1 PP nr K mr mn KP ) 1( )** 1

Przejdziemy do omówienia zachowania się wartości przyszłych kapitału Ko w
modelach kapitalizacji niezgodnej tj. wartość Pk / m , K k / m , Wk / m opisanych wzorami
(15),(16),(17) w zależności od okresu kapitalizacji czy od częstości dopisywania odsetek.
Jest to zależne od modelu kapitalizacji.
Zaczniemy od kapitalizacji prostej, czyli od zbadania Pk / m określonego wzorem
(15). Zaczniemy od przykładu:
Przykład 7 dla kapitalizacji prostej
Wyznaczymy wartość przyszłą kapitału 1jp po 4 latach po różnych okresach kapitalizacji
prostej według rocznej stopy procentowej 12% (r=0.12) . Wobec (15) przykładowo
mamy:
- kapitalizacja czteroletnia (m=0.25, k=1)
P1 / 0.25
1(1 1 *
0.12
) 1,48
0.25
- kapitalizacja dwuletnia (m=0,5, k=2)
P2/0.5 = 1(1+2*0.12/0.5)=1,48 jp
-kapitalizacja roczna (m=1, k=4) kapitalizacja zgodna
P4/1 = 1*(1+4*0,12) = 1,48
-kapitalizacja półroczna (m=2, k=8)
P8/2 = 1(1+8*0,12/2) = 1,48
- kapitalizacja kwartalna (m=4, k=4*4=16)
P16/4 = 1(1+16*0,12/4) = 1,48
Widoczne jest, że w tym przypadku wartość przyszła kapitału Ko=1 jp
ulokowanego na 4 lata nie zależy od częstości dopisywania odsetek (od długość okresu
kapitalizacji). Ogólnie mamy
Twierdzenie 1.
Wartość przyszła kapitału Ko(Ko>0) po n (n=1,2,…) okresach stopy procentowej r (r>0)
w modelu kapitalizacji prostej (z dołu) zgodnej jest taka sama jak w modelu kapitalizacji
prostej (z dołu) niezgodnej, czyli nie zależy od długości okresu kapitalizacji.
Dowód:
Wyznaczając wartość przyszłą kapitału Ko, po n okresach stopy procentowej r (r>0) przy
m-krotnym dopisywaniu odsetek w ciągu jednego okresu stopy procentowej stosujemy
wzór (15). Liczba k okresów kapitalizacji jest tutaj równa k=n*m, przy czym k jest liczbą
naturalną (zarówno dla kapitalizacji w podokresach jak i nadokresach), co wynika z
przyjętego określenia kapitalizacji niezgodnej. Mamy więc:
Pn m / m
K 0 (1 n * m *
r
)
m
K 0 (1 nr )
Pn / 1
Pn
Gdzie Pn jest wartością przyszłą kapitału Ko w modelu kapitalizacji prostej zgodnej tj.
dane wzorem 4. Co kończy dowód.
W modelach kapitalizacji złożonej przyszła wartość kapitału zależy już od okresu
kapitalizacji, czyli od częstości dopisywania odsetek.
Przykład 8 dla kapitalizacji złożonej z dołu.
Wyznaczymy wartość przyszłą kapitału 1 jp po czterech latach przy różnych okresach
kapitalizacji w modelu kapitalizacji złożonej z dołu według rocznej stopy procentowej
równej r=0.12. Przykładowo mamy:
- kapitalizacja czteroletnia (m=0.25, k=1)
K1 / 0.25
1(1
0.12 1
)
0.25
1,48 jp
1
- kapitalizacja dwuletnia (m=0,5, k=2)
K 2 / 0.5
0.12 2
)
0.5
1(1
1,5376 jp
-kapitalizacja roczna (m=1, k=4) kapitalizacja zgodna
K 4 /1
1(1
0.12 4
)
1
1,5735 jp
-kapitalizacja półroczna (m=2, k=8)
K8 / 2
1(1
0.12 8
) 1,5938 jp
2
- kapitalizacja kwartalna (m=4, k=4*4=16)
K16 / 4
1(1
0.12 16
)
1,6047 jp
4
Czyli jest tendencja wzrostowa. Wartość przyszła kapitału 1jp jest tym większa im
krótszy jest okres kapitalizacji. Ogólnie mamy:
Twierdzenie 2.
