeciwnej p 6= 0.25.
Wartość statystyki testowej wynosi
k − np0
uobl = p
np0 (1 − p0 )
= −1.44.
Zbiór krytyczny:
W = (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞).
Wartość −1.44 nie należy do zbioru krytycznego. Nie odrzucamy hipotezy.
65
ZADANIE 41. Pewien sklep z odzieżą chce sprawdzić, czy również na terenie jego działalności potwierdzą się dane, że co najmniej
90% klientów stanowią panie. Przez tydzień skrupulatnie liczono klientów i okazało się, że na 527 osób, pań było 450. Czy dane te przeczą
ogólnej statystyce na poziomie istotności α = 0.05?
Rozwiązanie.
Ponownie trzeba zastosować model F1. Mamy p0 = 0.9, n = 527,
k = 450. Stawiamy hipotezę p = 0.9 wobec hipotezy przeciwnej p <
0.9 (dlaczego?).
Wartość statystyki testowej wynosi
k − np0
uobl = p
= −3.53.
np0 (1 − p0 )
Zbiór krytyczny:
W = (−∞; −1.64].
Wartość −3.53 należy do zbioru krytycznego. Odrzucamy hipotezę.
66
ZADANIE 42. Dwa narzędzia pomiarowe przebadano mierząc nimi po 20 razy pewien obiekt. Uzyskano następujące rezultaty: s1 =
0.13, s2 = 0.20. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można zakładać,
że oba urządzenia mierzą jednakowo dokładnie?
Rozwiązanie.
Przyjmujemy hipotezę σ1 = σ2 wobec hipotezy przeciwnej σ1 6=
σ2 .
Stosujemy model G1. Ponieważ większa jest wariancja w drugiej
próbce, przyjmujemy statystykę
Fobl =
s22
= 2.37.
s21
Zbiór krytyczny
W = F(1 − α2 , 19, 19); ∞) = [2.53; ∞).
2.37 6∈ W , hipotezy nie odrzucamy.
67
ZADANIE 43. Właściciel sklepu zauważył, że jego waga nie waży dokładnie. Zważył 50 razy tę samą paczkę kilogramową cukru i
otrzymał odchylenie standardowe 2 dkg. Oddał wagę do remontu,
i po naprawie zważył ponownie 50 razy kilogram cukru otrzymując
odchylenie standardowe 0.5 dkg. Czy może na poziomie istotności
α = 0.05 uznać naprawę za dobrą?
Rozwiązanie.
Zastosujemy model G1. Stawiamy hipotezę σ1 = σ2 wobec hipotezy przeciwnej σ1 > σ2 . Statystyka testowa jest równa
Fobl =
s21
= 16.
s22
Natomiast zbiór krytyczny jest równy
W = F(1 − α, 49, 49); ∞) = [1.61; ∞).
Wartość statystyki testowej wyraźnie należy do zbioru krytycznego.
Hipotezę o równości wariancji odrzucamy. Możemy stąd wywnioskować, że waga została porządnie naprawiona!
68
ZADANIE 44. W pewnej fabryce zmierzono średnice śrub na
dwóch przyrządach pomiarowych od dwóch różnych dostawców uzyskując wyniki w cm: 0.99, 0.97, 0.97, 1.00, 0.98, 0.99, oraz odpowiednio 1.06, 1.07, 1.03, 1.01, 1.08. Wiadomo, że pierwszy przyrząd
pomiarowy działa z dokładnością σ1 = 0.01 cm, a drugi przyrząd
z dokładnością σ2 = 0.02 cm. Zakładamy, że rozpatrywana cecha
długości śrub ma rozkład normalny. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że długości śrub u obu dostawców są takie
same.
Rozwiązanie.
Nasze dane n1 = 6, n2 = 5. Ponieważ znane są odchylenia standardowe możemy zastosować model H1. Stawiamy hipotezę µ1 = µ2
wobec hipotezy przeciwnej µ1 6= µ2 . Obliczamy x1 = 0.9833, x2 =
1.050. (odchyleń standardowych w tym modelu nie trzeba obliczać).
Statystyka testowa jest równa
x1 − x2
uobl = r
= −6.78.
σ12
σ22
+ n2
n2
1
2
Zbiór krytyczny
W = (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞).
Hipotezę wyraźnie odrzucamy.
69
ZADANIE 45. Jaki jest graniczny poziom istotności, przy którym odrzucimy hipotezę w poprzednim zadaniu?
Rozwiązanie.
Wartość statystyki testowej jest równa 6.78. Musimy zatem znaleźć takie α, aby −u(1 − α2 ) = −6.78. Trzeba policzyć dystrybuantę
Φ(.). Jest ona praktyczne równa 1 (największy argument w tablicach jest zwykle 3.5). Wartość ta policzona programem calc jest
równa 0.999999996. Stąd α = 0.000000007. Możemy zatem uznać, że
hipotezę odrzucimy na każdym sensownym poziomie istotności.
