Analiza matematyczna - 5. Pochodne: badanie przebiegu

Analiza matematyczna - 5. Pochodne: badanie przebiegu zmienności funkcji.
Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane
badanie przebiegu zmienności funkcji. Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między
jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje?
kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej?
czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość?
Na wszystkie te pytania możemy odpowiedzieć, obliczając pochodne odpowiedniej funkcji.
Przykład. Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie
maksymalny zysk.
Przykład. Badanie trendu np. badanie czy dla danego przedziału procentowego, podwyższenie podatków zwiększy, czy zmniejszy dochody budżetu państwa, albo czy w
danym okresie czasowym liczba emigrantów wzrośnie, czy zmaleje.
I. Monotoniczność i ekstrema
Zaczniemy od przypomnienia twierdzenia, które pojawiło się już w rozdziale 3, a które
odgrywa decydującą rolę w tym rozdziale.
Twierdzenie 1. Jeśli pochodna funkcji 𝑓 w jakimś przedziale jest dodatnia, to funkcja 𝑓
jest w tym przedziale rosnąca. Jeśli pochodna funkcji 𝑓 w jakimś przedziale jest ujemna,
to funkcja 𝑓 jest w tym przedziale malejąca.
Do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych (maksymalizacja zysku, minimalizacja
kosztu itp.) przydadzą się nam następujące pojęcia i twierdzenia:
Definicja 1. Mówimy, że 𝑓 ma w punkcie 𝑥0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie
otoczenie punktu 𝑥0 , że każde 𝑥 z tego otoczenia spełnia zależność 𝑓 (𝑥) < 𝑓 (𝑥0 ). Dla
𝑥0 ∈ ℝ możemy ten warunek formalnie zapisać: ∃𝜖>0 ∀𝑥∈(𝑥0 −𝜖,𝑥0 +𝜖) 𝑓 (𝑥) < 𝑓 (𝑥0 ).
Mówimy, że 𝑓 ma w punkcie 𝑥0 minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu
𝑥0 , że każde 𝑥 z tego otoczenia spełnia zależność 𝑓 (𝑥) > 𝑓 (𝑥0 ). Dla 𝑥0 ∈ ℝ możemy ten
warunek formalnie zapisać: ∃𝜖>0 ∀𝑥∈(𝑥0 −𝜖,𝑥0 +𝜖) 𝑓 (𝑥) > 𝑓 (𝑥0 ).
Wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji.
Jeśli w powyższych zdaniach możemy uzyskać tylko słabe nierówności to mówimy o słabym
minimum/maksimum lokalnym.
Twierdzenie 2. Jeśli funkcja 𝑓 ma ekstremum lokalne w punkcie 𝑥0 oraz jest w tym
punkcie różniczkowalna to 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0.
Twierdzenie to oznacza, że, jeśli funkcja jest różniczkowalna, to nie może mieć ekstremów
w punktach innych niż te, w których pochodna się zeruje.
Przykład. Jeśli mamy dane funkcje przychodu 𝑇 𝑅 i kosztu 𝐶, to funkcja zysku 𝜋 ma
postać 𝜋 = 𝑇 𝑅 − 𝐶. Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja
ekonomiczna tego warunku?
Analogicznie możemy podejść do funkcji użyteczności 𝑢 dochodu pojedynczego konsumenta uzyskiwanego dzięki jego wysiłkowi: jeśli przez 𝑔 oznaczymy funkcję pożytku
jaki konsument może mieć z konsumpcji dóbr uzyskanych dzięki wysiłkowi, a przez 𝑐,
koszt pozyskania tych dóbr (np. włożony w to wysiłek), to 𝑢 = 𝑔 − 𝑐. Kiedy konsument
zoptymalizuje swoją użyteczność? Jak zinterpretować ten warunek?
Przykład Założenie o różniczkowalności jest ważne: 𝑓 (𝑥) = ∣𝑥∣.
Przykład Twierdzenie odwrotne nie musi być prawdziwe: 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 .
