KAPITALIZACJA ZŁOŻONA Z GÓRY ZGODNA Złożona

KAPITALIZACJA ZŁOŻONA Z GÓRY ZGODNA
Złożona – zgromadzone odsetki również podlegają oprocentowaniu w następnych
okresach kapitalizacji
Z góry – odsetki dopisywane są do kapitału na początku okresu kapitalizacji
Zgodna – okres stopy procentowej r (r>0) pokrywa się z okresem kapitalizacji
Wn – wartość przyszła kapitału K0 (K0 >0) na początku okresu kapitalizacji, gdzie
n=1,2,3…, czyli tutaj NIE MOŻEMY ZACZĄĆ OD ZERA!!
Wyznaczymy ciąg Wn.
Przedstawimy mechanizm tworzenia wartości W1 na początku pierwszego okresu
kapitalizacji. Najpierw oczywiście wpłacamy kwotę K 0.Skoro kapitalizacja jest z góry, to w
tym samym czasie dopisane są odsetki, czyli nasza kwota początkowa skoro podlega
oprocentowaniu z góry, to od razu do kwoty K 0 jest dodawana kwota odsetek równa K0r.
Czyli traktujemy, że w jednym momencie wpłaciliśmy K 0 i K0r, czyli K0r podlega też
oprocentowaniu i mamy
K0r * r = K0r2. Odsetki te również generują odsetki w wysokości K 0r2*r = K0r3 i tak dalej.
W ten sposób otrzymujemy nieskończony ciąg kolejnych odsetek i w konsekwencji
dostajemy sumę pewnego szeregu geometrycznego:
W1 = K0 + K0r + K0r2 + K0r3 +… =K0 (1+ r + r2 + r3 + …) = K0 * 1/(1-r) = K0 (1-r)-1
0<r<1 jako warunek zbieżności szeregu geometrycznego
Analogicznie otrzymujemy
W2 = W1 + W1r + W1r2 + … = W1 (1-r)-1
0<r<1
Ogólnie więc mamy:
(13) Wn+1 = Wn + Wnr + Wnr2 + … = Wn (1-r)-1,
0<r<1,
n=1,2,3…
Równości (13) oznaczają, że ciąg (Wn) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie (1-r)-1
.Zatem
Wn = W1 [(1-r)-1]n-1 = K0(1-r)-1 (1-r)-n+1
0<r<1,,,, n=1,2,3….
Czyli
(14) Wn = K0 (1-r)-n,
0<r<1
n=1,2,3…
Wzór (14) wiąże ze sobą cztery wielkości: K 0, r, n, Wn. Znając wiec trzy z nich oczywiście
możemy wyznaczyć czwartą. W szczególności mamy:
(14’) K0 = Wn (1-r)n
0<r<1
n=1,2,3…
Gdybyśmy mieli sytuację, że r>=1, to szereg od i=0 do nieskończoności z r i jest
rozbieżny do plus nieskończoności, wiec w tym przypadku wartość W 1 jest nieokreślona,
‘nieskończona’. Przypadek r>=1 byłby możliwy jedynie teoretycznie i oczywiście nie
mógłby być rozważany dla tych obliczeń.
Liczbę (1-r)n
0<r<1
n=1,2,3… nazywamy czynnikiem akumulacji
czynnikiem wartości przyszłej w modelu kapitalizacji złożonej z góry.
lub
Wartość kapitalizowanych odsetek zgromadzonych przez n okresów kapitalizacji wobec
(14) jest równa
1
n
Zi
Wn
K0
K 0 [(1 r )
n
1]
0<r<1
n=1,2,3….
i 1
Gdzie Zi oznacza sumę odsetek przypadających na i-ty okres kapitalizacji (i=1,…n,
n=1,2,3….)
Przykład 5
Oblicz, jaki kapitał po dwóch latach osiągnie wartość 100 jp, jeśli stosowana jest roczna
kapitalizacja złożona z góry przy rocznej stopie procentowej 5%.
Od razu łatwo zauważyć, że mamy zgodność, ponieważ mamy roczną kapitalizację i
roczną stopę procentową, czyli te okres kapitalizacji i okres stopy procentowej są równe
1 rok, czyli są sobie równe. Skoro z treści zadania wynika, że n=2, r= 0,05 i dane mamy
W2 bo na koniec drugiego roku ma tą samą wartość co na początku tego roku, bo
dopisujemy odsetki z góry, czyli zwiększylibyśmy dopiero na początku trzeciego roku.
Szukamy więc wartości K0. Z (14’) mamy:
K0 = 100 (1-0,05)2 = 100(0,95)2 = 100 * 0,9025 = 90,25 [jp]
Czyli by po dwóch latach mieć 100 jp powinniśmy wpłacić na początku 90,25 jp.
Wartość Wn n=1,2,3… można aktualizować w czasie. Wobec (14) wartość przyszła tej
kwoty po następnych k okresach kapitalizacji jest równa:
Wn+k = K0 (1-r)-(n+k) = K0 (1-r)-n (1-r)-k = Wn (1-r)-k 0<r<1
n=1,2,3…
Podobnie Wn dla n=1,2,3… można zaktualizować na moment wcześniejszy o k okresów
kapitalizacji, czyli mamy zdyskontowanie o k okresów, tutaj k=0,1,2…n-1 (do n-1, bo nie
określaliśmy W0). Otrzymujemy wtedy
Wn-k = K0 (1-r)-(n-k) = K0 (1-r)-n (1-r)k = Wn (1-r)k 0<r<1
n=1,2,3… k=0,1,2…n-1
Aktualizacja kwoty Wn
n=1,2,3… na n wcześniejszych okresów (do tej pory braliśmy
k<n), czyli dla k=n daje wartość początkową K0 co widzimy jak do powyższej linijki
wstawimy k=n, będziemy mieć wtedy 0 w wykładniku i nam zostanie właśnie tylko nasze
K0.
