Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania 1. W używanym

Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania
1. W używanym obecnie kalendarzu gregoriańskim rok jest przestępny, gdy dzieli się
przez 4, lecz nie dzieli się przez 100, chyba, że dzieli się przez 400. Niech p oznacza
rok R jest podzielny przez 4, q — rok R podzielny przez 100, r — rok R jest podzielny
przez 400. Zapisz za pomocą p, q, r zdanie:
a) Rok R jest przestępny w kalendarzu gregoriańskim.
b) Rok R jest przestępny w kalendarzu juliańskim.
2. Każda karta z jednej strony jest czerwona albo niebieska, z drugiej zaś ma narysowane
kółko albo trójkąt. Na stole widzimy cztery takie karty, widoczna strona jest w nich
kolejno czerwona, niebieska, trójkątem i kółkiem. Jacek twierdzi, że karty niebieskie
mają na odwrocie kółko. Które karty Placek musi odwrócić, aby sprawdzić, czy Jacek
mówi prawdę?
3. Zbadaj, które z poniższych formuł są tautologiami:
a) (p →∼ p) →∼ p;
c) ∼ (p ∧ q) ←→ [(∼ p) ∨ (∼ q)];
e) ∼ (p ∧ q) → [∼ p) ∧ (∼ q)];
g) [(p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)];
i) [p →∼ (q ∧ r)] → [(p →∼ q) ∧ (p →∼ r)];
k) [p −→ (q ∧ r)] −→ [(∼ q∨ ∼ r) −→∼ p];
b) p → (∼ p → q);
d) ∼ (p → q) ←→ (p ∨ q);
f) ∼ (p → q) → [(∼ p) → (∼ q)];
h) [(p ∨ q) → r] → [p → (q → r)];
j) [p →∼ (q ∨ r)] → [(∼ (p → q)∧ ∼ (p → r)];
l) [(p ∨ q) −→ r)] −→ [(∼ p −→ (q −→ r)].
4. Przyjmijmy, że gdy Jacek chrapie, to Agata śni. Które z poniższych zdań są prawdziwe
przy tym założeniu?
a) Gdy Agatka nie śni, to Jacek nie chrapie.
b) Gdy Jacek nie chrapie, to Agatka nie śni.
c) Gdy Agatka śni, to Jacek chrapie.
d) Jacek nie chrapie lub Agatka śni.
e) Nie jest możliwe, aby Jacek chrapał, a Agatka nie śniła.
5. Zapisz formułę p −→ q, korzystając wyłącznie z: a) koniunkcji i negacji: b) alternatywy
i negacji.
6. Korzystając wyłącznie z implikacji i negacji zapisz formułę: a) p ∨ q; b) p ∧ q.
7. Zapisz za pomocą alternatywy, koniunkcji i negacji spójnik „ albo” (alternatywę wykluczającą).
8. Zapisz formułę:
p1 → (p2 → (p3 → . . . → (pn → q)) . . .)
używając znak implikacji: a) tylko raz; b) ani razu.
9. Spójnik Pierce’a (operator NOR) jest zdefiniowany wzorem (p ⊥ q) ⇐⇒ ((∼ p)∧(∼ q)).
Kreska Sheffera, (operator NAND) jest zdefiniowana wzorem p|q ⇐⇒ ((∼ p) ∨ ((∼ q)).
Wyraź:
a) alternatywę, implikację oraz równoważność za pomocą negacji oraz koniunkcji;
b) koniunkcję, implikację oraz równoważność za pomocą negacji oraz alternatywy;
c) negację, koniunkcję, alternatywę, implikację oraz równowazność za pomocą spójnika
Pierce’a.
d) negację, koniunkcję, alternatywę, implikację oraz równoważność za pomocą kreski
Sheffera.
10. Przyjmijmy oznaczenia: N p — negacja p, Cpq — implikacja, Apq — alternatywa,
Kpq — koniunkcja, Epq — równoważność. System ten (tzw. notacja polska) pozwala
zapisywać formuły rachunku zdań bez użycia nawiasów.
a) Zapisz w zwykłej notacji KCpN qp.
b) Zapisz w notacji polskiej zasady sprzeczności i wyłączonego środka oraz prawa de
Morgana.
