Zadania z analizy matematycznej dla I roku GiK. Lista 3. Pochodne

Zadania z analizy matematycznej dla I roku GiK.
Lista 3. Pochodne funkcji.
1. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji we
wskazanych punktach.
a. f(x)= − 4; =1
c. f(x)=| + 6|; =-6
b. f(x)= ;
=-3
d. f(x)=
;
∈ℝ
2. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji.
a. f(x)=2 − 7
b. f(x)=
(4
+
+6
k. f(x)=( + 5)
+ 3 − 4)
d. f(x)= +
+
+√ + √
e. f(x)=
f. f(x)=9 (
)
√
m. ( ) =
3
c. f(x)=33
l. f(x)=
(
+ 3)
n. f(x)=(
+
+3 )
o. f(x)=√
+5
p. f(x)=
; g(x)=
g. f(x)=
q. f(x)=
h. f(x)=
r. f(x)=
i. f(x)=
s. f(x)=5
j. f(x)= +
t. f(x)=(√ )
√
3. Znaleźć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji.
a.
( )=
√
b. ( ) =
c. ( ) =
4. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
a. f(x)=2
b. f(x)=
− 15
+ 36 − 14
e. f(x)=
i. f(x)=
f. f(x)= +
c. ( ) = ( + 1)
g. ( ) =
d. ( ) = 2 − 2| + 5|
h. ( ) = 2
− ln ( + 1)
5. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji z zadania 4.
6. Wyznaczyć przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych
funkcji.
a. f(x)=2 − 15 + 36 − 14 c. ( ) =
b. f(x)=
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
7. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich
wykresy.
a. f( ) =
−3
+4
c. f(x)=
b. f(x)=
e. f(x)=
d. f(x)=
√
8. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na
wskazanych przedziałach.
a. ( ) = 2 − 3 − 36 − 8; [-3,6]
b.
( )=
− 2√ ; [0,5] c. ( ) =
; x [1,
√
]
9. Z kartonu w kształcie półkola o promieniu r=4 należy wyciąć prostokąt o
maksymalnie największym polu. Podać wymiary tego prostokąta.
10. W kulę o promieniu R=2 wpisano walec o największej objętości. Znaleźć
wymiary tego walca.
11. Z prostokątnego kawałka blachy o szerokości a należy wygiąć rynnę o
przekroju prostokątnym w ten sposób, aby mogło nią spłynąć możliwie
najwięcej wody. Znaleźć wymiary przekroju rynny.
12. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we
wskazanych punktach.
a. f(x)=
−2
b. f(x)=
;
− 3 + 1;
=-1 c. f(x)=
;
d. f(x)=
;
=√2
=1
=e
13. Stosując regułę de L’Hospitala (sprawdzić odpowiednie założenia)
obliczyć granice.
a. lim
→
g. lim
→
b. lim
→
h. lim
→
c. lim
→
i. lim
→
d. lim
→
j. lim
→
e. lim
→
k. lim
→
l. lim
→
f. lim
→
(
)
(
)
( −
)
( − 1)ln ( − 1)
(
)
(
)
( − 5)
14. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych
wyrażeń.
a. √7,999
b.
√ ,
c.arcsin (0,51) d. ln(0,9)
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)