70
ZADANIE 46. Rozwiąż zadanie 40 bez informacji o odchyleniach
standardowych.
Rozwiązanie.
Zadanie rozwiążemy w dwóch etapach. W pierwszym etapie sprawdzimy, czy możemy przyjąć, że obie próby mają podobne odchylenie
standardowe. Dodatkowo obliczamy s1 = 0.01211, s2 = 0.02915.
Stosujemy model G1. Statystyka testowa jest równa
Fobl =
s22
= 5.8.
s21
Zbiór krytyczny
W = [F(0.975, 5 − 1, 6 − 1); ∞) = [7.39; ∞).
Możemy uznać, że odchylenia standardowe są równe. Zatem w
drugim, głównym etapie stosujemy model H2.
tobl = q
x1 − x2
(n1 −1)s21 +(n2 −1)s22
n1 +n2 −2
.
·
n1 +n2
n1 n2
Wstawiając nasze dane otrzymujemy wartość −5.14. Zbiór krytyczny
jest postaci
W = (−∞; −t(0.975, 9)] ∪ [t(0.975, 9); ∞),
czyli
W = (−∞; −2.26] ∪ [2.26; ∞).
I w tym wypadku hipotezę wyraźnie odrzucamy.
71
ZADANIE 47. Zbadano płace 5 kobiet i 5 mężczyzn pracujących
w pewnej firmie. Otrzymano dla kobiet dane (w złotych) 1700, 1300,
1900, 1900, 3500, a dla mężczyzn 1600, 1700, 1800, 2700, 4500. Sprawdzić na poziomie istotności α = 0.05, czy można stwierdzić, że płace
kobiet są niższe w tej firmie niż mężczyzn. Zakładamy, że płace mają
rozkłady normalne.
Rozwiązanie.
Najpierw obliczamy x1 = 2060, s1 = 841.43, x2 = 2460, s2 =
1221.88.
Test przeprowadzimy w dwóch etapach.
W etapie pierwszym sprawdzimy, czy oba odchylenia standardowe możemy uznać za jednakowe. W zależności od tego do właściwego
testu wybierzemy model H2 lub H3.
ETAP 1.
Stawiamy hipotezę σ1 = σ2 wobec hipotezy przeciwnej σ1 6= σ2 .
Stosujemy model G1. Druga próbka ma większą wariancję, zatem
nasza statystyka testowa jest równa
Fobl =
s22
= 2.11.
s21
Natomiast zbiór krytyczny jest równy
W = [F(1 − α2 , 5 − 1, 5 − 1); ∞) = [9.6; ∞).
Nie odrzucamy hipotezy o równość odchyleń standardowych. Zatem
w trzecim etapie zastosujemy model H2.
ETAP 2.
Stawiamy hipotezę µ1 = µ2 wobec hipotezy przeciwnej µ1 < µ2 .
Statystyka testowa jest równa
x1 − x2
.
tobl = q
(n1 −1)s21 +(n2 −1)s22 n1 +n2
·
n1 +n2 −2
n1 n 2
Dla naszych danych otrzymujemy wynik −0.6. Zbiór krytyczny
W = (−∞; −2.31] ∪ [2.31; ∞).
Hipotezy nie odrzucamy. Przyjmujemy, że płace są podobne.
72
ZADANIE 48. W zakładzie z poprzedniego zadania odeszła z
pracy kobieta zarabiająca 3500 złotych i do próby losowej wybrano
tylko poprzednie 4 kobiety. Rozwiąż poprzednie zadanie przy nowych
danych.
Rozwiązanie.
Teraz mamy n1 = 4, x1 = 1700, s1 = 282.84. Pozostałe dane bez
zmian.
Test równości wariancji wypada teraz negatywnie, bo wartość
statystyki testowej jest równa 18.66, natomiast zbiór krytyczny jest
równy W = [15.1; ∞).
Zatem w drugim etapie stosujemy model H3. Wartość statystyki
Cobl = −1.35, natomiast zbiór krytyczny W = (−∞; −2.8] ∪ [2.8; ∞).
Widzimy, że Cobl 6∈ W , zatem hipotezy nie odrzucamy.
73
ZADANIE 49. Policja przeprowadziła badania prędkości samochodów w pewnym niebezpiecznym miejscu na próbach liczności 200
dla samochodów osobowych i ciężarowych i uzyskała wyniki: dla osobowych 101 km/h przy odchyleniu standardowym 7.8 km/h, a dla ciężarowych 88 km/h przy odchyleniu standardowym 10.9 km/h. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że samochody osobowe
w tym miejscu jeżdżą nie prędzej niż samochody ciężarowe.
Rozwiązanie.
Próbki są duże, stosujemy więc model H4. Mamy x1 = 101,
s1 = 7.8, x2 = 88, s2 = 10.9, n1 = n2 = 200. Stawiamy hipotezę
µ1 = µ2 wobec hipotezy µ1 > µ2 .