Twierdzenie 3. Jeśli pochodna funkcji 𝑓 zmienia (idąc od lewej strony) w punkcie 𝑥0
znak z + na −, to w tym punkcie funkcja 𝑓 ma maksimum lokalne.
Jeśli pochodna funkcji 𝑓 zmienia (idąc od lewej strony) w punkcie 𝑥0 znak z − na +, to
w tym punkcie funkcja 𝑓 ma minimum lokalne.
1
2
Formalnie: Jeśli funkcja 𝑓 jest ciągła w otoczeniu punktu 𝑥0 ∈ ℝ oraz różniczkowalna
w jego otoczeniu oraz istnieje 𝜖 > 0 takie, że 𝑓 ′ (𝑥) > 0 dla każdego 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝜖, 𝑥0 ) i
𝑓 ′ (𝑥) < 0 dla każdego 𝑥 ∈ (𝑥0 , 𝑥0 + 𝜖), to w punkcie 𝑥0 funkcja 𝑓 ma maksimum lokalne.
Formalnie: Jeśli funkcja 𝑓 jest ciągła w otoczeniu punktu 𝑥0 ∈ ℝ oraz różniczkowalna
w jego otoczeniu oraz istnieje 𝜖 > 0 takie, że 𝑓 ′ (𝑥) < 0 dla każdego 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝜖, 𝑥0 ) i
𝑓 ′ (𝑥) > 0 dla każdego 𝑥 ∈ (𝑥0 , 𝑥0 + 𝜖), to w punkcie 𝑥0 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne.
To twierdzenie można sobie zawsze logicznie wyprowadzić, analizując wykres funkcji:
jeśli najpierw rośnie, a potem maleje, to w „punkcie przejścia” musi mieć „górkę” czyli
maksimum. Gdy jest na odwrót, mamy „dolinkę”, czyli minimum.
Przykład 𝑓 (𝑥) = 3𝑥5 − 15
𝑥4 − 40𝑥3 + 90𝑥2 + 1.
4
Chociaż mówiąc o ekstremach, często opuszcza się słowo „lokalne”, lokalność jest istotna.
„Bycie ekstremum” funkcji nie oznacza bycia jego największą, bądź najmniejszą wartością.
Funkcja z poprzedniego przykładu ma zarówno maksimum lokalne (w −3), jak i minimum
(w 0), jednak najmniejsze wartości ma w pobliżu −∞, a największe w pobliżu +∞.
Ekstremum lokalne jest największe „w okolicy”, a nie „w ogóle”.
Szukanie ekstremalnych wartości funkcji na przedziale domkniętym.
Zgodnie z wspomnianym wcześniej twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Szukając
największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości
funkcji na krańcach przedziału, a potem w punktach dla których 𝑓 ′ (𝑥) = 0. Nie musimy
sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami. Jeśli istnieją punkty, w których
funkcja nie jest różniczkowalna, to dla nich również musimy policzyć wartości. Następnie
spośród wszystkich obliczonych wartości wybieramy największą i najmniejszą.
Przykład 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 (𝑥 − 2)2 w [−2, 3].
II. Wklęsłość/wypukłość i punkty przegięcia
Teraz przyda się umiejętność obliczania drugiej pochodnej. Dzięki niej, możemy określić,
czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia
się prędkość zmiany wartości funkcji.
Twierdzenie 4. Jeśli druga pochodna funkcji 𝑓 w jakimś przedziale jest dodatnia, to
funkcja 𝑓 jest w tym przedziale wypukła. Jeśli druga pochodna funkcji 𝑓 w jakimś
przedziale jest ujemna, to funkcja 𝑓 jest w tym przedziale wklęsła.
Przykład. Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej dla pojedynczego dobra
często jest formułowane jako 𝑢′′ < 0.
Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te
działające korzystnie mają drugą pochodną ujemną, a te niepożądane dodatnią.
Przykład. Wracamy do przykładu z użytecznością dochodu zaprezentowaną jako różnica
pomiędzy korzyścią z jego „skonsumowania” 𝑔 i kosztem uzyskania dochodu 𝑐. Zazwyczaj
zakłada się, że 𝑔 ′′ < 0 i 𝑐′′ > 0, co przy kilku drobnych, technicznych założeniach zapewnia, że istnieje optimum użyteczności.