11. Zbadaj, czy poniższe schematy wnioskowania są poprawne:
(∼ p) ∨ q, p
(p ∧ q) −→ r, ∼ q
p −→ (q ∨ r), ∼ r
a)
;
b)
; c)
;
q
p −→ r
p −→ q
(p ∨ q) −→ r, ∼ q
p −→ q, p −→ (∼ q)
p ∨ q, (∼ p) ∨ q
; e)
: f)
.
d)
q
p −→ r
∼p
12. Zbadaj, czy poniższe schematy wnioskowania są poprawne:
p −→ q, (∼ r) −→ (s −→ t), r ∨ (p ∨ t), ∼ r
a)
;
q∨s
(∼ p) −→ (q −→ (∼ r)), r −→ (∼ p), (∼ s ∨ p) −→ (∼ r), ∼ s
.
b)
∼q
13. Zbadaj poprawność każdego z poniższych wnioskowań. Jeżeli jest poprawne, daj
pełne wyprowadzenie ze wskazaniem stosowanych reguł wnioskowania. Jeżeli jest
niepoprawne, wyjaśnij dlaczego.
a) Jeśli płyta jest głośna lub monotonna, to nie jest długa. Płyta jest monotonna.
Wniosek: Płyta nie jest długa.
b) Jeśli Rybin jest nudny, to trudno go znaleźć. Jeżeli Rybin nie jest mały, to nietrudno
go znaleźć. Rybin jest nudny. Wniosek: Rybin jest mały.
c) Nieprawda, ze Franek gra zarówno na gitarze jak i na flecie. Jeżeli Franek nie gra ani
na gitarze, ani na flecie, to gra na organach i na harfie. Jeżeli gra na harfie, to gra na
organach. Wniosek: Franek gra na organach.
d) Jeżeli napadniesz na bank, trafisz do więzienia. Jeśli trafisz do więzienia, nie spędzisz
czasu miło. Jeśli wyjedziesz na wakacje, to spędzisz czas miło. Napadasz na bank lub
jedziesz na wakacje. Wniosek: Trafisz do więzienia lub spędzisz miło czas.
e) Jeśli Jones nie spotkał tej nocy Smitha, to Smith jest mordercą lub Jones kłamie.
Jeżeli Smith nie jest mordercą, to Jones nie spotkał tej nocy Smitha i morderstwo
nastąpiło po północy. Jeżeli morderstwo miało miejsce po północy, to Smith jest
mordercą lub Jones kłamie. Wniosek: Smith jest mordercą.
14. Zbadaj, czy podany zestaw informacji jest niesprzeczny:
a) Jeśli wieczór nudny, to Ala płacze lub Anatol opowiada śmieszne historie. Jeżeli
wieczorem zjawia się Sylwester, to wieczór jest nudny lub Ala płacze. Jeżeli Anatol
opowiada śmieszne historie, to Ala nie płacze. Sylwester zjawia się wieczorem wtedy i
tylko wtedy, gdy Anatol nie opowiada śmiesznych historii. Jeśli Ala płacze, to Anatol
opowiada śmieszne historie.
b) Jeżeli kurs papierów wartościowych rośnie lub stopa procentowa maleje, to ceny akcji
spadają lub podatki nie rosną. Ceny akcji spadają wtedy i tylko wtedy, gdy idzie w górę
kurs papierów wartościowych i rosną podatki. Jeżeli stopa procentowa maleje, to ceny
akcji nie spadają lub kurs papierów wartościowych nie rośnie. Podatki rosną lub ceny
akcji maleją i maleje stopa procentowa.
♦ ♦ ♦
15. George Bernard Shaw twierdził, że przekłady są jak kochanki – wierne nie są piękne,
piękne nie są wierne. Które z poniższych zdań są równoważnym sformułowaniem
poglądu, że przekład nie może być zarazem wierny i piękny.
a) Jeżeli przekład jest wierny, to nie jest piękny.
b) Jeżeli przekład jest piękny, to nie jest wierny.
c) Jeżeli przekład nie jest wierny, to jest piękny.
d) Jeżeli przekład nie jest piękny, to jest wierny.
16. W czasie kampanii wyborczej panowie Alfa, Beta i Gamma złożyli następujące oświadczenia:
Alfa: Beta zawsze kłamie.
Beta: Gamma zawsze kłamie.
Gamma: Alfa zawsze kłamie.
Uzasadnij, że przynajmniej dwa z tych oświadczeń są fałszywe.