Statystyka testowa dana jest wzorem
x1 − x2
.
uobl = q 2
s1
s22
n1 + n2
W naszym wypadku
uobl = 13.72,
a zbiór krytyczny ma postać
W = [1.64; ∞).
Hipotezę bardzo zdecydowanie odrzucamy.
74
ZADANIE 50. Do sklepu pewnego dnia przyszło: 180 kobiet, spośród których 88 dokonało zakupu, oraz 122 mężczyzn, spośród nich
101 dokonało zakupu. Czy słuszna jest hipoteza, że procent osób dokonujących zakupu po wejściu do sklepu nie zależy od płci? Przyjmij
α = 0.05.
Rozwiązanie. Trzeba zastosować model I1.
Mamy n1 = 180, k1 = 88, n2 = 122, k2 = 101. Stawiamy hipotezę p1 = p2 wobec hipotezy przeciwnej p1 6= p2 . Stosujemy statystykę
uobl
=r
k1
n1
k1 +k2
n1 n2
− nk22
.
2
1 − nk11 +k
+n2
Podstawiając nasze dane otrzymujemy
uobl = −5.97,
natomiast zbiór krytyczny
W = (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞).
uobl należy do zbioru krytycznego, hipotezę odrzucamy.
75
ZADANIE 51. Pewna firma niezadowolona z wielkości sprzedaży
postanowiła zatrudnić agencję reklamową. Tabelka pokazuje średnią
tygodniową sprzedaż wybranych asortymentów (w tys. zł.) po zatrudnieniu tej agencji. Czy słuszna jest hipoteza, że zatrudnienie agencji
nie zmieniło wielkości sprzedaży. Zakładamy, że wszystkie próbki pochodzą z rozkładu normalnego i przyjmujemy α = 0.05
wielkość sprzedaży przed
wielkość sprzedaży po
9
21
11
21
17
18
4
5
7
9
9
19
Rozwiązanie.
Tworzymy nową zmienną Y = X2 −X1 . Mamy y1 = 12, y2 = 10,
y3 = 1, y4 = 1, y5 = 2, y6 = 10. Mamy y = 6.00, s = 5.18. Testujemy
hipotezę µ = 0 wobec hipotezy µ > 0.
Ponieważ próbka jest nieliczna, stosujemy model E2. Wartość
statystyki wynosi 1.89, a zbiór krytyczny W = [2.02; ∞). Hipotezy nie
odrzucamy. Wynika z tego, że zatrudnienie agencji tylko nieznacznie
poprawiło sprzedaż.
76
ZADANIE 52. W pewnym niebezpiecznym miejscu doszło w pewnym miesiącu do 32 kolizji drogowych. Policja ustawiła tam ostrzegawczy oświetlony znak. Po ustawieniu tego znaku w najbliższym
miesiącu doszło do 19 kolizji. Czy można uznać, że sytuacja się poprawiła? Przyjmij α = 0.05.
Rozwiązanie.
Problem ten można próbować rozwiązać kilkoma sposobami. Po
pierwsze możemy zastosować model I1, ale nie będzie on w stu procentach dobry, bo próby nie są niezależne.
Można liczbę wypadków potraktować jako liczbę „sukcesów” w
rozkładzie dwupunktowym np. obliczając liczbę godzin w miesiącu (744) i przyjąć, że każdy wypadek zdarzył się w innej godzinie.
Następnie rozważać zmienną k = k1 − k2 = 13 przyjąć hipotezę
p = p0 = 0, wobec hipotezy p > 0 i zastosować model F1. Ale we
wzorze na statystykę testową p0 musi być większe od zera.
Możemy rozumowanie poprawić tak. Możemy przyjąć, że minimalna liczba kolizji zawsze będzie: np. 1 na 1000 godzin. I jako hipotezę zerową przyjąć p = 0.001 wobec hipotezy przeciwnej p > 0.001.
Jeśli te dane: n = 744, k = 13, p0 = 0.0001 wstawimy do modelu
F1, to wartość statystyki testowej wyjdzie 14.22, a zbiór krytyczny
będzie równy W = [1.64; ∞). Hipotezę zdecydowanie odrzucamy. To
oznacza, że sytuacja się wyraźnie poprawiła.
77
ZADANIE 53. Wyniki egzaminu ze statystyki studentów chodzących na wykłady (C) i niechodzących (N) w pewnej grupie wg
rezultatów (zaliczony - ZAL i niezaliczony - NZAL) podane są w tabelce
ZAL
2
28
N
C
NZAL
102
36
Zbadaj, czy hipoteza zaliczenie egzaminu jest niezależne od tego
czy student chodzi na zajęcia jest słuszna. Przyjmij α = 0.05.
Rozwiązanie.
Dodając dane w kolumnach i wierszach zapiszmy naszą tabelkę
następująco
N
C
razem
ZAL
2
28
30
NZAL
102
36
138
razem
104
64
168
Zastosujemy test χ2 . Obliczamy
χ2obl
2 − 30 · 104
168
=
30 · 104
168
64
28 − 30 · 168
64
30 · 168
2
2
+
104
102 − 138 · 168
+
104
138 · 168
64
36 − 138 · 168
64
138 · 168
2
+
2
≈ 47.
