Analiza I i II

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję f, która odwzorowuje zbiór N na pewien niepusty zbiór Y.
Ciąg zbieżny jest ograniczony. Ciąg zbieżny jest to taki ciąg, który posiada granicę skończoną. Ciąg rozbieżny nie posiada granicy lub granica istnieje, ale jest
niewłaściwa (±∞). Jeżeli ciąg jest ograniczony to istnieje taka liczba, że wszystkie wyrazy są większe od niej i druga liczba, że wszystkie są mniejsze.
Tw o 3 ciągach. Jeżeli lim (n→∞) an = lim (n→∞) cn = g , a ponadto istnieje taka liczba n0, że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność an≤bn≤cn to lim (n→∞)bn=g.
O zachowaniu nierówności stałej.Jeżeli lim (n→∞) an=a i lim (n→∞) bn=b oraz istnieje taka liczba n0 , że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność an≤bn , to a≤b.
Ciąg monotoniczny jest zbieżny.
Tw (o działaniach arytmetycz na granicach ciągów zbieżnych): jeżeli lim(n→∞) an=a ; lim(n→∞) bn=b, to:
a) lim(n→∞) (an + bn) = a + b
b) lim(n→∞) (an - bn) = a - b
c) lim(n→∞) (an * bn) = a * b
d) lim(n→∞) an / bn = a / b
PRZESTRZEŃ METRYCZNA
Przestrzenią metryczną Xd nazywamy każdy zbiór X, któremu przyporządkowano funkcję d:X×X→R+∪{0} spełniają następujące warunki:
10 dla każdego x, y∈X d(<x; y>)=0 ⇔ x = y (tożsamości)
20 dla każdego x , y∈X d(<x ; y>)=d(<y ; x>)
(symetrii)
30 dla każdego x, y∈X d(<x ; y>)≤d(<x; z>)+d(<z ; y>) (nierówność trójkąta)
GRANICE
Def: Zbiór Q ( x0 ; r ) = {x∈X : abs(x0 - x) < r } nazywamy otoczeniem punktu x0 liczbę r natomiast promieniem otoczenia. W przestrzeni jednowymiarowej otoczeniem
punktu jest przedział o długości 2r.
Def: Zbiór S (x0 ; r ) = Q (x0 ; r ) - {xo} nazywamy sąsiedzTwem punktu. W przestrzeni jednowymiarowej sąsiedzTwo jest to przedział S (x0 ; r ) = (x0 - r ; x0) ∪ (x0 ; x
+ r ).
Def: Punkt x0∈X nazywamy punktem skupienia zbioru A⊂X wtedy i tylko wtedy, gdy dla do każdego otoczenia Q (x0 ; r) należy co najmniej jeden różny od x0 punkt
x∈A.
Tw. Punkt x0 przestrzeni metrycznej Xd jest punktem skupienia zbioru A⊂Xd wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (Xn) o wyrazach należących do zbioru A-{x0}i taki,
że lim(n→∞) xn=x0.
Def (Heinego): Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 granicę g ( co zapisujemy lim(x→x0)f(x)=g) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze
zbioru Df - {x0} i zbieżnego do punktu x0 ciąg (f (xn)) jest zbieżny do punktu g.
Def (Cauchy’ego): Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 granicę g wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε>0 istnieje takie r>0, że dla każdego x∈Df 0<abs(x - x0)<r
⇒ abs(f(x) - g)< ε.
Def: Punkt x0 przestrzeni X nazywamy punktem izolowanym zbioru A⊂X wtedy i tylko wtedy, gdy x0∈A oraz gdy x0 nie jest punktem skupienia zbior A.
LICZBY ZESPOLONE
Niech a,b,c,d,... będą elementami ciała R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej; będzie nim uporządkowana para liczb
rzeczywistych spełniająca pewne definicje i nazywana liczbą zespoloną.
Def. Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób
następujący:
(a,b) = (c,d) Ù a = c ∧ b = d
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Tw. Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem dodawania i mnożenia.
Def. Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania l. Zespolonych nazywamy różnicą l. Zespolonych.
Def. Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia. Wynik dzielenia nazywamy ilorazem. Liczba (x,y) jest więc ilorazem liczby zespolonej
(a,b) i liczby zespolonej (c,d), co oznaczamy (a,b): (c,d), gdy (x,y)(c,d) = (a,b). Z def. Mno¿enia i równoœci l. Zespolonych wynika, ¿e wtedy cx-dy=a i dx-cy=b.
Def. Modułem liczby z = a +jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbą nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części
urojonej tej liczby: |z| = √a2+b2 .