17. W czasie kampanii wyborczej panowie Alfa, Beta, Gamma i Delta złożyli następujące
oświadczenia:
Alfa: Beta zawsze kłamie.
Beta: Gamma przynajmniej czasem mówi prawdę.
Gamma: Delta przynajmniej czasem kłamie.
Delta: Alfa zawsze mówi prawdę.
Wykaż, że dokładnie dwa z tych zdań są prawdziwe.
Lista 2 - Kwantyfikatory i zasada indukcji matematycznej
1. Niech d(x, y) oznacza x jest dzieckiem y, m(x) — x jest mężczyzną. Zapisz formuły:
a) x jest bratem y;
b) x jest dziadkiem y;
c) x jest stryjkiem y;
d) x oraz y są przyrodnim rodzeństwem.
2. Przyjmijmy, że w języki arytmetyki liczb naturalnych mamy stałe 0, 1, 2, . . . oraz symbole + i ·. Zapisz w tym języku:
a) n jest liczbą parzystą;
b) m > n;
c) n jest liczbą złożoną;
d) n jest liczba pierwszą;
e) każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwu liczb pierwszych (hipoteza Goldbacha);
f) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych;
√
g) 2 jest liczbą niewymierną.
Uwaga: Zdanie g) trzeba przekształcić tak, aby była w nim mowa wyłącznie o liczbach
naturalnych.
3. Kwantyfikatory ograniczone określamy wzorami
∀x∈A P (x) ⇐⇒ (∀x(x ∈ A → P (x)),
∃x∈A P (x) ⇐⇒ (∃x(x ∈ A ∧ P (x)).
Sformułuj i udowodnij prawa de Morgana dla kwantyfikatorów ograniczonych.
4. Określmy dwa rodzaje kwantyfikatorów dla liczb naturalnych:
∀∞ n ϕ(n) ⇐⇒ (∃k∀n ≥ k(ϕ(n)) ,
∃∞ n ϕ(n) ⇐⇒ (∀k∃n ≥ k(ϕ(n)) .
a) Sformułuj i udowodnij prawa de Morgana dla tych kwantyfikatorów.
b) Wykaż, że zachodzi implikacja ∀∞ n ϕ(n) −→ ∃∞ n ϕ(n).
c) Zdefiniuj za pomocą tych kwantyfikatorów pojęcia granicy ciągu i punktu skupienia.
d) Daj krótki dowód tego, że granica ciągu jest jego punktem skupienia.
5. Wykaż, że nie zachodzi wynikanie:
a) ∀x∃yR(x, y) −→ ∃y∀xR(x, y); b) ∀x(A(x) ∨ B(x)) → (∀xA(x) ∨ ∀xB(x)).
6. Wykaż, wskazując odpowiedni kontrprzykład, że reguła wnioskowania
∃x(P (x) ∧ Q(x)), ∃xM (x)
∃x(P (x) ∧ M (x))
jest błędna. Uzupełnij komentarze przy przejściach poprawnych i wskaż błąd (błędy) w
poniższym dowodzie poprawności tej reguły:
1. ∃x(P (x) ∧ Q(x))
2. ∃xM (x).
3. P (a) ∧ Q(a)
4. P (a)
5. M (a)
6. P (a) ∧ M (a)
7. ∃(P (x) ∧ M (x).
7. Wyprowadź poniższe reguły wnioskowania:
∀x(P (x) −→ Q(x)), ∃x(P (x) ∧ M (x)
a)
;
∃x(Q(x) ∧ M (x)
b)
c)
∀x ((A(x) −→ R(x)) ∨ T (x)) , ∃x(T (x) −→ P (x)), ∀x(A(x)∧ ∼ P (x))
;
∃xR(x)
∀x(R(x) −→ C(x)), ∀x(T (x) −→ R(x))
.
∀x(∼ C(x) −→∼ T (x))
8. Wykaż, że dla n ≥ 2 zachodzi nierówność 2n ≤ n!.
9. Odgadnij wyraz ogólny ciągu zadanego rekurencją a0 = 1, an+1 = 3an − 1. Korzystając
z zasady indukcji matematycznej wykaż jego prawdziwość.
10. Załóżmy, że an+2 = an+1 + 2an . Wykaż, że jeśli a0 > 1, a1 > 2, to an > 2n .
11. Ciąg Fibonacciego określamy wzorem F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn . Wykaż, że
n≥1
Fn+1 Fn
Fn Fn−1
=
1 1
1 0
n
.