Natomiast χ2 (0.95, (2−1)·(2−1)) = 3.84. Hipotezę zdecydowanie
odrzucamy.
78
ZADANIE 54. Wyznacz współczynniki Cramera i C Pearsona
dla poprzedniego zadania.
Rozwiązanie. Mamy n = 168, m = 2.
s
V =
χ2obl
≈ 0.53.
n(m − 1)
s
C=
χ2obl
2
χobl +
n
≈ 0.47.
79
Tablice
Tablice
Tablica 1. Wartości Φ(u) rozkładu normalnego N (0, 1)
u
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,00
0,5000
,5398
,5793
,6179
,6554
,6915
,7257
,7580
,7881
,8159
0,8413
,8643
,8849
,9032
,9192
,9332
,9452
,9554
,9641
,9713
0,9772
,9821
,9861
,9893
,9918
,9938
,9953
,9965
,9974
,9981
,9987
,9990
,9993
,9995
,9997
0,01
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
,5438 ,5478 ,5517 ,5557 ,5596 ,5636 ,5675 ,5714 ,5753
,5832 ,5871 ,5910 ,5948 ,5987 ,6026 ,6064 ,6103 ,6141
,6217 ,6255 ,6293 ,6331 ,6368 ,6406 ,6443 ,6480 ,6517
,6591 ,6628 ,6664 ,6700 ,6736 ,6772 ,6808 ,6844 ,6879
,6950 ,6985 ,7019 ,7054 ,7088 ,7123 ,7157 ,7190 ,7224
,7290 ,7324 ,7357 ,7389 ,7422 ,7454 ,7486 ,7517 ,7549
,7611 ,7642 ,7673 ,7704 ,7734 ,7764 ,7794 ,7823 ,7852
,7910 ,7939 ,7967 ,7995 ,8023 ,8051 ,8078 ,8106 ,8133
,8186 ,8212 ,8238 ,8264 ,8289 ,8315 ,8340 ,8365 ,8389
0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
,8665 ,8686 ,8708 ,8729 ,8749 ,8770 ,8790 ,8810 ,8830
,8869 ,8888 ,8907 ,8925 ,8944 ,8962 ,8980 ,8997 ,9015
,9049 ,9066 ,9082 ,9099 ,9115 ,9131 ,9147 ,9162 ,9177
,9207 ,9222 ,9236 ,9251 ,9265 ,9279 ,9292 ,9306 ,9319
,9345 ,9357 ,9370 ,9382 ,9394 ,9406 ,9418 ,9429 ,9441
,9463 ,9474 ,9484 ,9495 ,9505 ,9515 ,9525 ,9535 ,9545
,9564 ,9573 ,9582 ,9591 ,9599 ,9608 ,9616 ,9625 ,9633
,9649 ,9656 ,9664 ,9671 ,9678 ,9686 ,9693 ,9699 ,9706
,9719 ,9726 ,9732 ,9738 ,9744 ,9750 ,9756 ,9761 ,9767
0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
,9826 ,9830 ,9834 ,9838 ,9842 ,9846 ,9850 ,9854 ,9857
,9864 ,9868 ,9871 ,9875 ,9878 ,9881 ,9884 ,9887 ,9890
,9896 ,9898 ,9901 ,9904 ,9906 ,9909 ,9911 ,9913 ,9916
,9920 ,9922 ,9925 ,9927 ,9929 ,9931 ,9932 ,9934 ,9936
,9940 ,9941 ,9943 ,9945 ,9946 ,9948 ,9949 ,9951 ,9952
,9955 ,9956 ,9957 ,9959 ,9960 ,9961 ,9962 ,9963 ,9964
,9966 ,9967 ,9968 ,9969 ,9970 ,9971 ,9972 ,9973 ,9974
,9975 ,9976 ,9977 ,9977 ,9978 ,9979 ,9979 ,9980 ,9981
,9982 ,9982 ,9983 ,9984 ,9984 ,9985 ,9985 ,9986 ,9986
,9987 ,9987 ,9988 ,9988 ,9989 ,9989 ,9989 ,9990 ,9990
,9991 ,9991 ,9991 ,9992 ,9992 ,9992 ,9992 ,9993 ,9993
,9993 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9995 ,9995 ,9995
,9995 ,9995 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9997
,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9998
80
Tablica 2. Kwantyle rozkładu normalnego N (0, 1), u(p) = Φ− (p)
p
0.50
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
Φ− (p)
0.0000
0.0251
0.0502
0.0753
0.1005
0.1257
0.1510
0.1764
0.2019
0.2276
0.2534
0.2794
0.3055
0.3319
0.3585
0.3854
0.4125
0.4400
0.4677
0.4959
0.5244
0.5534
0.5829
0.6129
0.6434
p
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.80
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
Φ− (p)
0.6745
0.7063
0.7389
0.7722
0.8065
0.8417
0.8779
0.9154
0.9542
0.9945
1.0365
1.0804
1.1264
1.1750
1.2266
1.2816
1.3408
1.4051
1.4758
1.5548
1.6449
1.7507
1.8808
2.0537
2.3263
Tablica 2.5 Uproszczone kwantyle u(p) rozkładu normalnego
N (0, 1)
p
u(p)
0,90