Przykład. W naturalny sposób wydaje się, że przy rosnących cenach funkcja popytu
ma coraz większą elastyczność (konkretnie, wartość bezwzględną elastyczności). Nie jest
to prawdą, na przykład dla 𝑄(𝑝) = √1𝑝 . Jednak możemy teraz udowodnić twierdzenie,
które mówi, że wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności.
Podsumowując, dla każdego przedziału, gdzie pierwsza i druga pochodna ma stały znak,
możemy naszkicować wykres funkcji.
a) Jeśli pierwsza i druga pochodna są dodatnie, to funkcja rośnie coraz szybciej. Przykład:
𝑓 (𝑥) = 𝑥2 , dla 𝑥 > 0, albo 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥 w całej dziedzinie.
b) Jeśli pierwsza pochodna jest dodatnia,
√ a druga ujemna, to funkcja rośnie coraz wolniej.
Przykład: 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥, albo 𝑓 (𝑥) = 𝑥 w całej dziedzinie.
c) Jeśli pierwsza pochodna jest ujemna, a druga dodatnia, to funkcja maleje coraz wolniej.
Przykład: 𝑓 (𝑥) = 𝑥1 dla 𝑥 > 0, albo 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 dla 𝑥 < 0.
3
d) Jeśli pierwsza i druga pochodna są ujemne, to funkcja maleje coraz szybciej. Przykład:
𝑓 (𝑥) = 𝑥1 dla 𝑥 < 0.
Wniosek 5. Jeżeli funkcja 𝑓 jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie 𝑥0 i jej druga
pochodna jest ciągła oraz 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 to:
a) Jeśli 𝑓 ′′ (𝑥0 ) > 0 to 𝑓 ma minimum lokalne w 𝑥0 .
b) Jeśli 𝑓 ′′ (𝑥0 ) < 0 to 𝑓 ma maksimum lokalne w 𝑥0 .
Zmiana wklęsłości i wypukłości funkcji również, tak jak w wypadku monotoniczności,
wyznacza szczególny punkt na wykresie funkcji. Te odpowiedniki ekstremów dla pierwszej
pochodnej nazywamy punktami przegięcia. Nie dzielimy ich ze względu na to, w którą
stronę następuje zmiana.
Definicja 2. Mówimy, że 𝑓 ma w punkcie 𝑥0 punkt przegięcia, jeśli istnieje takie otoczenie punktu 𝑥0 , że w tym otoczeniu po jednej stronie tego punktu funkcja jest wklęsła, a
po drugiej wypukła.
Twierdzenie 6. Jeśli funkcja 𝑓 ma punkt przegięcia w punkcie 𝑥0 oraz jest w tym punkcie
różniczkowalna to 𝑓 ′′ (𝑥0 ) = 0.
Twierdzenie to oznacza, że, jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna, to nie może
mieć punktów przegięcia w punktach innych niż te, w których druga pochodna się zeruje.
Przykład Twierdzenie odwrotne nie musi być prawdziwe: 𝑓 (𝑥) = 𝑥4 .
Twierdzenie 7. Jeśli druga pochodna funkcji 𝑓 zmienia w punkcie 𝑥0 znak, to w tym
punkcie funkcja 𝑓 ma punkt przegięcia.
Przykład 𝑓 (𝑥) = 3𝑥5 −
15 4
𝑥
4
− 40𝑥3 + 90𝑥2 + 1.
III. Asymptoty
Wiemy już jak badać wygląd funkcji różniczkowalnej wewnątrz jej przedziałów określoności.
Jak jednak zbadać jej zachowanie na krańcach tych przedziałów? Jak odróżnić zachowanie
√
√
2
w +∞ funkcji 𝑥 𝑥−1 od 𝑥 od arctg 𝑥? Lub zachowanie w 0 funkcji 𝑥 i − 𝑥1 ? Do tego
potrzebne są asymptoty.