12. Wiadomo, że W (n) zachodzi dla n = 1, a ponadto dla każdego n zachodzi W (n) =⇒
W (2n) oraz W (2n) =⇒ w(2n + 1). Wykaż, że W (n) zachodzi dla każdego n ≥ 1.
13. Załóżmy, że dla n ≥ 5 zachodzi W (n) =⇒ W (n + 3). Ponadto W (2), W (7), ∼ W (11).
Wyjaśnij, dla jakich n zachodzi W (n), dla jakich ∼ W (n), a dla jakich n kwestia ta jest
nierozstrzygalna.
14. Wykaż, że dla n ≥ 6 kwadrat można podzielić na n kwadratów.
15. Z kwadratu 2n × 2n usuwamy jedno pole. Wykaż, że otrzymana figurę można pokryć
L-triminami (tzn. wielokątami utworzonymi przez trzy kwadraciki 1×1, tworzące równoramienna literę L).
♦ ♦ ♦
16.
∗
Przyjmijmy, że zakresem zmienności wszystkich zmiennych są liczby naturalne. Niech
k|l oznacza „k dzieli l”. Wykaż, że za pomocą 0, 1, + oraz | można zdefiniować predykat
z = xy.
Wsk.: Zdefiniuj najpierw predykat ∃y(x = y 2 ). Przydać ci się mogą następujące
tożsamości: (x+y)2 = x2 +xy+xy+y 2 ; NWD(x, x+1) = 1 oraz x2 +x = NWW(x, x+1),
gdzie NWD oznacza największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejszą wspólną
wielokrotność.
Lista 3 - Rachunek zbiorów. Działania nieskończone
1. Czy dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwe są następujące równości:
a) A ∩ A = A;
b) (A ∪ B) ∩ B = (A ∩ B) ∪ B;
c) A ∪ B = B ∪ A;
d) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;
e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C;
f)A ∪ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
g) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); h) (A \ B) \ C = A \ (B \ C);
i) (A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B ∪ C);
j) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C)?
Wskazuj, przy których przejściach korzystasz z definicji, a przy których z praw rachunku
zdań (jakich).
2. Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C i D prawdziwe są następujące zdania:
a) A ⊂ A;
b) A ∩ B ⊂ A;
c) (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C) −→ A ⊂ C;
d) A ⊂ A ∪ B;
e) A ⊂ A ∩ B;
f) A ∩ B ⊂ A;
g) (A ⊂ C) ∨ (B ⊂ C) −→ A ∪ B ⊂ C;
h) (A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C) −→ A ∪ B ⊂ C;
i) (A ⊂ B) ∧ (A ⊂ C) −→ A ⊂ B ∩ C;
j) (A ⊂ B) ∨ (C ⊂ D) −→ A ∪ C ⊂ B ∪ D;
k) (A ⊂ B) ∧ (C ⊂ D) −→ A ∪ C ⊂ B ∪ D; l) (A ⊂ B) ∧ (C ⊂ D) −→ A ∩ C ⊂ B ∩ D?
3. Za pomocą symbolu ∈ oraz symboli logicznych (w tym równości) zapisz:
a) A ⊂ B;
d) A ⊂ (B \ C);
b) A = B;
e) A ∪ B = A ∪ C;
c) A = B ∩ C;
f) A jest zbiorem jednoelementowym.
4. Niech A i B będą podzbiorami ustalonej przestrzeni Ω. Wykaż, że:
a) (A′ )′ = A;
b) A \ B = A ∩ B ′ ; c) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′ ;
d) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′ ; e) ∅′ = Ω, Ω′ = ∅;
f) A ⊂ B −→ B ′ ⊂ A′ .
5. Wykaż, że A ∪ B jest najmniejszym (w sensie inkluzji) zbiorem zawierającym jednocześnie A i B. Sformułuj i udowodnij analogiczny fakt dla przekroju dwóch zbiorów.
6. Wykaż, że (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C) oraz A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C) dla dowolnych
zbiorów A, B i C.
7. Wykaż, że A \ (A \ (A \ B)) = A \ B dla dowolnych zbiorów A, B.
8. Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A i B prawdziwa jest równoważność
A = B ⇐⇒ (A \ B = B \ A).