Tw. Liczba zespolona jest wtedy i tylko wtedy zerem, gdy jej moduł jest równy zeru: (z=0) Ù (|Z| = 0).
Def. Liczbą sprzeżoną z liczbą z = a+jb, którą będziemy oznaczać przez (z-), nazywamy liczbami sprzężonymi.
Def. Potęgą stopnia naturalnego n liczby z, oznaczaną przez zn, nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie.
Trygonometryczna interpretacja l. zespolonych i jej pierwiastkowanie
Def. Argumentem liczby z =x+jy ≠0, oznaczanym przez Argz, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą Φ, spełniającą dwa warunki: cosΦ=x/|z|, sinΦ=y/|z|, gdzie
|z|=√x2+y2>0 jest modułem liczby z.
Def. Liczbę Z nazywamy pierwiastkiem naturalnego stopnia n z liczby z0, jeżeli: Zn=z0. Pierwistek ten oznaczamy przez n√z0; w przypadku n = 2 piszemy √z0.
Nazywamy go także pierwiastkiem algebraicznym.
Jeżeli z0=0, t n √0 = 0, Jeżeli z0=r0(cosΦ0+jsinΦ0) ≠ 0, przy czym Φ0=argz0, to liczba Z = R(cosΦ +j sinΦ) jest pierwiastkiem stopnia n z z0 wtedy i tylko
wtedy, gdy Rn=r0 oraz nΦ = Φ0+2kπ, gdzie k jest l. całkowitą. Stąd R = n√r0 oraz Φk=Φ0/n + 2πk/n, k=0,1,2..., przy czym przez n√r0 oznaczyliśmy pierwiastek
arytmetyczny z liczby r0.
Def (Wzór Eulera). Potęgę ex o podstawie w i wykładniku z = x +jy, należącym do ciała liczb zespolonych , określamy w sposób następujący: ejy :=cosy+jsiny,
ex:=exejy
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Niech f oznacza funkcję liczbową i niech x0∈Df
Def (Heinego ciągłości funkcji): Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df i zbieżnego do
punktu x0 ciąg (f(xn)) jest zbieżny do punktu f(x0).
Def (Cauchy’ego): Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε>0 istnieje takie r>0, że dla każdego x∈Df abs(x - x0)<r ⇒
abs( f(xn)-f(x0))< ε.
Tw. Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 będącym punktem skupienia dziedziny Df wtedy i tylko wtedy, gdy lim(x→x0) f(x) = f(x0).
Def: Mówimy, że funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH
Tw. 1 (O ciągłości funkcji odwrotnej): Jeśli funkcja f jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale A⊂R, to f(A) jest przedziałem oraz funkcja f-1 jest ciągła i rosnąca
(malejąca) na przedziale f(A).
Tw. 2 (O ciągłości funkcji złożonej): Jeżeli funkcja wewnętrzna f jest ciągła w punkcie x0 i funkcja zewnętrzna h jest ciągła w punkcie u0 = f(x0) to funkcja złożona
h(f(x)) jest ciągła w punkcie x0.
Tw. 3 (O wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej): Jeżeli istnieje granica właściwa lim(x→x0) f(x) = g i funkcja h jest ciągła w punkcie u0 = g to
lim(x→x0) h[f(x)] = h[lim(x→x0) f(x)] = h(g).
Tw. 4 (O lokalnym zachowaniu znaku): Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz f(x0)>0 albo f(x0)<0 to istnieje takie otoczenie Q punktu x0, że dla każdego
x∈Q∩Df spełniona jest nierówność: f(x)>0 albo f(x)<0.
Tw. 5 (Weierstrassa): Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a ; b> to
1o f jest ograniczona na przedziale <a ; b>,
2o istnieją takie liczby c1 i c2 , że: f(c1)=Inf (x∈<a ; b>) f(x) oraz f(c2) =Sup(x∈<a ; b>) f(x).
Tw. 6 (Darboux): Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a ; b> f(a)≠ f(b) oraz liczba g jest zawarta między f(a) i f(b) to istnieje taki punkt c∈ (a ; b), że
f(c ) = g .
POCHODNA FUNKCJI
Def: Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu ∆x zmiennej niezależnej jest to stosunek [f(x0 + ∆x) - f(x0)]/∆ x.
Def: Granicą właściwą ilorazu różnicowego gdy ∆x→0 nazywamy pochodną funkcji i oznaczamy symbolem f ‘ (x0), f ‘(x0) = lim(∆x→0) [f(x0 + ∆x) - f(x0)]/ ∆ x.
