zobacz fragment zbioru

MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, ... – fragmenty
1
11. Liczba log 2 3 ⋅ log3 4 ⋅ log 4 5 ⋅ log5 6 ⋅ log 6 7 ⋅ log 7 8 jest:
A) niewymierna,
B) całkowita,
C) kwadratem liczby naturalnej,
D) większa od 7.
Odpowiedź: B.
2.27. Oblicz wartość wyrażenia
3a − b
5a + 3b
wiedząc, że
= 4.
6b
3a
Odpowiedź
1
5a + 3b
b 7
a 3
= 4 , to = , więc = .
2.27.
Wskazówka: Zauważ, że jeżeli
21
b 7
3a
a 3
Zatem
3a − b 1 a 1 1 3 1
= ⋅ − = ⋅ − .
6b
2 b 6 2 7 6
2.46. Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami dodatnimi oraz x + y = 16, to (1 + x ) (1 + y ) ≤ 81.
Odpowiedź
x+ y
≥ xy (średnia arytmetyczna liczb x i y jest
2
niemniejsza od średniej geometrycznej tych liczb), więc xy ≤ 64.
2.46. Wskazówka: Zauważ, że (1 + x ) (1+
1 + y ) = 17 + xy oraz
.
2
2
 x + y = 4
przedstawiona jest na rysunku:
 x − y = 0
5. Interpretacja geometryczna układu równań 
A)
y
B)
1
0
y
C)
1
1
x
0
y
D)
1
1
x
0
y
1
1
x
0
1
x
Odpowiedź: A.
matematyka - zbior zadan maturalnych - ksztalcenie rozszerzone.indd 1
2014-12-31 10:55:10
MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, ... – fragmenty
2
( x − 2 )2 + 1, gdy x ≥ 0
tak, aby osią symetrii wykresu
................., gdy x < 0
4.52. Uzupełnij wzór funkcji f ( x ) = 
funkcji f była oś y.
a) Naszkicuj wykres funkcji f.
b) Przeanalizuj wykres funkcji f i określ liczbę rozwiązań równania f ( x ) = m w zależności
od wartości parametru m.
c) Naszkicuj wykres funkcji y = g ( m ) przyporządkowującej liczbie m ∈ R liczbę rozwiązań
równania f ( x ) = m .
Odpowiedź
2
4.52. Gdy x < 0 , to f ( x ) = ( x + 2 ) + 1,
1,
y = f ( x)
a)
4,
4

3,
b) g ( m ) = 
2,
0,
2
gdy
gdy
gdy
gdy
y = g (m)
m ∈ (1; 5 )
m=5
, c)
m ∈ {1} ∪ ( 5; + ∞ )
m ∈ ( −∞
−∞; 1)
2
2
Wskazówka: Gdy x < 0 , to f ( − x ) = ( −x
− x − 2 ) + 1 = [ −1 ⋅ ( x + 2 )] + 1 = ( x + 2 ) + 1 .
5.78. Wierzchołek A prostokąta ABCD leży na prostej x − 2 y = 0. Oblicz miarę kąta α między
przekątnymi prostokąta, jeśli C = ( −2, 2 ) i AB = [3, 3].
Odpowiedź
5.78. α ≈ 37°.
° . Wskazówka: Przyjmij oznaczenia, jak na rysunku,
i z warunku AB = DC
D = ( −5, − 1) .
Równanie prostej DC: y = x + 4, równanie prostej AD: y = − x − 6.
 y = −x − 6
Rozwiązując układ równań 
obliczysz współrzędne
x − 2 y = 0
1
2
AC
C ⋅ sin α , gdzie AB = 3 2 .
AB ⋅ AD
A i P= A
punktu A = ( −4, − 2 ) . P = AB
2
matematyka - zbior zadan maturalnych - ksztalcenie rozszerzone.indd 2
[3, 3]
D
C = ( −2, 2 )
α
A
x−
B
2y
=0
2014-12-31 10:55:16
MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, ... – fragmenty
3
a1 = sin α
6.31. Ciąg arytmetyczny ( an ) jest określony rekurencyjnie 
, gdy n ≥ 1.
an +1 = an + cos α
3
1
Uzasadnij, że jeżeli a3 = 2, to an = n + lub an = n −1.
5
5
Odpowiedź
6.31. Wskazówka: Zauważamy, że an +1 − an = coss α = const
const. Zatem ciąg ( an ) jest ciągiem arytmetycznym,
więc an = sin
sin α + ( n − 1) ⋅ ccos
sinn α + 2 ccos
cos α = 22..
os α . Z warunków zadania: a3 = si
os α , więc sinn α + 2 cos
Aby rozwiązać równanie sinn α + 2 cos
cos α = 22,, rozwiązujemy układ równań
4

n α = 2 (1 − cos
cos α )
sin
cos α = 2
sin α = 5
sinn α + 2 cos
sin α = 0
⇔ 
, skąd 
lub 
.
 2
2
2
2
3
cos α ) + cos
cos α = 1
cos α = 1
cos α = 1
cos α =
sinn α + cos
4 (1 − cos