9. Wyznacz zbiory P (∅), P (P (∅)), P ({P (∅)}), P ({0, 1}), P ({0, 1, 2}).
10. Czy istnieją zbiory A, B, C takie, że A ∈ B ∈ C oraz A ⊂ B ⊂ C?
11. Czy dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwe są następujące równości:
a) (A × B) × C = (A × C) × (B × C); b) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C);
c) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C); d) (A ∩ B) × C = (A ∩ C) × (B ∩ C)?
12. Wykaż, że A × B = B × A wtedy i tylko wtedy, gdy A = B ∨ A = ∅ ∨ B = ∅.
13. Wykaż, że A ⊂ B wtedy i tylko wtedy, gdy P (A) ⊂ P (B). Czy dla dowolnych A, B
mamy P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B) i P (A) ∪ P (B) = P (A ∪ B)?
S
T∞
14. Znajdź sumę ∞
n=0 oraz iloczyn
n=0 dla poniższych rodzin zbiorów:
a) An = [n, ∞); b) Bn = (0, 1/n); c) Cn = [0, 1 − 1/n]; d) An = (−n, 1/n).
T
S
15. Znajdź sumę t∈T oraz iloczyn t∈T dla poniższych rodzin zbiorów:
a) At = (−∞, t], T = R+ ;
b) Bt = R \ {t}, T = Q;
c) Ct = [t, 1] × [0, t], T = (0, 1).
Lista 4 - Relacje i funkcje
1. Z ilu elementów składa się:
a) relacja x < y na zbiorze {1, 2, . . . , n};
b) relacja x + y = z na zbiorze {0, 1, 2, . . . , n}?
2. Ile jest relacji:
a) zwrotnych na zbiorze {1, 2, . . . , n};
b) symetrycznych na zbiorze {1, 2, . . . , n};
c) słabo antysymetrycznych na zbiorze {1, 2, . . . , n}?
3. Podaj przykład relacji, która jest symetryczna, ale nie jest zwrotna ani przechodnia.
4. Wykaż, że relacja R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R ◦ R ⊂ R.
5. Wykaż, że relacja R jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R−1 = R.
6. Niech f będzie funkcją różnowartościową. Wykaż, że wtedy dla dowolnych zbiorów A i
B mamy f [A \ B] = f [A] \ f [B]. Sformułuj i udowodnij twierdzenie odwrotne.
7. Niech f będzie funkcją. Wykaż, że
(∀A, B)(f [A ∩ B] = f [A] ∩ f [B]) ⇐⇒ f jest injekcją.
8. Niech R = {(x, y) ∈ R2 : |x| = |y|} oraz Q = {(x, y) ∈ R2 : y = sin (x)}. Narysuj
wykres relacji R ◦ Q oraz Q ◦ R.
9. Niech f : R2 → R2 będzie funkcją zadaną wzorem f ((x, y)) = (x + y, x − y).
a) Czy odwzorowanie f jest injekcją?
b) Czy f jest surjekcją?
c) Znajdź f [R × {0}], f [L] oraz f −1 [L], gdzie L jest prostą zadaną równaniem y = x + 1.
10. Inwolucją nazywamy taką funkcję f , że f ◦ f jest identycznością. Wykaż, że każda
inwolucja jest bijekcją.
11. Inwersją względem okręgu x2 + y 2 = 1 o środku O = (0, 0) nazywamy przekształcenie,
które punktowi P 6= O przyporządkowuje punkt P ′ leżący na półprostej OP , taki że
OP · OP ′ = 1.
a) Uzasadnij, że inwersja jest inwolucją na R2 \ {O}.
b)* Znajdź obraz i przeciwobraz prostej x = 1/2 przez inwersję.
Lista 5 - Relacje równoważności i podziały
1. Wykaż, że następujące relacje ≈ są relacjami równoważności na zbiorze X i wyznacz ich
klasy abstrakcji oraz przestrzenie ilorazowe X/ ≈:
a) X = N2 ; (x, y) ≈ (a, b) ←→ x + y = a + b,
b) X = N2 ; (x, y) ≈ (a, b) ←→ max{x, y} = max{a, b},
c) X = R; x ≈ y ←→ (∃t 6= 0)(tx = y),
d) X = R; x ≈ y ←→ (∃t > 0)(tx = y),
e) X = R2 ; x ≈ y ←→ (∃t 6= 0)(tx = y),
f) X = R2 ; x ≈ y ←→ (∃t > 0)(tx = y).