1,28
0,95
1,64
0,975
1,96
0,99
2,33
0,995
2,58
81
Tablice
Tablica 3. Kwantyle t(p, k) rzędu p rozkładu Studenta o k
stopniach swobody
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,90
3,078
1,886
,638
,533
,476
1,440
,415
,397
,383
,372
1,363
,356
,350
,345
,341
1,337
,333
,330
,328
,325
1,323
,321
,319
,318
,316
1,315
,314
,312
,311
,310
0,95
6,314
2,920
,353
,132
,015
1,943
,895
,859
,833
,812
1,795
,782
,771
,761
,753
1,746
,740
,734
,729
,725
1,721
,717
,714
,711
,708
1,706
,703
,701
,699
,697
p
0,975
12,706
4,303
3,182
2,776
,571
2,447
,365
,306
,262
,228
2,201
,179
,160
,145
,131
2,120
,110
,101
,093
,086
2,080
,074
,069
,064
,060
2,055
,052
,048
,045
,042
0,99
31,821
6,965
4,541
3,747
,365
3,143
2,998
,897
,821
,764
2,718
,681
,650
,624
,602
2,583
,567
,552
,539
,528
2,518
,508
,500
,492
,485
2.479
,473
,467
,462
,457
0,995
63,657
9,925
5,841
4,604
,032
3,707
,499
,355
,250
,169
3,106
,054
,012
2,977
,947
2,921
,898
,878
,861
,845
2,831
,819
,807
,797
,787
2,779
,771
,763
,756
,750
82
Tablica 3. Kwantyle t(p, k) rzędu p rozkładu Studenta o k
stopniach swobody c.d.
k
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
55
60
65
70
75
80
90
100
120
150
200
300
500
1000
∞
0,90
1,309
,309
,308
,307
,306
1,305
,305
,304
,304
,303
1,303
,302
,302
,301
,301
1.300
,300
,299
,299
,299
1,297
,295
,295
,294
,293
1,292
,291
,290
,289
,287
1,286
,284
,283
,282
,282
0,95
1,695
,694
,692
,691
,690
1,688
,687
,686
,685
,684
1,683
,682
,681
,680
,679
1,679
,678
,677
,677
,676
1,673
,671
,669
,667
,665
1,664
,662
,660
,658
,655
1,653
,650
,648
,646
,645
p
0,975
2,039
,037
,034
,032
,030
2,028
,025
,024
,023
,021
2,019
,018
,017
,015
,014
2,013
,012
,011
,010
,009
2,004
,000
1,997
,994
,992
1,990
,987
,984
,980
,976
1,972
,968
,965
,962
,960
0,99
2,453
,449
,445
,441
,438
2,434
,431
,429
,425
,423
2,421
,418
,416
,414
,412
2,410
,408
,407
,405
,403
2,396
,390
,385
,381
,377
2,374
,369
,364
,358
,351
2,345
,339
,334
,330
,326
0,995
2,744
,738
,733
,728
,724
2,720
,715
,712
,708
,704
2,701
,698
,695
,692
,690
2,687
,685
,682
,680
,678
2,668
,660
,654
648
,643
2,639
632
,626
,617
,609
2,601
,592
,586
,581
,576
83
Tablice
Tablica 4. Kwantyle χ2 (p, k) rzędu p rozkładu χ2 o k stopniach
swobody
p
k
0,005
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
0,995
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,010
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
8,034
8,643
9,260
9,886
10,520
11,160
11,808
12,461
13,121
13,787
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
12,198
12,879
13,565
14,257
14,954
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
10,283
10,982
11,689
12,401
13,120
13,844
14,573
15,308
16,047
16,791
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
11,591
12,336
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
3,841
5,991
7,815
9,488
11,071
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
5,024
7,378
9,348
11,143
12,833
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
41,923
43,194
44,461
45,722
46,979
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
7,879
10,597
12,838
14,860
16,750
18,548
20,278
21,955
23,589
25,188
26,757
28,299
29,819
31,319
32,801
34,267
35,718
37,156
38,582
39,997
41,401
42,796