Dla każdej ustalonej liczby naturalnej n (liczba okresów stopy procentowej przez jaka
Bedze kapitał spoczywał) wartość przyszła kapitału Ko (Ko>0) po n okresach stopy
procentowej r (r>0) w modelu kapitalizacji złożonej z dołu jest rosnącą funkcją częstości
kapitalizacji odsetek, czyli jest funkcją rosnącą względem m.
Dowód:
Ustalmy n naturalne. Wartość przyszła kapitału Ko (Ko>0) po n okresach stopy
procentowej r (r>0) zgodnie z (16) tj.
K k / m K 0 (1
r k
) w modelu kapitalizacji złożonej z
m
dołu niezgodnej jest równe
(20)
K n m / m K 0 (1
r n*m
n * r n*m
)
K 0 (1
)
m
n*m
Gdyż liczba okresów kapitalizacji jest równa k=n*m. Liczba k jest liczbą naturalną
zarówno dla kapitalizacji w podokresach jak i dla kapitalizacji w nadokresach. Łatwo
widać, że jeśli m rośnie, to k również rośnie (i na odwrót).
Mamy wykazać, że funkcja, m-> K n m / m jest rosnąca (n*m należy do N). Wobec
(20) wystarczy wykazać, że ciąg (ak) określony wzorem:
ak
(1
nr k
) k
k
N jest ciągiem rosnącym.
Wykażemy najpierw nierówność Bernoulliego, tzn.
(21) (1
x) p
1
px x
1, x
0,p
2,3,...
Dla ustalonego p należącego do N, p>=2 rozważmy funkcję fi postaci:
(1 x) p
1
px x
( 1,
)
Funkcja fi jest różniczkowalna w naszym przedziale (-1, do nieskończoności) i mamy:
'
p(1 x) p
1
p p((1 x) p
1
1 x
( 1,
)
Zauważmy, że ta pochodna jest równa = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (1+x) p-1=1, czyli
x=0. Ponadto p-1>=1 oraz 1+x>0 dla x>-1, więc
0<(1+x)p-1<1 gdy -1<x<0 wtedy x+1 należy do przedziału (0,1).
Oraz
2
(1+x)p-1>1 gdy 0<x<nieskończoność. Zatem nasza pochodna jest mniejsza od zera dla x
z przedziału (-1,0) a większa od zera dla (0,nieskończoność), wiec funkcja fi maleje w
przedziale (-1,0) zaś rośnie w przedziale (0, nieskończoność). W punkcie x=0 funkcja fi
osiąga minimum globalne (w zbiorze (-1, nieskończoność)). Wobec tego
( x)
(0)
0x
( 1,
)
oraz
( x)
0 x
( 1,0)
(0,
)
Co z dowolności wyboru p oznacza, że zachodzi nierówności (21). Nierówność (21)
można także wykazywać stosując zasadę indukcji matematycznej względem p dla
dowolnego ustalonego x należącego do sumy zbiorów (-1,0) i (0, nieskończoność).
Zauważmy, że dla ak>0, k naturalne. Ponadto dla dowolnego ustalonego k
naturalnego mamy:
nr k 1
nr
k 1 nr
)
1
nr
nr
k 1
(1
)( k 1 ) k 1 (1
)( k 1 ) k
nr k
nr
k nr
k
k
(1
)
1
k
k
k
2
nr
k
k knr k 1
nr
nr
(1
)( 2
)
(1
)(1
)k 1
k k
k
(k 1)(k nr )
k knr nr
ak 1
ak
(1
1
(1
nr
(k 1)( k
stosując teraz nierówność bernoulliego (21) dla p=k+1 oraz x
zauważyć, że
ak 1
ak
(1
nr
(k 1)( k
nr )
nr k 2 k knr k
)(
)
k (k 1)(k nr )
nr )
(łatwo
( 1,0) ) i otrzymujemy
nr
nr
)(1 (k 1)
k
(k 1)( k
nr )
)
k
nr k
k
nr nr
k nr
1 k
N
Wobec tego ak+1>ak dla k naturalnych, czyli ciąg (ak) jest rosnący. Wobec (20) mamy, że
K nm / m K 0 a nm , więc K nm / m jest funkcją rosnącą względem m, co kończy dowód.