Def: Granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 nazywamy f ‘(x0-) = lim(∆x→0-) [f(x0+∆x)-f(x0)]/∆ x.
Def: Granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 nazywamy f’(x0+) = lim(∆x→0+) [f(x0 +∆ x) - f(x0)]/ ∆ x.
Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej): Jeśli funkcja x=g(y) jest ściśle monotoniczna i posiada funkcję pochodną g’(y) ≠ 0 to funkcja y = f(x) odwrotna do niej
posiada funkcję pochodną, przy czym f ‘(x)= 1/ g’(y) ; gdzie y= f(x) dla każdego x∈Df.
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej): Jeżeli funkcja h ma pochodną w punkcie x, a funkcja f ma pochodną w punkcie u= h(x) to funkcja złożona f(h(x)) ma w punkcie
x pochodną [f(h(x)]’= f ’[h(x)]*h’(x).
Def: Pochodną logarytmiczną funkcji f nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego [ln f(x)]’= f ‘(x)/f(x).
Tw. (O pochodnej funkcji określonej parametrycznie): Jeżeli funkcja y=g(x) jest określona parametrycznie: x=f(t); y=h(t),dla t∈(a,b). przy czym istnieją pochodne
dy/dt i dx/dt≠0 to istnieją takie pochodne dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt).
Def: Ró¿niczk¹ funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu ∆x zmiennej niezale¿nej x nazywamy iloczyn f ‘(x0)*(∆x). Ró¿niczkê oznaczmy symbolem df(x0) lub krótko df
lub dy.
Definicja przyrostu funkcji:
f (x0+∆x) - f (x0) ≈ f ‘(x0)*∆x
Def: Pochodn¹ n-tego rzêdu funkcji f w punkcie x okreœlamy nastêpuj¹co:
f ( n) (x)= [f ( n-1)](x) ; n=1,2,...przy czym
[f ( 0) ]’(x)=f ‘(x).
Def: Je¿eli funkcja f ma pochodn¹ rzêdu (n - 1) na otoczeniu punktu x0 oraz pochodn¹ rzêdu n w tym samym punkcie x0, to dnf(x0) = (d[d n. -1f(x)])x = x0 n.= 2,3... przy
czym w ka¿dym ró¿niczkowaniu ten sam przyrost dx. St¹d pomijaj¹c proste rozumowanie indukcyjne mamy dnf(x0) = f ( n) (x0)dx n. Symbol dx n oznacza tu (dx) n.
Tw. (Rolle’a): Je¿eli funkcja f jest ci¹g³a na przedziale <a;b> i ró¿niczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c∈(a;b), ¿e f ‘(c)=0.
Tw. (O przyrostach, Lagrange’a): Je¿eli funkcja f jest ci¹g³a na przedziale domkniêtym o koñcach x0 i x oraz ma pierwsz¹ pochodn¹ wewn¹trz tego przedzia³u, to
istnieje taki punkt, le¿¹cy miêdzy x0 i x, ¿e f (x) - f (x0)=f ‘(c) (x -x0). Wnioski:
1) je¿eli dla ka¿dego x∈<a;b> f ‘(x)=0 to dla ka¿dego x∈<a;b> f(x) - f(x0)=0(x - x0)⇒ f(x)=f(x0). Je¿eli f‘(x0)=0 w ka¿dym punkcie przedzia³u (a;b), to funkcja f jest na
tym przedziale sta³a.
2) je¿eli dla ka¿dego x∈ (a;b) f ‘(x)>0 to:
a) x<x0 f(x) - f(x0)=f ‘(x)(x - x0)<0;
f(x) - f(x0)<0⇒f(x)<f(x0)
b) x0<x f(x) - f(x0)=f(x0)(x - x0)>0 ⇒ f(x)>f(x0). Jeżeli f ‘(x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to funkcja f jest na tym przedziale rosnąca
3) Jeżeli f ‘(x)<0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to funkcja f jest na tym przedziale malejąca.
Tw. (Taylora): Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 włącznie na przedziale domkniętym o końcach x0 i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego
przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między x0 i x, że f(x) - f(x0) = K=1Σn-1 [(f K(x0))/k!]*(x -x0)K+[(f( n)(c))/n!]*(x- x0)n przy założeniu, że dla n=1 pierwszy
składnik po prawej stronie wzoru jest równy zeru.
WZÓR MACLAURINA: We wzorze Taylora kładąc x0=0 otrzymamy K=0Σn-1[(f (K) (0)) /k!]*xK +R n , gdzie Rn=[f (n) C/n!]* x n. Punkt c jest położony między 0 i x.