44,181
45,559
46,928
48,290
49,645
50,993
52,336
53,672
84
Tablica 4. Kwantyle χ2 (p, k) rzędu p rozkładu χ2 o k stopniach
swobody c.d
p
k
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
0,005
14,458
15,134
15,815
16,501
17,192
17,887
18,586
19,289
19,996
20,707
21,421
22,138
22,859
23,584
24,311
25,041
25,775
26,511
27,249
27,991
0,01
15,655
16,362
17,074
17,789
18,509
19,233
19,960
20,691
21,426
22,164
22,906
23,650
24,398
25,148
25,901
26,657
27,416
28,177
28,941
29,707
0,025
17,539
18,291
19,047
19,806
20,569
21,336
22,106
22,878
23,654
24,433
25,215
25,999
26,785
27,575
28,366
29,160
29,956
30,755
31,555
32,357
0,05
19,281
20,072
20,867
21,664
22,465
23,269
24,075
24,884
25,695
26,509
27,326
28,144
28,965
29,787
30,612
31,439
32,268
33,098
33,930
34,764
0,95
44,985
46,194
47,400
48,602
49,802
50,998
52,192
53,384
54,572
55,758
56,942
58,124
59,304
60,481
61,656
62,830
64,001
65,171
66,339
67,505
0,975
48,232
49,480
50,725
51,966
53,203
54,437
55,668
56,896
58,120
59,342
60,561
61,777
62,990
64,201
65,410
66,617
67,821
69,023
70,222
71,420
0,99
52,191
43,486
54,776
56,061
57,342
58,619
59,892
61,162
62,428
63,691
64,950
66,206
67,459
68,710
69,957
71,201
72,443
73,683
74,919
76,154
0,995
55,003
56,328
57,648
58,964
60,275
61,581
62,883
64,181
65,476
66,766
68,053
69,336
70,616
71,893
73,166
74,437
75,704
76,969
78,231
79,490
85
Tablice
Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k1 , k2 ) rzędu 1 − α rozkładu F
Snedecora o k1 , k2 stopniach swobody, 1 − α = 0.95
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
1
2
3
4
161
18,50
10,10
7,71
6,61
5,99
,59
,32
,12
4,96
4,84
,75
,67
,60
,54
,49
,45
,41
,38
,35
4,32
,30
,28
,26
,24
,23
,21
,20
,18
,17
4,08
,00
3,92
,84
200
19
9,55
6,94
5,79
,14
4,74
,46
,26
,10
3,98
,89
,81
,74
,68
,63
,59
,55
,52
,49
3,47
,44
,42
,40
,39
,37
,35
,34
,33
,32
3,23
,15
,07
,00
216
19,2
9,28
6,59
5,41
4,76
,35
,07
3,86
,71
3,59
,49
,41
,34
,29
,24
,20
,16
,13
,10
3,07
,05
,03
,01
2,99
,98
,96
,95
,93
,92
2,84
,76
,68
,60
225
19,2
9,12
6,39
5,19
4,53
,12
3,84
,63
,48
3,36
,26
,18
,11
,06
,01
2,96
,93
,90
,87
2,84
,82
,80
,78
,76
,74
,73
,71
,70
,69
2,61
,53
,44
,37
5
230
19,3
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
,69
,48
,33
3,20
,11
,03
2,96
,90
,85
,81
,77
,74
,71
2,68
,66
,64
,62
,60
,59
,57
,56
,55
,53
2,45
,37
,29
,21
6
234
19,3
8,94
6,16
4,95
,28
3,87
,58
,37
,22
3,09
,00
2,92
,85
,79
,74
,70
,66
,63
,60
2,57
,55
,53
,51
,49
,47
,46
,45
,43
,42
2,34
,25
,17
,10
7
237
19,4
8,89
6,09
4,88
,21
3,79
,50
,29
,14
3,01
2,91
,83
,76
,71
,66
,61
,58
,54
,51
2,49
,46
,44
,42
,40
,39
,37
,36
,35
,33
2,25
,17
,08
,01
8
239
19,4
8,85
6,04
4,82
,15
3,73
,44
,23
,07
2,95
,85
,77
,70
,64
,59
,55
,51
,48
,45
2,42
,40
,37
36
,34
,32
,31
,29
,28
,27
2,18
,10
,01
1,94
86
Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k1 , k2 ) rzędu 1 − α rozkładu F
Snedecora o k1 , k2 stopniach swobody c.d., 1 − α = 0.95
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
10
12
20
242
19,40
8,79
5,96
4,74
,06
3,64
,35
,14
2,98
2,85
,75
,67
,60
,54
,49
,45
,41
,38
,35
2,32
,30
,27
,25
,24
,22
,20
,19
,18
,16
2,08
1,99
,91
,83
244
19,4
8,74
5,91
4,68
,00
3,57
,28
,07
2,91
2,79
,69
,60
,53
,48
,42
,38
,34
,31
,28
2,25
,23
