Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Transkrypt

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
wykład z MATEMATYKI
Budownictwo, studia niestacjonarne
sem. I, rok ak. 2008/2009
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
Iloraz różnicowy
Definicja 1.
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (x 0 − r, x0 + r), gdzie
r > 0.
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym przyrostowi h, gdzie 0 < |h| <
r, nazywamy liczbę
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
1.1
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (x 0 , f (x0 ))
oraz (x0 + h, f (x0 + h)) do dodatniej półosi Ox.
y
y = f (x)
f (x0 + h)
∆f = f (x0 + h) − f (x0 )
α
f (x0 )
tg α =
∆x = h
x0
2
x0 + h
∆f
∆x
x
Pochodna funkcji
Definicja 2. Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (x 0 −r, x0 +r),
gdzie r > 0.
Jeżeli istnieje skończona granica
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h→0
h
lim
to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f 0 (x0 ) .
Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 .
1
Budownictwo – studia niestacjonarne
sem I, 2008/2009
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie x 0 nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że funkcja
f nie jest różniczkowalna w punkcie x 0 .
Pochodna funkcji f w punkcie x0
def
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
m
def
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
def
f (x) − f (x0 )
x − x0
(x0 +h)2 −x20
h
h→0
Przykład 3. Niech f (x) = x2 . Wtedy f 0 (x0 ) = lim
def
x2 −x20
x→x0 x−x0
f 0 (x0 ) = lim
2.1
= lim
x→x0
(x−x0 )·(x+x0 )
x−x0
2x0 h+h2
h
h→0
= lim
= 2x0 lub
= 2x0
Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych
(c)0 = 0 , gdzie c ∈ R.
(xp )0 = pxp−1 , dla p ∈ R, zakres zmienności x zależy od p.
0
1
x
=−
1
, x ∈ R \ {0}.
x2
√ 0
1
x = √ , x ∈ R+ .
2 x
(sin x)0 = cos x , x ∈ R.
(cos x)0 = − sin x , x ∈ R.
(tg x)0 =
1
π
, x 6= + kπ, k ∈ Z.
2
cos x
2
(ctg x)0 = −
1
, x 6= kπ, k ∈ Z.
sin2 x
(ax )0 = ax ln a , a > 0, x ∈ R.
(ex )0 = ex , x ∈ R.
(log a x)0 =
(ln x)0 =
1
, x > 0 i 0 < a 6= 1.
x ln a
1
, x > 0.
x
2
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
sem I, 2008/2009
Katedra Matematyki
Definicja 4. Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja ciągła f będzie określona przynajmniej na przedziale
(x0 − r, x0 + r), gdzie r > 0.
Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 , f (x0 )), jeżeli jest granicznym położeniem
siecznych wykresu funkcji przechodzących przez punkty (x 0 , f (x0 )) i (x, f (x)), gdy x → x0 .
y
y = f (x)
f (x)
sieczne
styczna
f (x0 )
x0
2.2
←−
x
x
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
Pochodna funkcji w punkcie x0 jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w
punkcie (x0 , f (x0 )) do dodatniej półosi Ox.
y
y = f (x)
styczna
f (x0 )
tg α = f 0 (x0 )
α
x
x0
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 , f (x0 )):
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) .
Przykład 5.
Niech f (x) = ex . Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x 0 = 0 ma postać: y = x + 1 .
y
y = ex
y =x+1
(0, 1)
x
Przykład 6.
Niech f (x) = sin x. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x 0 = π ma postać: y = π − x .
y = sin x
y
1
−π
2π
π
3π
4π
x
-1
y =π−x
3
sem I, 2008/2009
2.3
Katedra Matematyki
Pochodna funkcji na przedziale
Funkcja ma pochodną na przedziale I otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodną w każdym punkcie
tego przedziału.
Funkcję określoną na przedziale I, której wartości w punktach x tego przedziału sa równe f 0 (x) nazywamy
pochodną funkcji f na przedziale I i oznaczamy symbolem f 0 .
f 0 : x 7→ f 0 (x) ,
2.4