EKSTREMUM FUNKCJI
Niech Df zawiera pewne otoczenie Q punktu x0 .
Def: Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum [minimum] lokalne, jeżeli istnieje taka liczba dodatnia r, że dla każdego x∈S(x0;r) spełniona jest
odpowiednia nierówność: f(x)≤f(x0) [f(x)≥f(x0)]. Jeżeli zamiast powyższych nierówności słabych spełnione są odpowiednio nierówności mocne f(x)<f(x0) albo
f(x)>f(x0) to maksimum (minimum) lokalne nazywamy właściwym.
Tw. (Fermata): Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwszą pochodną to f ‘(x0)=0.
Warunek konieczny istnienia ekstremum: Funkcja f może mieć ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie istnieje bądź jest równa 0.
Pierwszy warunek wystarczający ekstremum: Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 , a ponadto posiada pochodną f‘ na pewnym sąsiedzTwie S(x0;r) przy czym
f‘(x)<0 dla S(x0-;r) i f‘(x)>0 dla S(x0+ ;r) to funkcja f ma w punkcie x0 minimum właściwe, jeżeli natomiast spełniony jest warunek f ‘(x)>0 dla S(x0- ;r) i f ‘(x)<0 dla
S(x0+ ;r) to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe.
Drugi warunek wystarczający ekstremum: Jeżeli funkcja f ma na pewnym otoczeniu Q(x0;r) pochodną do rzędu n włącznie, pochodna f( n) jest ciągła w punkcie x0, n
jest liczbą parzystą, a ponadto f ( k) (x0)=0 dla k=1,2,...,(n -1) oraz f( n) (x0)≠ 0 to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum, gdy f( n) (x0)<0, natomiast minimum właściwe,
gdy f( n) (x0)>0.
WYPUKŁOŚĆ I WKLĘSŁOŚĆ WYKRESU FUNKCJI, PUNKTY PRZEGIĘCIA
Def: Mówimy, że krzywa y=f(x) jest wypukła (wklęsła) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r1>0, że część wykresu odpowiadająca x∈S(x0 ; r1)
znajduje się nad (pod) styczną do tej krzywej w punkcie (x0 ; f(x0)).
Tw. Jeżeli funkcja f ma pierwszą pochodną na otoczeniu Q(x0;r) oraz istnieje f‘’(x0)≠0 to krzywa y= f(x) jest wypukła w punkcie x0 gdy f ‘’(x0)>0, natomiast jest
wklęsła w punkcie x0 gdy f ‘’(x0)<0.
Def: Mówimy, że krzywa y=f(x) jest wypukła (wklęsła) na przedziale oTwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego
przedziału. Wniosek: Jeżeli f ’’(x)>0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wypukła na (a;b), jeśli natomiast f ‘’(x)<0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest
wklęsła na (a;b).
Def: Punkt P0(x0;f(x0)) nazywamy punktem przegięcia krzywej y= f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy:
1) istnieje styczna do krzywej y= f(x) w punkcie P0.
2) krzywa y= f(x) jest wypukła na pewnym lewostronnym sąsiedzTwie punktu x0 i jest wklęsła na pewnym prawostronnym sąsiedzTwie tego punktu albo na odwrót .
Tw. Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu Q(x0;r) i spełnia dwa warunki :
1) druga pochodna w punkcie x0 jest równa zeru : f ‘’(x0)=0,
2) druga pochodna zmienia znak w punkcie x0 .
to punkt P0 (x0;f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f .
REGUŁY DE L’HOSPITALA
Tw. Jeżeli funkcje f i g różniczkowalne na sąsiedzTwie punktu x0 spełniają dwa następujące warunki: 1) obie dążą do zera przy x→x0 tzn. lim(x→x0) f(x)=0 i
lim(x→x0) g(x)=0 2) istnieje granica g (właściwa lub niewłaściwa) ilorazu pierwszych pochodnych przy x→x0 czyli lim(x→x0)(f’(x)/g’(x))=g to istnieje granica ilorazu
tych funkcji i równa się g czyli:
lim(x→x0) f (x) / g (x)=g.
Tw. Jeżeli funkcje f i g różniczkowalne na sąsiedzTwie punktu x0 spełniają dwa następujące warunki: 1) lim(x→x0)f(x)=±∞ ,lim(x→x0)f(x)=± ∞ 2) istnieje granica
(właściwa lub niewłaściwa) lim(x→x0) f ’(x) / g ’(x) =g to istnieje granica lim(x→x0)f(x) / g(x)=g.