Z powyższego twierdzenia otrzymujemy bezpośrednio wniosek:
Wniosek:
Dla dowolnych naturalnych n i m zachodzi nierówność K nm / m K n , gdzie K n jest postaci
(19) (czyli na pewno tutaj mamy kapitalizację w podokresach).
Istotnie, dla naturalnych n i m mamy
(22) K nm / m K n1 / 1 K n .
Przejdziemy teraz do modelu kapitalizacji złożonej z góry.
Przykład 9 dla kapitalizacji złożonej z góry.
Wyznaczymy wartość przyszłą kapitału 1jp po upływie 4 lat przy różnych okresach
kapitalizacji w modelu kapitalizacji złożonej z góry wg r=0,12. Stosujemy wzór
(17) Wk / m
K 0 (1
r
)
m
k
r
(0,1)
- kapitalizacja czteroletnia (m=0.25, k=1)
W1 / 0.25
(1
0.12
)
0.25
1
1,9231 jp
- kapitalizacja dwuletnia (m=0,5, k=2)
3
1
W2 / 0.5
(1
0.12
)
0.5
2
1,7313 jp
-kapitalizacja roczna (m=1, k=4) kapitalizacja zgodna
W4 / 1
(1
0.12
)
1
4
1,6675 jp
-kapitalizacja półroczna (m=2, k=8)
W8 / 2
(1
0.12
)
2
8
1,6405 jp
- kapitalizacja kwartalna (m=4, k=4*4=16)
W16 / 4
(1
0.12
)
4
16
1,62799 jp
Widzimy, że wartość przyszła kapitału maleje wraz ze wzrostem m (czyli częstości
kapitalizacji). Ogólnie zachodzi:
Twierdzenie 3:
Dla każdej ustalonej wielokrotności (n, n naturalne) okresu stopy procentowej wartość
przyszła kapitału w modelu kapitalizacji złożonej z góry (niezgodnej) jest malejącą
funkcją częstości kapitalizacji (m).
Dowód
Ustalmy n naturalne. Wartość przyszła kapitału Ko (Ko>0) po n okresach stopy
procentowej r (0<r<1) w modelu kapitalizacji złożonej z góry przy m krotnym
kapitalizowaniu odsetek, zgodnie z (17) jest równa
Wnm / m
K 0 (1
r
)
m
nm
gdyż liczbna okresów kapitalizacji jest wówczas równa nm (jest liczb
ą naturalną). Mamy
(1
r
)
m
nm
(1
r n(
)
( m)
m)
Z dowodu Twierdzenia 2 wiemy, że funkcja m-->
m (1
r n(
)
( m)
m)
(1
r nm
) jest rosnąca, więc funkcja
m
jest funkcją malejącą. To oznacza, że W nm/m maleje wraz ze wzrostem
m, co kończy dowód.
W szczególności z twierdzenia 3 dostajemy wniosek:
Wniosek
Dla dowolnych n,m naturalnych mamy
(23) Wnm / m Wn1 / 1 Wn , gdzie Wn jest postaci (14).
Ponadto zachodzi następująca własność, która w pewnym sensie porządkuje modele
kapitalizacji złożonej.
Własność
Dla dowolnych n,m naturalnych zachodzą nierówności
(24) K n K nm / m Wnm / m Wn
Czyli
(24’)
K 0 (1 r ) n
K 0 (1
r nm
)
m
4