x ∈ I.
Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji
Twierdzenie 7. Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie x 0 , to:
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) .
(f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ) .
(f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ) .
0
f
g
(x0 ) =
f 0 (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 )
, o ile g(x0 ) 6= 0.
g 2 (x0 )
Twierdzenie 8. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 , zaś c ∈ R, to (cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ) .
Przykład 9.
f (x) = x4 + 3x2 −
1 √
1
1
+ x ⇒ f 0 (x) = 4x3 + 6x + 2 + √
x
x
2 x
g(x) = sin x · ctg x , x 6= kπ, k ∈ Z, ⇒
h(x) =
g 0 (x)
1
= cos x ctg x + sin x − 2
sin x
= cos x ctg x −
1
sin x
x2 − 1
2x · (x2 + 1) − (x2 − 1) · 2x
4x
, x ∈ R, ⇒ h0 (x) =
= 2
2
x +1
(x2 + 1)2
(x + 1)2
Twierdzenie 10 (o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz
funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f (x 0 ), to funkcja g ◦ f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ) .
Przykład 11.
f (x) = sin3 x ⇒ f 0 (x) = 3 sin2 x · cos x
g(x) = (3x2 + x + 2)5 , ⇒ g 0 (x) = 5(3x2 + x + 2)4 · (6x + 1)
2.4.1
Postać logarytmiczno–wykładnicza funkcji
Każdą funkcję złożoną postaci [f (x)] g(x) można przedstawić w postaci logarytmiczno–wykładniczej:
[f (x)]g(x) = eg(x)·ln f (x) .
Postać logarytmiczno–wykładniczą stosujemy do obliczania pochodnych funkcji danych w postaci [f (x)] g(x) .
Przykład 12. f (x) = xx = ex ln x ⇒ f 0 (x) = ex ln x · (ln x + x · x1 ) = xx · (ln x + 1)
4
sem I, 2008/2009
Katedra Matematyki
Twierdzenie 13 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech x 0 ∈ Df . Niech f będzie funkcją ciągłą i
różnowartościową w otoczeniu punktu x 0 oraz taką, że f 0 (x0 ) 6= 0. Wówczas
f −1
0
(y0 ) =
1
f 0 (x
,
0)
gdzie y0 = f (x0 ).
2.4.2
Pochodne funkcji cyklometrycznych
1
(arc sin x)0 = √
, x ∈ (−1, 1).
1 − x2
(arc tg x)0 =
3
1
(arc cos x)0 = − √
, x ∈ (−1, 1).
1 − x2
1
, x ∈ R.
1 + x2
(arc ctg x)0 = −
1
, x ∈ R.
1 + x2
Różniczka funkcji
Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu x 0 . Ponadto niech funkcja f ma pochodną właściwą
(jest różniczkowalna) w punkcie x0 .
Definicja 14. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nazywamy funkcję zmiennych ∆x określoną wzorem:
def
df (x0 )(∆x) = f 0 (x0 ) · ∆x .
Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df (x 0 ) lub krótko df .
3.1
Różniczka i obliczenia przybliżone
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x 0 . Wtedy
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 ) · ∆x ,
przy czym błąd jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji ∆f jej różniczką df = f 0 (x)∆x dąży szybciej
do zera niż ∆x, tzn.
∆f − df
lim
=0.
∆x→0
∆x
y
y = f (x)
∆f
df
f (x0 )
∆x
x0
x
Przykład 15. Wykorzystując różniczkę obliczymy wartość przybliżoną wyrażenia
√
Definiujemy funkcję f (x) = x .
Przyjmujemy x0 = 16 ⇒ ∆x = −0,04.
√
√
df
1
Ponieważ
= f 0 (x) = √ ,więc
15,96 ≈ 16 + 2√116 · (−0,04) = 3,995 .
dx
2 x
5
√
15,96 .
sem I, 2008/2009
3.2
Katedra Matematyki
Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów
Niech wielkości fizyczne x i y będą związane zależnością y = f (x). Ponadto niech ∆ x oznacza błąd
bezwzględny pomiaru wielkości x. Wtedy błąd bezwzględny ∆ y obliczeń wielkości y wyraża się wzorem
przybliżonym
∆y ≈ f 0 (x0 ) ∆x ,
gdzie x0 jest wynikiem pomiaru wielkości x, przy czym f 0 (x0 ) jest właściwa.
Przykład 16. Czas w biegu na 100 m mierzy się z dokładnością ∆ t = 0,01 s. Zawodnik uzyskał 10 s. Z
jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć prędkość V tego zawodnika?
100
100
Ponieważ V =
, więc V 0 (t) = − 2 , więc
t
t
3.3