ASYMPTOTY
Mówimy, że prosta o równaniu x=x0 jest asymptotą pionową krzywej o równaniu y=f(x) jeżeli choć jedna granica jednostronna funkcji f w punkcie x0 jest
niewłaściwa czyli gdy lim(x→x0-) f(x)=± ∞ lub lim(x→x0+) f(x)=±∞.
Mówimy, że prosta o równaniu y=mx+n jest asymptotą ukośną krzywej o równaniu y= f(x) gdy współczynniki m i n są tak dobrane, że lim(x→∞)[f(x)-(mx+n)] =0
lub lim(x→-∞)[f (x) - (mx+n)]=0 .
Tw. Jeżeli istnieją jednocześnie granice skończone lim (x→-∞) f (x) / x = m ∩ lim(x→-∞)[f(x)-mx]=n lub lim(x→∞)f(x)/ x=m ∩ lim(x→∞)[f (x)-mx]=n, to prosta o
równaniu y= mx+n jest asymptotą linii o równaniu y= f(x).
SCHEMAT BADANIA FUNKCJI
1) Analiza funkcji a) określenie dziedziny funkcji oraz sprawdzenie czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa b) znalezienie granic na końcach dziedziny i
wyznaczenie asymptot. 2) Analiza pierwszej pochodnej a) określenie dziedziny pierwszej pochodnej i punktów stacjonarnych [ f ‘(x)=0] b) wyznaczenie
przedziałów monotoniczności funkcji oraz ekstremów 3) Analiza drugiej pochodnej a) znalezienie dziedziny drugiej pochodnej i jej miejsc zerowych b) określenie
przedziałów, w których funkcja jest wklęsła lub wypukła oraz punktów przegięcia wykresu funkcji 4) Sporządzenie tabeli zmienności funkcji 5) Wykonanie
wykresu funkcji.
RACHUNEK CAŁKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Def: Funkcją pierwotną danej funkcji na przedziale X nazywamy każdą różniczkowalną funkcję F, której pochodna F’ jest równa funkcji f na tym przedziale, tj. dla
każdego x∈X F’(x)=f (x).
Funkcję F mającą w pewnym przedziale funkcję pierwotną nazywamy całkowalną w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie funkcji pierwotnych danej
funkcji f nazywamy całkowaniem funkcji f. Całkowanie to znajdowanie f.pierwotnej.
PYTANIA:
1) Kiedy zagadnienie ma rozwiązanie 2) Ile ma rozwiązań 3) Jak je wyznaczyć
Tw. 1.1. (Warunek wystarczający całkowalności funkcji): Każda funkcja ciągła na przedziale X ma na tym przedziale funkcję pierwotną.
Tw. 1.2. (O istnieniu nieskończenie wielu funkcji pierwotnych danej funkcji): Jeśli F jest dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X to
wszystkie funkcje postaci F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną są również funkcjami pierwotnymi funkcji f na tym przedziale.
Tw. 1.3. (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji): Jeśli F jest dowolną, ustaloną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X to każda
inna funkcja pierwotna G funkcji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiednią do funkcji F i G dobraną stałą.
Def: Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na przedziale X i tylko takich funkcji nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale X i oznaczamy
symbolem ∫f (x) dx.
Z definicji całki nieoznaczonej i Twierdzeń o funkcjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wzór ∫f(x)dx= F(x)+C, w którym F dowolną ustaloną funkcją
pierwotną funkcji f na przedziale X, C jest stałą dowolną, zwaną tu stałą całkowania.
METODY CAŁKOWANIA
Tw 2.1 (O pochodnej całki): Pochodna całki nieoznaczonej jest równa funkcji podcałkowej:
[∫f(x)dx]’=f(x); ∫f(x)dx=F(x)+C, F’(x)=f(x); [∫f(x)dx]’=(F(x)+C)’=F’(x)+f(x).
Tw 2.2 (Całka pochodnej): Całka nieoznaczona pochodnej funkcji jest sumą tej funcji i stałej dowolnej ćf’(x)dx=f(x)+C
Tw 2.3 (O całce sumy): Jeżeli funcje f i g są całkowalne na pewnym wspólnym przedziale, to ich suma jest również całkowalna na tym przedziale i przy tym
∫[f(x)+g(x)]dx= ∫f(x)dx+ ∫g(x)dx.
Tw 2.4 (O wyłączeniu czynnika stałego): Jeżeli f jest funkcją całkowalną na pewnym przedziale, k jest stałą, to funkcja k * f jest również całkowalną na tym
przedziale, przy tym, gdy k≠0, spełniona jest równość ∫k * f(x)dx= k * ∫f(x)dx.