2. Dla (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ [0, 1]2 określamy relację
(x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) ←→ u(x1 ) = u(y1 ) ∧ u(x2 ) = u(y2 ),
gdzie u(x) = x − ⌊x⌋. Wykaż, że ∼ jest relacją równoważności. Wyznacz jej klasy
abstrakcji.
3. Ile jest relacji równoważności na zbiorze {1, 2, 3}?
{1, 2, 3, 4}?
Ile jest różnych rozbić zbioru
4. Na zbiorze liczb całkowitych Z określamy relacje x ≡ y ←→ 3|(x + 2y) oraz x ≃ y ←→
5|x2 − y 2 . Czy są to relacje równoważności?
5. Opisz klasy abstracji relacji ≈ na zbiorze liczb rzeczywistych R zadanej formułą
x ≈ y ←→ (x − y ∈ Z).
6. Na zbiorze N × N określamy relacją równoważności ≈ formułą
(x, y) ≈ (x′ , y ′ ) ←→ max{x, y} = max{x′ , y ′ } .
Ile elementów ma klasa abstrakcji [(0, 20)]≈ ?
7. Wykaż, że jeśli ̺ i η są relacjami równoważności na zbiorze Ω, to również ̺ ∩ η jest
relacją równoważności na zbiorze Ω.
Lista 5 - cd. - Relacje porządku
8. Wykaż, że (N \ {0}, |) jest częściowym porządkiem. Znajdź w nim element najmniejszy.
Znajdź elementy minimalne w częściowym porządku (N \ {0, 1}, |).
9. Niech (X, R) będzie częściowym porządkiem. Wykaż, że relacja R−1 jest również częściowym porządkiem na zbiorze X. Jakie są związki pomiędzy elementami maksymalnymi, minimalnymi, największymi i najmniejszymi w tych dwóch częściowych porządkach?
10. Na zbiorze R2 rozważamy relację zadaną formułą
((x, y) (x′ y ′ )) ←→ (x ≤ x′ ) ∧ (y ≤ y ′ ) .
Wykaż, że relacja ta jest częściowym porządkiem. Niech K = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 ≤ 1}.
Wyznacz elementy minimalne zbioru K. Dla ustalonego punktu (a, b) ∈ R2 wyznacz
zbiory {(x, y) ∈ R2 : (a, b) ≤ (x, y)}, {(x, y) ∈ R2 : (x, y) ≤ (a, b)} oraz {(x, y) ∈ R2 :
¬((a, b) ≤ (x, y)) ∧ ¬((x, y) ≤ (a, b))}.
11. Rozważamy częściowy porządek ({2, . . . , 30}, |), gdzie | oznacza relację podzielności. Ile
jest elementów minimalnych oraz ile jest elementów maksymalnych w tym częściowym
porządku?
12. Czy poniższe zbiory uporządkowane przez relację podzielności są izomorficzne: a)
D(100) i D(36); b) D(24) i D(30).
13. Narysuj diagram Hassego minimalnego porządku, przy którym 1 2, 2 3, 5 4,
4 2, 6 7, 7 3, 7 8, 8 9, 3 0, 9 0.
a) Wskaż elementy minimalne, najmniejsze, maksymalne i największe;
b) Jakiej liczebności łańcuchy (antyłańcuchy) występują w tym porządku?
c) Rozważmy rodzinę niepustych łańcuchów w tym porządku. Ile ma elementów minimalnych, a ile maksymalnych?
d) Analogicznie dla rodziny niepustych antyłańcuchów.
14.
∗
15.
∗
Niech (xn , yn )n∈N będzie dowolnym ciągiem liczb naturalnych. Wykaż, że istnieją
liczby n, m ∈ N takie, że n < m oraz xn ≤ xm i yn ≤ ym .
Wykaż twierdzenie Spernera: Każdy antyłańcuch w rodzinie podzbiorów zbioru nelementowego ma co najwyżej ⌊n/2⌋ elementów.
Lista 5.5 - Algebry Boole’a (tylko MS)
1. Wykaż, że w dowolnej algebrze Boole’a a ∧ b oraz a ∨ b są odpowiednio kresem dolnym
i górnym elementów a, b ze względu na naturalny porządek zdefiniowany warunkiem
a b ←→ (a ∧ b = a).