∆V ≈ |V
0 (10)|
Związek różniczkowalności z ciągłością funkcji
100 · ∆t = − 2 · 0,01 = 0,01 ms .
10
Twierdzenie 17. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 , to jest w tym punkcie ciągła.
Uwaga 18. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Na przykład funkcja f (x) = |x| jest ciągła w punkcie x 0 = 0, ale f 0 (0) nie istnieje.
y
y = |x|
2
-4
3.4
-2
2
x
Związek różniczkowalności z monotonicznością funkcji
Twierdzenie 19. Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x ∈ I funkcja f spełnia warunek:
f 0 (x) = 0, to funkcja f jest stała na I;
f 0 (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca na I;
f 0 (x) > 0, to funkcja f jest niemalejąca na I;
f 0 (x) < 0, to funkcja f jest malejąca na I;
f 0 (x) 6 0, to funkcja f jest nierosnąca na I.
4
Pochodne wyższych rzędów
Pochodne n-tego rzędu funkcji f w punkcie x 0 definiujemy indukcyjnie
f (n) (x0 ) = f (n−1)
0
dla n > 1.
Przyjmujemy, że f (0) (x0 ) = f (x0 ) i f (1) (x0 ) = f 0 (x0 ).
Piszemy:
˙ f (2) = f¨
lub f (1) = f,
f (2) = f 00 , f (3) = f 000 , f (4) = f IV
6
(x0 ) ,
lub
f (n) =
dn f
.
dxn
sem I, 2008/2009
5
Katedra Matematyki
Ekstrema funkcji
Definicja 20 (minimum funkcji).
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne, jeżeli
_
^
f (x) > f (x0 ) .
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne właściwe, jeżeli
_
^
f (x) > f (x0 ) .
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
Definicja 21 (maksimum funkcji).
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne, jeżeli
_
^
f (x) 6 f (x0 ) .
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne właściwe, jeżeli
_
^
f (x) < f (x0 ) .
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
Minima i maksima lokalne nazywamy EKSTREMAMI LOKALNYMI.
Twierdzenie 22 (tw. Fermata: warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej).
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz posiada ekstremum lokalne w tym punkcie, to
f 0 (x0 ) = 0 .
Uwaga 23. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Na przykład dla funkcji f (x) = x3 mamy f 0 (0) = 0, a f nie ma ekstremum w punkcie x 0 = 0.
y
y = x3
x
Twierdzenie 24 (warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej).
Niech x0 ∈ R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0 , ciągła w punkcie x0 i
różniczkowalna przynajmniej w sąsiedztwie punktu x 0 . Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że
^
f 0 (x) > 0 oraz
x∈(x0 −δ,x0 )
^
f 0 (x) < 0
x∈(x0 ,x0 +δ)
to w punkcie x0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe.
7
sem I, 2008/2009
Katedra Matematyki
Twierdzenie 25 (warunek dostateczny istnienia minimum funkcji różniczkowalnej).
Niech x0 ∈ R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0 , ciągłą w punkcie x0 i
różniczkowalną przynajmniej w sąsiedztwie punktu x 0 . Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że
^
f 0 (x) < 0 oraz
x∈(x0 −δ,x0 )
^
f 0 (x) > 0
x∈(x0 ,x0 +δ)
to w punkcie x0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 26 (II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej).
Niech x0 ∈ R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0 . Jeżeli
① f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 ,
② f (n) (x0 ) 6= 0 ,
to, gdy n > 2 jest parzyste , funkcja f osiąga w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest
to minimum, gdy f (n) (x0 ) > 0, zaś maksimum gdy f (n) (x0 ) < 0. Gdy n jest nieparzyste, ekstremum nie
występuje.
5.1
Ekstrema globalne
Definicja 27. Liczba m jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze A ⊆ D f , jeżeli istnieje
punkt x0 ∈ A, taki że
f (x0 ) = m
i dla każdego x ∈ A
f (x) > f (x0 ) = m .
Liczbę m nazywamy
minimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
