P O B I E R Z

Lista zadań nr 10.
Elementy ogólnej teorii testów.
Zadanie 1
Hipoteza zerowa stwierdza, że cecha ma rozkład, dla którego obserwacje mają wartości
naturalne 1 2 3 4 5 6 7 8 przyjmowane z prawdopodobieństwami 0.01, 0.01, 0.05, 0.05, 0.08, 0.2,
0.3, 0.3, odpowiednio.
Hipoteza alternatywna stwierdza, że badana cecha ma rozkład dla którego te same wartości są
obserwowane z prawdopodobieństwami: 0.01,0.2, 0.3, 0.08, 0.05, 0.01, 0.05, 0.3.
Podaj prawdopodobieństwa popełnienia błędów I i II rodzaju dla testów niezrandomizowanych
określonych przez zbiory krytyczne: W1={1,2}, W2={1,3}, W3={2,3}, W4={1,4},
W5={1,2,3,4}, W6={1,2,5}, W7={1,3,5}. Który ze wskazanych testów jest niedopuszczalny?
Który z nich jest najmocniejszy na poziomie istotności 0.1?
Podaj w tym problemie test najmocniejszy na poziomie istotności 0.075 (uwzględnij wszystkie
testy, także zranomizowane)
Zadanie 2
Hipoteza zerowa stwierdza, że badana cecha ma rozkład dla którego wartości naturalne 1 2 3 4
przyjmowane są z prawdopodobieństwami 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, odpowiednio.
Hipoteza
alternatywna stwierdza, że badana cecha ma rozkład dla którego te same wartości są
przyjmowane z prawdopodobieństwami: 0.15, 0.4, 0.1, 0.35 Weryfikujemy H0 po dwóch
niezależnych obserwacjach wartości cechy. Wyznacz test najmocniejszy na poziomie istotności
0.05.
Zadanie 3
Wiadomo, że obserwacje mają rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną 5 lub 10.
Rozważamy hipotezy H0 : EX = 5 , HK : EX = 10. Rozważamy test niezrandomizowany W1=[20,
∞) , W2=[15, ∞), W3=[13, ∞), W4=[10, ∞), W5=[8, ∞). Oblicz prawdopodobieństwa
popełnienia błędów I i II rodzaju w tych testach. Który z nich jest najmocniejszy na poziomie
istotności 0.1. Znajdź test najmocniejszy wśród wszystkich testów (także zrandomizowanych) na
tym poziomie istotności. Jaka jest moc tego testu?
Zadanie 4
Obserwacje X mają rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną 1, 2, 5 lub 10.
Rozważamy hipotezy H0 : EX ≥ 3 , HK : EX < 3. Rozważamy test niezrandomizowany W=[5, ∞)
Oblicz prawdopodobieństwa popełnienia błędów I i II rodzaju w tych testach. Dla jakich liczb α
, test ten jest testem istotności na poziomie α.
Zadanie 5
Obserwacje mają rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną 0.5 lub 4. Weryfikujemy H0 po
jednej obserwacji. Znajdź test najmocniejszy na poziomie istotności 0.02 dla przetestowania
hipotez H0 : EX =4, przy alternatywie HK : EX = 0.5. Jakie jest prawdopodobieństwo popełnienia
błędu drugiego rodzaju w tym teście?
Zadanie 6
Obserwacje X mają rozkład N(2,4) lub N(8,4). Znajdź test najmocniejszy na poziomie istotności
0.05 dla przetestowania hipotez H0 : EX = 2, HK : EX = 8 . Jaka jest moc tego testu?