2. Uprość wyrażenia algebry boole’wskie:
a) xyz + xy ′ z + xz ′ ;
d) (x + y ′ )(x′ + y) + y ′ ;
b) (xyz)′ + (xy)′ + x;
e) (x + y)(x′ + z)(y + z)′ ;
c) xy ′ z + xz + y ′ z + yz ′ + z ′ ;
f) (xy + yz + xz)x′ + xy ′ + xz ′ .
3. Zapisz wielomian boole’owski odpowiadający funkcji f (x, y, z) określonej poniższą
tabelką i zbuduj sieć logiczną obliczająca tę funkcję:
a)
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
f (x, y, z)
0
0
1
0
1
1
1
1
b)
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
f (x, y, z)
0
0
0
1
1
1
0
1
Lista 6 - Równoliczność i liczby kardynalne
1. Znajdź bijekcję pomiędzy następującymi parami zbiorów:
a) (0, 1) i (2, 5); b) (a, b) i (c, d); c) (0, ∞) i R; d) (−π/2, π/2) i R;
e) (0, 2) i R; f) (1, ∞ i R; g) (1, ∞) i (2, −∞); h) [0, 1] i [0, 1).
2. Punktem kratowym płaszczyzny nazywamy punkt o obu współrzędnych całkowitych.
Pokaż, jak ustawić w ciąg wszystkie punkty kratowe płaszczyzny.
3. Uzasadnij, że zbiór punktów płaszczyzny o obu współrzędnych wymiernych jest zbiorem
przeliczalnym.
4. Czy jest zbiorem przeliczalnym zbiór:
a) funkcji liniowych o współczynnikach całkowitych;
b) funkcji stałych;
c) funkcji f : N → {0, 1} stałych od pewnego miejsca?
5. Czy jest zbiorem przeliczalnym zbiór okręgów o środku w punkcie kratowym:
a) i promieniu całkowitym;
b) zawierających pewien punkt kratowy?
6. Jaka jest moc zbioru {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q ∨ y ∈ Q}?
7. Wykaż, że dowolna rodzina parami rozłącznych otwartych przedziałów liczb rzeczywistych jest przeliczalna.
8. Wykaż, że dowolna rodzina parami rozłącznych niepustych kół na płaszczyźnie
jest przeliczalna. Czy dowolna rodzina parami rozłącznych niepustych okręgów na
płaszczyźnie jest przeliczalna?
9. Znajdź moc zbioru:
a) funkcji f : R → N;
b) funkcji f : R → R;
c) funkcji f : N → R;
d) relacji trójargumentowych na R.
Wynik podaj w formie ℵ0 , c lub 2 do odpowiedniej potęgi.
10. Jaka jest moc zbioru wszystkich ciągów zbieżnych do zera o wyrazach:
a) rzeczywistych; b) całkowitych?
11. Wykaż, że zbiór wszystkich permutacji zbioru N (czyli bijekcji f : N → N) jest mocy
continuum.
12. Znajdź moc zbioru wszystkich permutacji zbioru R.
13. Jaka może być moc zbioru A \ B jeśli A i B, jeżeli są one zbiorami mocy: a) ℵ0 ; b) c?
14. Ile można narysować na płaszczyźnie parami rozłącznych liter: a) L; b) T?
15. Niech A będzie zbiorem powstałym z płaszczyzny przez usunięcie przeliczalnie wielu
punktów. Wykaż, że każde dwa punkty tego zbioru można połączyć: a) łamaną w nim
zawartą; b) łukiem okręgu w nim zawartym.
Lista 6 i pół (tylko MC) - Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne -cd.
1. Rozważmy zbiór okręgów na płaszczyźnie zawierających przynajmniej k punktów kratowych. Dla jakich k zbiór ten jest przeliczalny?
2. Jaka jest moc zbioru:
a) {X ⊂ N : |X| < ℵ0 };
b) {X ⊂ N : |X| = ℵ0 };
c) {X ⊂ R : |X| < ℵ0 };
d) {X ⊂ R : |X| = ℵ0 }?
3. Znajdź moc zbioru wszystkich funkcji z liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiste
nieciągłych choćby w jednym punkcie.
4. Niech f : R → R będzie funkcją monotoniczną. Wykaż, że zbiór punktów nieciągłości
funkcji f jest przeliczalny.
5. Niech {fn : n ∈ N} będzie dowolną rodziną funkcji ze zbioru NN . Znajdź taką funkcję
g ∈ NN , że (∀n)(∀∞ k)(fn (k) < g(k)).