Definicja 28. Liczba M jest największą wartością funkcji f na zbiorze A ⊆ D f , jeżeli istnieje punkt
x0 ∈ A, taki że
f (x0 ) = M
i dla każdego x ∈ A
f (x) 6 f (x0 ) = M .
Liczbę M nazywamy
maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
Minimum i maksimum globalne nazywamy EKSTREMAMI GLOBALNYMI.
Niech A = ha, bi ⊆ R i f : A → R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą
punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krytycznych, tzn. punktów x k , w
których f 0 (xk ) = 0 lub f 0 (xk ) nie istnieje.
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na na domkniętym i ograniczonym zbiorze A, to funkcja f osiąga
na A wartość najmniejszą i największą.
8
sem I, 2008/2009
5.1.1
Katedra Matematyki
Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji
Niech A = ha, bi ⊆ R i f : A → R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą
punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krytycznych, tzn. punktów x k , w
których f 0 (xk ) = 0 lub f 0 (xk ) nie istnieje.
Ekstremów globalnych funkcji f na przedziale A szukamy postępując według algorytmu:
Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewnątrz przedziału A i obliczmy wartości funkcji w tych
punktach.
Obliczmy f (a) i f (b).
Porównujemy otrzymane wartości funkcji znajdując wartość najmniejszą i największą.
Przykład 29. Niech f : A ⊂ R → R i
f (x, y) = |x − 1|,
gdzie A = h0, 3i.
x = 1 jest punktem krytycznym funkcji f , gdyż f 0 (1) nie istnieje. Wtedy f (1) = 00.
f (0) = 1 i f (3) = 22.
Wówczas m = fnajmniejsze = 0 i M = fnajwiększe = 2 .
6
Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji
Twierdzenie 30 (Reguła de l’Hospitala).
Niech funkcje f i g spełniają warunki:
① funkcje f ,g i f 0 , g 0 będą określone w sąsiedztwie punktu x 0
① lim f (x) = lim g(x) = 0 albo lim f (x) = lim g(x) = ∞
x→x0
x→x0
③ istnieje granica
lim
x→x0
x→x0
x→x0
f 0 (x)
=a.
g 0 (x)
Wówczas istnieje granica
lim
x→x0
f (x)
oraz
g(x)
lim
x→x0
f (x)
=a.
g(x)
Uwaga 31. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych, niewłaściwych oraz
dla granic w +∞ lub w −∞.
9
sem I, 2008/2009
7
Katedra Matematyki
Wklęsłość i wypukłość
Definicja 32. Funkcje f nazywamy wypukłą na przedziale (a, b) ⊆ R wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^
a<x1 <x2 <b 0<t<1
f (tx1 + (1 − t)x2 ) < tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) .
Uwaga 33. Geometrycznie funkcja jest wypukła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży powyżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.
Definicja 34. Funkcje f nazywamy wklęsłą na przedziale (a, b) ⊆ R wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^
a<x1 <x2 <b 0<t<1
f (tx1 + (1 − t)x2 ) > tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) .
Uwaga 35. Geometrycznie funkcja jest wklęsła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży poniżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.
7.1
Warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości
Twierdzenie 36. Jeżeli f 00 (x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wypukła na (a, b).
Twierdzenie 37. Jeżeli f 00 (x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b).
Definicja 38. Niech funkcja f będzie określona i różniczkowalna przynajmniej w otoczeniu punktu x 0 .
Punkt (x0 , f (x0 )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
liczba δ > 0, taka że funkcja f jest wypukła na (x 0 − δ, x0 ) oraz wklęsła na (x0 , x0 + δ) lub odwrotnie.
7.2
Warunki istnienia punktu przegięcia
Twierdzenie 39 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia). Jeżeli funkcja f posiada pochodną
drugiego rzędu w punkcie x0 oraz posiada w punkcie (x0 , f (x0 )) punkt przegięcia, to f 00 (x0 ) = 0.