,20
,18
,16
,15
,13
,12
,10
,09
2,00
1,92
,83
,75
248
19,4
8,66
5,80
4,56
3,87
,44
,15
2,94
,77
2,65
,54
,46
,39
,33
,28
,23
,19
,16
,12
2,10
,07
,05
,03
,01
1,99
,97
,96
,94
,93
1,84
,75
,65
,57
k1
40
251
19,5
8,59
5,72
4,46
3,77
,34
,04
2,83
,66
2,53
,43
,34
,27
,20
,15
,10
,06
,03
1,99
1,96
,94
,91
,89
,87
,85
,84
,82
,81
,79
1,69
,59
,49
,39
60
252
19,5
8,57
5,69
4,43
3,74
,30
,01
2,79
,62
2,49
,38
,30
,22
,16
,11
,06
,02
1,98
,95
1,92
,89
,86
,84
,82
,80
,79
,77
,75
,74
1,64
,53
,42
,32
100
253
19,5
8,55
5,66
4,41
3,71
,27
2,97
,76
,59
2,46
,35
,26
,19
,12
,07
,02
1,98
,94
,91
1,88
,85
,82
,80
,78
,76
,74
,73
,71
,70
1,59
,48
,36
,24
∞
254
19,5
8,53
5,63
4,37
3,67
,23
2,93
,71
,54
2,40
,30
,21
,13
,07
,01
1,96
,92
,88
,84
1,81
,78
,76
,73
,71
,69
,67
,65
,64
,62
1,51
,39
,25
,00
87
Tablice
Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k1 , k2 ) rzędu 1 − α rozkładu F
Snedecora o k1 , k2 stopniach swobody, c.d 1 − α = 0.975
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
1
2
3
4
648
38,50
17,40
12,2
10,0
8,81
,07
7,57
,21
6,94
6,72
,55
,41
,30
,20
,12
,04
5,98
,92
,87
5,83
,79
,75
,72
,69
,66
,63
,61
,59
,57
5,42
,29
,15
,02
800
39
16
10,6
8,43
7,26
6,54
,06
5,71
,46
5,26
,10
4,97
,86
,76
,69
,62
,56
,51
,46
4,42
,38
,35
,32
,29
,27
,24
,22
,20
,18
4,05
3,93
,80
,69
864
39,2
15,4
9,98
7,76
6,60
5,89
,42
,08
4,83
4,63
,47
,35
,24
,15
,08
,01
3,95
,90
,86
3,82
,78
,75
,72
,69
,67
,65
,63
,61
,59
3,46
,34
,22
,12
900
39,2
15,1
9,60
7,39
6,23
5,52
,05
4,72
,47
4,28
,12
,00
3,89
,80
,73
,66
,61
,56
,51
3,48
,44
,41
,38
,35
,33
,31
,29
,27
,25
3,13
,01
2,89
,79
5
922
39,3
14,9
9,36
7,15
5,99
,29
4,82
,48
,24
4,04
3,89
,77
,66
,58
,50
,44
,38
,33
,29
3,25
,22
,18
,15
,13
,10
,08
,06
,04
,03
2,90
,79
,67
,57
6
937
39,3
14,7
9,20
6,98
5,82
,12
4,65
,32
,07
3,88
,73
,60
,50
,41
,34
,28
,22
,17
,13
3,09
,05
,02
2,99
,97
,94
,92
,90
,88
,87
2,74
,63
,51
,41
7
948
39,4
14,6
9,07
6,85
5,70
4,99
,53
,20
3,95
3,76
,61
,48
,38
,29
,22
,16
,10
,05
,01
197
,93
,90
,87
,85
,82
,80
,78
,76
,75
162
,51
39
,29
8
957
39,4
14,5
8,98
6,76
5,60
4,90
,43
,10
3,85
3,66
,51
,39
,29
,20
,12
,06
,01
2,96
,91
2,87
,84
,81
,78
,75
,73
,71
,69
,67
,65
2,53
,41
30
,19
88
Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k1 , k2 ) rzędu 1 − α rozkładu F
Snedecora o k1 , k2 stopniach swobody c.d., 1 − α = 0.975
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
10
12
20
969
39,4
14,4
8,84
6,62
5,46
4,76
,30
3,96
,72
3,53
,37
,25
,15
,06
2,99
,92
,87
,82
,77
2,73
,70
,67
,64
,61
,59
,57
,55
,53
,51
2,39
,27
,15
,05
977
39,4
14,3
8,75
6,52
5,37
4,67
,20
3,87
,62
3,43
,28
,15
,05
2,96
,89
,82
,77
,72
,68
2,64
,60
,57
,54
,51
,49
,47
,45
,43
,41
2,29
,17
,05
1,94
993
39,4
14,2
8,56
6,33
5,17
4,47
,00
3,67
,42
3,23
,07
2,95
,84
,76
,68
,62
,56
,51
,46
2,42
,39
,36
,33
,30
,28
,25
,23
,21
,20
2,07
1,94
,82
,71
k1
40
1006
39,5
14,0
8,41
6,18
5,01
4,31
3,84
,51
,26
3,06
2,91
,78
,67
,58
,51
,44
,38
,33
,29
2,25
,21
,18
,15
,12
,09
,07
,05
,03
,01
1,88
,74
,61
,48
60
1010
39,5
14,0
8,36
6,12
4,92
,25
3,78
,45
,20
3,00
2,85
,72
,61
,52
,45
,38
,32
,27
,22
2,18
,14
,11
,08
,05
,03
,00
1,98
,96
,94
1,80
,67
,52
,39
100
1013
39,5
14,0
8,32
6,08
4,92
,21
3,74
,40
,15
2,96
,80
,67
,56
,47
