Analiza matematyczna 1 Lista 2 (1) Udowodnij (indukcyjnie) (a

Analiza matematyczna 1
Lista 2
(1) Udowodnij (indukcyjnie)
(a) Zasadę minimum: Każdy niepusty podzbiór zbioru N liczb naturalnych
zawiera liczbe najmniejszą;
(b) ”oczywisty” fakt: Każdy niepusty i skończony podzbiór zbioru R zawiera liczbę najmniejszą i największą;
(c) że dla ciągu rosnącego n1 < n2 < . . . liczb naturalnych zachodzi nierówność nk ­ k dla każdego k ∈ N.
(2) Uzasadnij, że każdy podciąg ciągu zbieżnego do liczby a jest też zbieżny do
a.
(3) (i) Udowodnij, że jeśli kres górny (dolny) niepustego zbioru A ograniczonego
z góry (z dołu) nie należy do A, to jest on granicą pewnego ciągu rosnącego
(malejacego) an ∈ A.
(ii) Pokazać, że jeśli ciąg {an } jest ograniczony z góry (z dołu), to w
zbiorze granic jego wszystkich podciagów zbieżnych istnieje liczba największa (najmniejsza) zwana granicą górną (dolną) i oznaczana przez lim an
(lim an ) i że jest ona równa kresowi górnemu (dolnemu) zbioru wyrazów
ciągu. Sprawdzić, że lim an = a wtedy i tylko wtedy, gdy lim an = lim an .
(4) Udowodnić bezpośrednio z definicji granicy
ciągu, że
√
√
n
lim 21n = 0, lim n+1
= 1, lim an = a, jeśli lim an = a.
(5) Uzasadnić:
√
√
lim 2nn = 0, lim an = 0 dla |a| < 1, lim n a = 1 dla a > 0, lim n n = 1,
lim(1 − n1 )n = 1e .
√
(6) Załóżmy, że 0 ¬ a ¬ b. Czy ciąg n an + bn jest zbieżny? Jeśli tak, to jaka
jest granica?
q
2
√ n }, {
(4 − n1 ) − 2 n}
(7) Znajdź granice ciagów: { cosn n }, { sin
n
√
(8) Pokazać, że ciąg określony rekurencyjnie a1 = 1, an = 2an−1 dla n > 1,
jest zbieżny i znaleźć jego granicę.
Podobnie
√ dla ciągów
√
b1 = 2, bn+1 = 2 + bn ; c1 = 2, cn+1 = 21 cn + c2n .
(9) Udowodnić, że jeśli podciągi {a2n } i {a2n−1 } maja równe granice, to cały
ciąg {an } jest zbieżny do tej granicy.
(10) Udowodnić, że ciąg określony rekurencyjnie a1 = 0, a2 = 1, an = 21 (an−1 +
an−2 ) dla n > 2, jest zbieżny do 23 .
Wskazówka: Zauważyć, że an+1 − an = (− 21 )n−1 i pokazać, że podciągi
{a2n } i {a2n−1 } są monotoniczne i zbieżne do tej samej granicy. Obliczyć
Pk
a2k+1 = n=1 (a2n+1 − a2n−1 ) = . . . .
(11) Mając dane ciągi {an } i {bn } liczb dodatnich, mówimy, że ciąg an jest O(bn )
(”O duże od bn ), gdy istnieje liczba M > 0 taka, że dla dostatecznie dużych
n zachodzi an ¬ M bn . Pokazać, że jeśli ciąg { abnn } jest zbieżny do g 6= 0, to
an jest O(bn ) i bn jest O(an ). Co można powiedzieć, gdy g = 0?
1