Przywołamy raz jeszcze przykład z wykładu o granicach:
Przykład. Koszty zmienne rosną szybciej przy produkcji dużej niż małej. Na przykład:
𝐶(𝑞) = (𝐴𝑞 + 𝐵)𝑞 + 𝑘. Co się dzieje przy dużej produkcji z kosztami średnimi?
Definicja 3 (Nieformalna). Asymptota wykresu funkcji to prosta, do której zbliża się
wykres, gdy się wzdłuż niego przemieszczamy.
Definicja 4 (Formalna). Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji 𝑓 to prosta
o równaniu 𝑥 = 𝑥0 , jeśli lim+ 𝑓 (𝑥) = +∞ lub lim+ 𝑓 (𝑥) = −∞.
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji 𝑓 to prosta o równaniu 𝑥 = 𝑥0 , jeśli
lim− 𝑓 (𝑥) = +∞ lub lim− 𝑓 (𝑥) = −∞.
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Asymptota pionowa obustronna wykresu funkcji 𝑓 to prosta o równaniu 𝑥 = 𝑥0 , o ile jest
jego asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.
1
Przykład. 𝑥1 , 𝑥12 , 𝑒 𝑥 .
Przykład. Przy asymptocie pionowej, nie ma znaczenia, czy w danym punkcie funkcja
jest określona, czy nie. Jednakże, jeśli funkcja jest ciągła, sens ma tylko szukanie asymptot na krańcach przedziału określoności.
Definicja 5 (Formalna). Asymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji 𝑓 to prosta o
równaniu 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, jeśli lim [𝑓 (𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] = 0.
𝑥→∞
Asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji 𝑓 to prosta o równaniu 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, jeśli
lim [𝑓 (𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] = 0.
𝑥→−∞
Asymptota ukośna obustronna wykresu funkcji 𝑓 to prosta o równaniu 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, o ile
jest jego asymptotą ukośną prawostronną i lewostronną.
4
Uwaga: jeśli w powyższej definicji 𝑎 = 0, to taką asymptotę nazywa się często asymptotą
poziomą.
Twierdzenie 8. Prosta o równaniu 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 jest asymptotą ukośną prawostronną
funkcji 𝑓 , wtedy i tylko wtedy, gdy
𝑓 (𝑥)
lim
= 𝑎, lim (𝑓 (𝑥) − 𝑎𝑥) = 𝑏.
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞
Analogiczne twierdzenie (tylko z granicami w −∞) zachodzi dla asymptot ukośnych lewostronnych.
√
2
Przykład. 𝑥 𝑥−1 , 𝑥, arctg 𝑥.
IV. Badanie przebiegu zmienności funkcji - podsumowanie
Gdy badamy przebieg zmienności funkcji, celem jest naszkicowanie jej wykresu, a przynajmniej wypisanie własności w postaci łatwej do odczytania.
Wymagane są następujące kroki:
1) Sprawdzenie dziedziny funkcji
2) Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności i wyznaczenie asymptot (jeśli
istnieją)
3) Obliczenie pierwszej pochodnej, wyznaczenie maksimów i minimów, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca/malejąca.
4) Obliczenie pierwszej pochodnej, wyznaczenie punktów przegięcia, wskazanie przedziałów, w których funkcja jest wklęsła/wypukła.
5) Naszkicowanie wykresu.
Zalecane (ułatwiające szkicowanie wykresu):
1) Sporządzenie tabelki zmienności funkcji
2) Zbadanie parzystości/nieparzystości funkcji.
3) Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.
Przykłady Krzywa Gaussa (standardowy rozkład normalny) - kluczowa funkcja w bada𝑥2
niach statystycznych 𝑓 (𝑥) = √12𝜋 𝑒− 2 .
Funkcja logistyczna 𝑓 (𝑡) = 1+𝑏𝑒𝑎 −𝑐𝑡 - ważna w modelowaniu funkcji „wygaszających” swój
wzrost w miarę zwiększania wartości np. rozwój populacji na ograniczonym terenie,
analiza rozchodzenia się innowacji w społeczeństwie. Np. 𝑎 = 2, 𝑏 = 𝑒, 𝑐 = 2
KONIEC MATERIAŁU I SEMESTRU.