Twierdzenie 40 (warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia). Niech x 0 ∈ R i f będzie funkcją
określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0 , ciągłą i różniczkowalną w punkcie x 0 . Jeżeli istnieje δ > 0
takie, że
^
f 00 (x) < 0 oraz
^
f 00 (x) > 0 oraz
x∈(x0 −δ,x0 )
^
f 00 (x) > 0
^
f 00 (x) < 0
x∈(x0 ,x0 +δ)
lub
x∈(x0 −δ,x0 )
x∈(x0 ,x0 +δ)
to w punkcie (x0 , f (x0 )) funkcja f ma punkt przegięcia.
Twierdzenie 41 (warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia). Niech x 0 ∈ R i f będzie funkcją
określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0 . Jeżeli
① f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 ,
② f (n) (x0 ) 6= 0 ,
to, gdy n > 3 jest nieparzyste , funkcja f ma w punkcie (x 0 , f (x0 )) punkt przegięcia..
10
sem I, 2008/2009
8
Katedra Matematyki
Pochodne a wykres funkcji
f 00
+
+
–
–
+
–
f0
+
–
+
–
0
0
min. lok
max. lok
f
Uwaga 42. Jeżeli f 00 (x0 ) = 0 i f 000 (x0 ) 6= 0, to x0 jest punktem przegięcia się wykresu funkcji f .
9
Badanie funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporządzanie jej wykresu rozumiemy wykonanie następujących czynności:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Wskazanie podstawowych własności:
(a) parzystość lub nieparzystość
(b) okresowość
(c) miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX) i punkty przecięcia
wykresu funkcji z osią OY
(d) ciągłość
3. Zbadanie zachowania się funkcji na "końcach" dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu funkcji.
4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji.
5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu
funkcji.
6. Sporządzenie wykresu funkcji.
Przykład 43. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji f danej wzorem: f (x) =
x3 +4
x2
.
1. Df = R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
2. Podstawowe własności funkcji f :
(a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
(b) f nie jest funkcją okresową.
√
√
(c) f (x) = 0 ⇔ x3 + 4 = 0 ⇔ x = − 3 4, zatem P0 (− 3 4, 0) jest punktem przecięcia wykresu
funkcji z osią OX; brak punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OY .
(d) f jest ciągła w swojej dziedzinie.
3. Ponieważ
x3 + 4
4
= + = +∞,
2
x→0
x
0
lim
więc prosta x = 0 jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji f .
Ponieważ
x3 + 4
= ±∞,
x→±∞
x2
więc wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych.
lim
11
sem I, 2008/2009
Katedra Matematyki
Zbadajmy istnienie asymptot ukośnych y = ax + b:
1 + x43
f (x)
x3 + 4
=
lim
= lim
= 1,
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞
x3
1
a = lim
b = lim [f (x) − ax] = lim
x→±∞
x→±∞
"
#
x3 + 4
x3 + 4 − x 3
4
4
−
x
=
lim
= lim 2 =
= 0.
x→±∞
x→±∞ x
x2
x2
∞
Istnieje więc jedna asymptota ukośna o równaniu y = x .
4. Monotoniczność i ekstrema:
f 0 (x) = 1 −
8
x3 − 8
=
,
x3
x3
x 6= 0.
f
−
+
f0
f 0 (x) = 0 ⇔ x = 2.
+
Ponadto fmin (2) = 3 .
2
0
min. lok
5. Wklęsłość i wypukłość:
f 00 (x) =
24
,
x4
x 6= 0.
f
Zauważmy, że dla każdego x 6= 0 mamy
f 00 (x)
> 0.
+
+
f 00
0
Zatem wykres nie posiada punktów przegięcia – jest to wykres wypukły.
√
√ √
6.
x
−∞, − 3 4
−34
− 3 4, 0
0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f 00
+
+
+
×
+
+
+
f0
+
+
+
×
–
2
–
+∞
f
×
0
y=x
y=x
+∞
3
y
6
y=
x3 + 4
x2
3
√
−34
-4
-2
2
4
6
x
-3
12

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Transkrypt

Podobne dokumenty

Analiza matematyczna - 5. Pochodne: badanie przebiegu

ANL1 1. Wykazać, że nie istnieją granice podwójne (a) lim sin(x2 +

Wzory do pierwszego kolokwium z analizy matematycznej

x(f

Rozwiazania

Zadania z analizy matematycznej dla I roku GiK. Lista 3. Pochodne