5
3
1
Warunki zadania spełniają dwa ciągi arytmetyczne an = n + lub an = n −
−1.
1. c.n.u.
5
5
7.55. Wykaż, że równanie f ( x ) = −
8
, gdzie f ( x ) = 2 x3 − 2 x 2, ma dwa pierwiastki rzeczywiste.
27
Odpowiedź
y
7.55. Wskazówka: Funkcja f jest ciągła, bo D f = R . W układzie współ-
y = f ( x)
rzędnych zaznaczamy charakterystyczne punkty wykresu funkcji f (miejsca
0
zerowe, ekstrema) oraz granice funkcji f w −∞ i w +∞, czyli:
8
2
f ( x ) = 0 , gdy x = 0 lub x = 1, yma
,
maxx = f ( 0 ) = 0 , ymi
minn = f   = −
27
3
lim f ( x ) = −∞, lim f ( x ) = +∞.
x → −∞
2
3
1
y=−
x → +∞
x
8
27
–1
8 
2
f.
Przez punkty: ( 0, 0 ) , (1, 0 ) i  , −  prowadzimy krzywą, która jest przybliżonym wykresem funkcji f.
3
27


8
f.
Prosta o równaniu y = −
ma dwa punkty wspólne z wykresem funkcji f.
27
3
3
7. Jeżeli sin α = − i α ∈  π ; π  , to sin 2α jest równe:
5
2

A) −
2
,
25
B) −

12
,
25
C)
12
,
25
D)
24
.
25
Odpowiedź: D.
matematyka - zbior zadan maturalnych - ksztalcenie rozszerzone.indd 3
2014-12-31 10:55:24
MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, ... – fragmenty
4
15. Nierówność cos x < sin x spełnia liczba:
A)
π
,
4
B)
.
3
π,
4
.
1
C) 1 π ,
4
D) 2 π .
.
.
Odpowiedź: B.
9.41. Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi. Kąty wewnętrzne tego trójkąta mają tę własność, że miara kąta największego jest dwukrotnością miary kąta najmniejszego. Oblicz długości boków tego trójkąta.
Odpowiedź
9.41. a = 4, b = 5, c = 6. Wskazówka: Przyjmij oznaczenia, jak na rysunku, oraz a = n,
n,
π


b=n+
+1,
1, c = n + 2 ( n ∈ N + ) i γ = 2α , gdy a ∈  0;  .
 3
a
n+2
n+2
Z twierdzenia sinusów:
=
, więc cos α =
.
sin
sin 2α
n α sin
2n
n+2
2
2
, więc n 2 − 3n − 4 = 0 .
Z twierdzenia cosinusów n 2 = ( n + 1) + ( n + 2 ) − 2 ( n + 1) ( n + 2 ) ⋅
2n
10.71. Wymiary prostopadłościanu spełniają warunki: suma długości wszystkich krawędzi
równa jest 60 cm, pole powierzchni całkowitej jest równe 144 cm2. Podaj wymiary prostopadłościanu, który spełnia podane warunki i ma największą objętość.
Odpowiedź
10.71. 4, 4, 7. Wskazówka: Przyjmij oznaczenia: a, b, c – długości krawędzi prostopadłościanu.
6
b + c = 15 − a
4a + 4b + 4c = 60
.
Z warunków zadania 
, skąd ⊗ 
5)
2ac
2
ab
+
2
ac
+
2
bc
=
144

bc = 72 − a (15 − a ) , gdzie a ∈ ( 0; 115
V = abc , czyli V ( a ) = a3 − 15a 2 + 72a
2
i V ′ ( a ) = 3a − 3
30
0a + 7
72
2, gdzie a ∈ ( 0; 1
155 ) .
V ′ ( a ) = 0 , gdy a = 4 lub a = 6.
Pozostałe długości krawędzi oblicz z układu ⊗ , gdy a = 4.
matematyka - zbior zadan maturalnych - ksztalcenie rozszerzone.indd 4
a
V ′(a)
V (a)
( 0; 4 )
+
4
0
Vmax
112
( 4; 6 )
–
6
0
( 6; 15)
+
Vmin
108
2014-12-31 10:55:34
MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, ... – fragmenty
5
11.29. Oblicz, ile jest liczb naturalnych stucyfrowych, których suma cyfr jest równa:
a) 1,
b) 2,
c) 3,
d) 4.
Odpowiedź
Wszystkie liczby stucyfrowe możemy podzielić na
11.29. a) 1, b) 100, c) 4951, d) 171 700.
grupy w zależności od tego, jaka cyfra stoi na pierwszym miejscu i jakie inne cyfry różne od zera stoją na
pozostałych miejscach zapisu dziesiętnego tej liczby.
b)
Możliwe
Pierwsza
Ilość
następne cyfry
cyfra
liczb
różne od zera
2
–
1
Zastosowane wzory
1
–
1
99
 99 
 
1
Razem:
100
c)
Możliwe
Pierwsza
następne cyfry
cyfra
różne od zera
3
–
1
–
2
1
99
 99 
 
1
1
2
99
 99 
 
1
1
1i1
99 ⋅ 98
2
 99 
 
2
Razem:
d)
Ilość Zastosowaliczb ne wzory
5050
Pierwsza cyfra
Możliwe następne cyfry różne od zera
Ilość liczb
4
–
1
–
1
99
 99 
 
1
2
99
 99 
 
1
1i1
99 ⋅ 98
2
 99 
 
2
3
99
 99 
 
1
1i2
99 ⋅ 98
 99   98 
2
V99
albo   ⋅  
1 1
1, 1 i 1
99 ⋅ 98 ⋅ 97
6
 99 
 
3
3
2
1
Razem:
Zastosowane wzory
171 700
3
4
f ( x + 1) = 3 x + 5, oblicz m i zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesięt-
12.5. (0 – 2 pkt) Funkcja liniowa f określona jest wzorem f ( x) = 3x + m . Wiedząc, że
nego wartości m. Cyfry te wpisz w kratki
.
Odpowiedź
8
12.5. m = , 6 6 6 .
3
matematyka - zbior zadan maturalnych - ksztalcenie rozszerzone.indd 5
2014-12-31 10:55:37