METODY CAŁKOWANIA
1) Metoda tożsamościowego przekształcenia funkcji podcałkowej 2) Metoda zmiany zmiennej 3) Metoda całkowania przez części 4) Metoda rekurencyjna
DW 2.5 Jeżeli spełnione są następujące warunki 1) funkcja f jest ciągła na przedziale a<x<b 2) funkcja g ma ciągłą pochodną na przedziale α<t<β 3) wartości funkcji
g(t) leżą w przedziale (a;b) , to słuszny jest wzór ∫f(g(t)) g’(t)dt= ∫f(x)dx dla g(t)=x.
Tw 2.6 Jeżeli spełnione są następujące warunki 1) funkcja jest ciągła na przedziale a<x<b 2) funkcja g ma ciągłą pochodną na przedziale α<t<β oraz różniczkowalną
funkcję odwrotną t=Ψ (x) 3) wartości funkcji g(t) leżą w przedziale (a;b) to słuszny jest wzór ∫f(x)dx= ∫f(g(x)) g’(t)dt dla t=Ψ (x).
AD 3: Tw 2.7 (O całkowaniu przez części): Jeżeli funkcje u i v są klasy C1 na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór ∫u(x)*v’(x)dx =
u(x)*v(x) -∫u’(x)*v(x)dx , który nazywamy wzorem na całkowanie przez części.
AD 4: Wzór rekurencyjny
In=∫xn ex dx = xnex - nI n - 1 .
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy iloraz wielomianów tej zmiennej. Funkcja wymierna, której stopień wielomianu licznika jest mniejszy od stopnia
wielomianu mianownika nazywa się funkcją wymierną właściwą.
Ułamki proste, są to funkcje wymierne właściwe postaci: 1. A/(ax+b) 2. A/(ax+b) n 3. (Bx+c) / (ax 2+bx+c) 4. (Bx+c) / (ax 2+bx+c) n gdzie a≠0, ∆= b2 - 4ac,
n=2,3,4... ,a,b,c,A,B,C są liczbami rzeczywistymi.
CAŁKOWANIE NIEKTÓRYCH FUNKCJI WYMIERNYCH
Funkcja P.(u1, u2, ..., u n ) zmiennych u1, u2 ... nazywa się funkcją wymierną tych zmiennych, jeżeli we wzorze określającym tę funkcję na zmiennych u1, u2 ... wykonane
są skończoną liczbę razy tylko działania wymierne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie o wykładniku naturalnym). Jeśli z kolei zmienne u1, u2
... są funkcjami jednej zmiennej x : u1=g1(x), u2=g2(x) ... to funkcję zmiennej x postaci P.(g1(x), g2 (x) ...) będziemy nazywać wymierną względem funkcji g1(x), g2 (x) ...
g m.(x).
CAŁKI OZNACZONE
Suma całkowa Riemanna funkcji f na przedziale <a;b> δn = i=1ΣK f (xi)*∆ xi
Def: Jeżeli wszystkie ciągi (δn) sum całkowych funkcji f na przedziale <a;b> odpowiadające wszystkim możliwym ciągom normalnym podziałów tego przedziału i
wszystkim możliwym sposobom wyboru punktów pośrednich x i ( n) w przedziałach częściowych tych podziałów, są zbieżne i to do tej samej granicy właściwej, to tę
granicę nazywamy CAŁKĄ OZNACZONĄ w sensie Riemanna funkcji f w granicach od a do b i oznaczamy symbolem a∫bf(x)dx. Funkcję f, dla której istnieje całka
oznaczona nazywamy całkowalną (w sensie Riemanna) na przedziale <a;b>.
Tw 6.1 (O ograniczoności funkcji podcałkowej): Funkcja podcałkowa na przedziale domkniętym jest ograniczona na tym przedziale.
Tw 6.2 (O całkowaniu funkcji ciągłej): Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.
Tw 6.3 Funkcja ograniczona na przedziale domkniętym i mająca w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna na tym przedziale. W interpretacji
geometrycznej całka oznaczona jest to pole powierzchni trapezu krzywoliniowego.
WŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ I JEJ OBLICZANIE
Tw 7.1 (Newtona - Leibniza): Jeżeli ∅ jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej na przedziale <a;b>, to a ∫b f(x)dx=∅ (b) -∅ (a) Własności całki oznaczonej:
1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania 2) Funkcja całkowalna na pewnym przedziale domkniętym jest także całkowalna na
każdym podprzedziale tego przedziału. 3) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również funkcja (f+g) jest całkowalna na tym przedziale oraz
b
b
b
b
a∫ [f(x)+g(x)]dx= a∫ f(x)dx+ a∫ g(x)dx. 4) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale <a;b> oraz A=const również funkcja A*f jest całkowalna na tym przedziale i a∫
Af(x)dx= A a∫b f(x)dx. 5) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również iloczyn jest funkcją całkowalną na tym przedziale. 6) Zmiana wartości
funkcji w skończonej liczbie punktów przedziału nie wpływa ani na całkowalność tej funkcji w tym przedziale ani na wartość całki, jeśli funkcja ta jest całkowalna. 7)
c
b
b
Jeżeli a,b,c są dowolnymi punktami pewnego przedziału, na którym funkcja f jest całkowalna, to
a ∫ f(x)dx +c∫ f(x)dx= a∫ f(x)dx 8) Niech f i g będą funkcjami
całkowalnymi na przedziale <a;b>, wówczas f(x)≤g(x); dla x∈<a,b>⇒a∫bf(x)dx≤a∫bg(x)dx 9) Niech f będzie funkcją na przedziale <a;b>, wówczas:m≤f(x)≤M dla
x∈<a,b>⇒m.(b-a)≤a∫bf(x)dx≤M.(b -a).
Tw 7.2 (O całkowaniu przez podstawienie dla całki oznaczonej): Jeżeli: 1) funkcja g(t) jest ciągła na przedziale <α,β> 2) funkcja t= h(x) jest klasy C1 <a;b> 3)
zbiorem wartości funkcji t= h(x) jest przedział <α,β>, i przy tym α=h(a) i β=h(b) to prawdziwy jest następujący wzór na całkowanie przez podstawienie dla całki
oznaczonej a∫bg[h(x)]h’(x)dx= α∫β g(t)dt.
Tw 7.3 (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej): Jeżeli funkcje U i V są klasy C1<a;b> to a∫b U(x)*V’(x)dx= U(x)*V(x) ab - a∫b U’(x)*V(x)dx.
ZASTOSOWANIE GEOMETRYCZNE CAŁKI OZNACZONEJ
Tw 8.1 Jeżeli ciągłe na przedziale <a;b> funkcje f1 i f2 spełniają na tym przedziale nierówność f1(x)≤ f2(x) to pole D figury D ograniczonej wykresami tych funkcji i
prostymi x= a i x= b wyraża się wzorem D = a∫b [f2(x) - f1(x)]dx.
Tw 8.2 Jeśli krzywa l jest określona równaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t∈<α,β.> gdzie y(t) jest funkcją ciągłą na przedziale <α,β> a x(t) jest monotoniczną
funkcją klasy c1 <α,β>, to pole D trapezu krzywoliniowego D ograniczonego tą linią, osią ox oraz prostymi x= a, x= b gdzie x(α)=a, x(β)=b, dane jest całką D
=α∫βy(t)*x’(t) dt.
Tw 8.3 Łuk AB określony równaniem jawnym y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest funkcją klasy C1<a;b> ma długość l wyrażającą się wzorem l= a∫b √(1+f ’ 2(x)) dx.
Tw 8.4 Jeżeli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t∈<α,β> jest łukiem zwykłym oraz funkcje x(t), y(t) są klasy C1<α,β> to jej długość l wyraża
się całką l= α∫β √( x ’ 2(t)+y ‘ 2(t))dt
Tw 8.5 Objętość V bryły V powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadającego ciągłej na przedziale <a;b> funkcji f, wyraża się
całką V =∏ a∫b f 2 (x)dx.
Tw 8.6 Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci parametrycznej x= x(t), y= y(t), t∈<α,β> oraz funkcje x= x(t) i y= y(t) są klasy C1<α,β>,funkcja x(t) jest ściśle
monotoniczna i y(t) nieujemna, to objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem V =∏ α∫β y 2
(t)*x’(t)dt.
Tw 8.7 Pole S powierzchni obrotowej S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox krzywej y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest funkcją klasy C1<a;b> wyraża się całką
S=2∏ a∫b f(x)√(1+f ’ 2(x) dx.