,40
,33
,27
22
,17
2,13
,09
,06
,02
,00
1,97
,94
,92
,90
,88
1,74
,60
,45
,30
∞
1018
39,5
13,9
8,26
6,02
4,85
,14
3,67
,33
,08
2,88
,72
,60
,49
,40
,32
,25
,19
,13
,09
2,04
,00
1,97
,94
,91
,88
,85
,83
,81
,79
1,64
,48
,31
,00
89
Tablice
Tablica 6. Kwantyle dn (1 − α) statystyki Dn Kołmogorowa
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,10
0,950
,776
,636
,565
,509
,468
,436
,410
,387
,369
,352
,338
,325
,314
,304
,295
,286
,279
,271
,265
,259
,253
,247
,242
,238
,233
,229
,225
,221
,218
α
0,05
0,975
,842
,708
,624
,563
,519
,483
,454
,430
,409
,391
,375
,361
,349
,338
,327
,318
,309
,301
,294
,287
,281
,275
,269
,264
,259
,254
,250
,246
,242
0,01
0,995
,929
,829
,734
,669
,617
,576
,542
,513
,489
,468
,449
,432
,418
,404
,392
,381
,371
,361
,352
,344
,337
,330
,323
,317
,311
,305
,300
,294
,290
n
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
0,10
0,168
,166
,165
,163
,162
,160
,159
,158
,156
,155
,154
,153
,151
,150
,149
,148
,147
,146
,145
,144
,143
,142
,141
,140
,139
,138
,137
,136
,136
,135
α
0,05
0,187
,185
,183
,181
,180
,178
,177
,175
,174
,172
,171
,170
,168
,167
,166
,164
,163
,162
,161
,160
,159
,158
,156
,155
,154
,153
,152
,151
,151
,150
0,01
0,224
,222
,220
,218
,216
,214
,212
,210
,208
,207
,205
,203
,202
,200
,199
,197
,196
,194
,193
,192
,190
,189
,188
,186
,185
,184
,183
,182
,181
,179
90
Tablica 6. Kwantyle dn (1 − α) statystyki Dn Kołmogorowa c.d.
n
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
0,10
,214
,211
,208
,205
,202
,199
,196
,194
,191
,189
,187
,185
,183
,181
,179
,177
,175
,173
,171
,170
α
0,05
,238
,234
,231
,227
,224
,221
,218
,215
,213
,210
,208
,205
,203
,201
,198
,196
,194
,192
,190
,188
0,01
,285
,281
,277
,273
,269
,265
,262
,258
,255
,252
,249
,246
,243
,241
,238
,235
,233
,231
,228
,226
n
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
0,10
,134
,133
,132
,131
,131
,130
,129
,128
,128
,127
,126
,126
,125
,124
,124
,123
,122
,122
,121
,121
α
0,05
,149
,148
,147
,146
,145
,144
,144
,143
,142
,141
,140
,140
,139
,138
,137
,137
,136
,135
,135
,134
0,01
,178
,177
,176
,175
,174
,173
,172
,171
,170
,169
,168
,168
,167
,166
,165
,164
,163
,162
,162
,161
91
Tablice
Tablica 8. Wartości krytyczne k(α, n1 n2 ) rozkładu liczby serii;
k(α, n1 , n2 ) = k(α, n1 , n2 )
→
n1
↓ n2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
→
n1
5 6 7
3 3 3
3 4
2
4
2 2
2 3 3
2 3 3
3 3 4
3 3 4
3 4 4
3 4 4
3 4 5
3 4 5
4 4 5
4 4 5
4 5 5
4 5 5
4 5 6
4 5 6
5 6 7
8
3
4
4
5
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
8
9
4
4
5
5
6
4
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
7
9
10
4
5
5
6
6
6
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
10
11
4
5
5
6
6
7
7
6
6
6
7
7
7
8
8
8
8
11
α = 0, 05
12 13 14
4 4 5
5 5 5
6 6 6
6 6 7
7 7 7
7 8 8
8 8 8
8 9 9
9 9
7
10
7 7
7 8 8
8 8 8
8 8 9
8 9 9
8 9 9
9 9 10
9 10 10
12 13 14
α = 0.01
15
5
6
6
7
8
8
9
9
10
10
11
9
9
10
10
10
11
15
16
5
6
6
7
8
8
9
10
10
11
11
11
10
10
11
11
11
16
17
5
6
7
7
8
9
9
10
10
11
11
12
12
10
11
11
11
17
18
5
6
7
8
8
9
10
10
11
11
12
12
13
13
19
5
6
7
8
8
9
10
10
11
12
12
13
13
14
14
20 n2 ↓
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
9 10
10 11
10 12
11 13
12 14
12 15
13 16
13 17
14 18
14 19
15 20
11
12 12
12 12 13
18 19 20