KAPITALIZACJA NIEZGODNA
Rozważymy sytuację, gdy kapitalizacja jest niezgodna, czyli okres stopy
procentowej nie pokrywa się z okresem kapitalizacji.
Zakładamy jednak, że ma miejsce jedna z następujących sytuacji:
- długość okresu stopy procentowej jest całkowitą (naturalną) wielokrotnością długości
okresu kapitalizacji. Mówimy wtedy o kapitalizacji w podokresach
- długość okresu kapitalizacji jest całkowitą (naturalną) wielokrotnością długości okresu
stopy procentowej. Wtedy mówimy o kapitalizacji w nadokresach
Niech teraz m oznacza stosunek długości okresu stopy procentowej do
długości okresu kapitalizacji. Czyli długości te muszą być wyrażone w tej samej
długości czasu i jest wówczas m wielkością niemianowaną, pewnym współczynnikiem,
który nas poinformuje, czy mamy kapitalizację w nad- czy w podokresach.
W przypadku kapitalizacji w podokresach m jest liczbą naturalną.
W przypadku kapitalizacji w nadokresach m jest liczbą wymierną z przedziału (0,1), bo
mianownik jest wielokrotnością licznika.
2
W matematyce finansowej i w praktyce bankowej stosuje się pojęcie tzw. Czasu
bankowego, którego podstawowymi jednostkami są:
-Rok bankowy o długości 360 dni
- miesiąc bankowy o długości 30 dni
W konsekwencji rok bankowy liczony jako 360 dób, z których każda ma 24h, czyli
w efekcie nasz rok bankowy ma 8640 godzin. Przyjmuje się też, że rok bankowy ma 52
tygodnie. W pewnych rachunkach, zwłaszcza w odniesieniu do krótszych okresów czasu (
do około jednego roku ) prowadzi się dokładny pomiar czasu według czasu rzeczywistego.
Czas rzeczywisty w odróżnieniu od bankowego nazywamy czasem kalendarzowym.
Czyli rok kalendarzowy ma 365 lub 366 dni, miesiąc ma 28 albo 29 albo 30 albo 31 dni.
Przyjmijmy, że stosowany jest czas bankowy. Jeśli r (r>0) jest roczną stopą
procentową, to w zależności od wartości m kapitalizację nazywa się:
- roczną , wtedy jest zgodność, czyli to jest gdy m=1
- półroczną, wtedy m=2
- kwartalna, gdy m=4 (cały rok do ¼ roku)
- miesięczny, gdy m=12
- tygodniową, gdy m=52
- dobową, gdy m=360
- godzinną, gdy m=8640
- dwuletnią, gdy m= ½ = 0,5
- czteroletnią, gdy m= ¼ = 0,25 (1 rok do 4 lat)
Powyżej mamy przykłady nominalnej stopy procentowej, której definicja jest za
chwilę, od razu zauważmy, że rzeczywiście jest zwykle roczna.
W przypadku kapitalizacji niezgodnej, odsetki przypadające na jeden okres
kapitalizacji wyznacza się na podstawie tzw. Względnej (lub dostosowanej) stopy
procentowej, która określona jest wzorem:
_
r
m
r
Wtedy r nazywamy nominalną stopą procentową. Nominalna stopa procentowa z
reguły roczna jest podstawowym źródłem informacji o ofercie bankowej. Chociaż odsetki
mogą być wyznaczane według innej stopy np. względnej.
Wyznaczanie wartości przyszłej kapitału w przypadku kapitalizacji niezgodnej
odbywa się analogicznie, jak przy kapitalizacji zgodnej, ale zamiast nominalnej stopy
procentowej należy zastosować względną stopę procentową i uwzględnić odpowiednią
liczbę okresów kapitalizacji.
Przyszłą wartość kapitału K0 (K0 >0) w kapitalizacji niezgodnej o danej wartości m
po k okresach kapitalizacji wyznaczamy następująco:
Dla kapitalizacji prostej:
_
(15)
Pk / m
r
)k
m
0,1,2....
r k
) k
m
0,1,2....
K 0 (1 k r ) K 0 (1 k
dla kapitalizacji złożonej z dołu:
_
(16)
Kk / m
K 0 (1 r ) k
K 0 (1
3
Dla kapitalizacji złożonej z góry:
_
(17)
Wk / m
K 0 (1 r )
k
K 0 (1
r
)
m
k
_
k
1,2.... r
(0,1)
Z określenia liczby m wynika, że wyraża ona, ile okresów kapitalizacji zawiera
okres nominalnej stopy procentowej, więc liczba n=k/m mówi nam ile rozważamy
okresów nominalnej stopy procentowej przy czym, nie musi to być wcale liczba
naturalna.
Przykład:
r – stopa roczna
m= 2 czyli kapitalizacja jest półroczna
interesuje nas okres 1 roku
_
r =r/2
k=2 – liczba półroczy, czyli liczba okresów kapitalizacji
k/m = 2/2 = 1
r- roczna
m=4 kwartalna kapitalizacja
okres jednego roku
k=4
k/m = 1 czyli rzeczywiście jest to znów jeden cały okres stopy procentowej
r – roczna
m=4 kwartalna kapitalizacja
okres półtora roku
k = 6 bo to liczba kwartałów, która nas interesuje, ile jej się mieści w naszym okresie
czasu
k/m = 6/4 = 1,5
4