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
PRZEDZIAŁ NIEOGRANICZONY
Def: Niech funkcja f jest całkowalna na każdym przedziale <a;b>, gdzie a<b<+∞ i określona na przedziale <a;+∞). Jeżeli istnieje granica lim(b→+∞) a∫b f(x)dx to
nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f na przedziale nieskończonym <a;+∞) i oznaczamy a∫∞f(x)dx= lim(b→∞) a∫b f(x)dx
FUNKCJA NIEOGRANICZONA
Def: Jeżeli funkcja f jest określona na przedziale <a;b> oraz całkowalna na każdym przedziale <a;b-ε> i nieograniczona na każdym przedziale <b-ε;b), a ponadto jeżeli
istnieje granica lim(ε→0+) a∫b-ε f(x)dx to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f nieograniczonej na <a;b> i oznaczamy a∫b f(x)dx= lim(ε→0+) a∫b-εf(x)dx.
SZEREGI
Niech (an) będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych. Ciąg (Sn) sum Sn = Σ od k=1 do n ak nazywać będziemy szeregiem liczbowym . Liczbę an nazywamy ntym wyrazem szeregu, a liczbę Sn nazywamy n-tą sumą częściową tego szeregu. Szereg jest ciągiem sum częściowych.
Szereg nazywamy zbieżnym, gdy istnieje granica skończona limSn=S, natomiast rozbieżnym, gdy nie istnieje. Szereg zbieżny ma sumę, Warunek konieczny
zbieżności szeregu: liman=0.
Tw1: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbieżny.
Tw2. Jeżeli wyrazy szeregów Σ(od n=1 do ∞) an oraz Σ (od n=1 do ∞) bn są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., że dla każdego n>m. Jest spełniona
nierówność an<=bn to z e zbieżności szeregu bn wynika zbieżność an i odwrotnie.
Tw3. (kryteruim d’Alemberta). Jeżeli wyrazy szeregu są dodatnie oraz istnieje gralica lim an+1/an = g to szereg jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozbieżny, gdy
1<1<=+∞.
Tw4. (Cauchy’ego o iloczynie). Jeżeli szeregi Σan i Σbn są zbieżne, przy czym co najmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to ich iloczyn jest zbieżny, przy
czym suma szeregu jest równa iloczynowi sum szeregów.
SZEREGI FUNKCYJNE
Niech (fn(x)) będzie dowolnym ciągiem funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, określonej na zbiorze X. Ciąg (Sn(x)) sum Sn(x)=Σ(od k =1 do n) fk(x)
nazywamy szeregiem funkcyjnym.
Szereg Σ(od n=1 do ∞)fn(x) (1) nazywamy zbieżnym na zbiorze X do sumy S(x) i piszemy Σfn(x)=s(x) Ù, gdy Sn(x)->S(x).
Szereg nazywamy rozbieżnym na zbiorze X Ù, gdy ciąg (Sn(x)) jest na tym zbiorze rozbieżny. Szereg nazywamy jednostajnie zbieżnym na zbiorze X do sumy s(x)
Ù, gdy Sn(x) ⇒ S(x).
Jeżeli szereg jest zbieżny na zbiorze X, a ponadto zbieżny jest na tym zbiorze szereg Σ(n=1 ∞) |fn(x)| (*) to szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym na zbiorze X.
Tw1. Jeżeli szereg (*) jest zbieżny na zbiorze X, to szereg (1) jest także zbieżny na tym zbiorze.
Tw2 (kryterium Weierstrassa). Jeżeli istnieje taka liczba m∈N, że dla każdego n>=m. I dla każdego x∈X spełniona jest nierówność |fn(x)|<=an, przy czym szereg Σ
(n=1,∞)an jest zbieżny, to szereg (1) jest zbieżny na zbiorze X jednostajnie i bezwzględnie. (Σcosnx/n2+x2 ).
SZEREGI POTĘGOWE
Postać: Σ(n=0,∞) an(x-x0)don, czyli szereg a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)do2+...+an(x-x0)don+... Litera x oznacza tu zmienną rzeczywistą, symbol x0-ustaloną wartość tej
zmiennej, a symb. a0,a1,... są to l. rzeczywiste zwane współczynnikami szeregu.
Tw1. Jeżeli R=0 (promien zbieżności-kres górny zbioru wart. X, dla których szereg jest zbieżny) to szereg jest zbieżny tylko w p.=0. Jeżeli 0<R<∞, to szereg jest zbież
w przedz. (-R;R), rozbieżny w przeciw.
Tw.2 Jeżeli instn, gran. Lin(n->∞)|an+1/an| = λ to prom. Zbieżn. R szeregu = 0 dla λ =+∞, 1/λ, gdy 0<λ<+∞, zaś ∞ gdy λ = 0.
Tw3. Jeżeli szereg ma prom. zbieżny R > 0, to dla każdego r ∈ (0;R) szereg ten jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie na przedziale <-r;r> (Suma szeregu jest ciągła
na przedziale (-R;R)).