Matematyka finansowa - teoria Stopy efektywne i równoważne

Matematyka finansowa - teoria
Stopy efektywne i równoważne
Obliczanie stóp równoważnych i efektywnych nie wygląda na łatwe dla Państwa, więc
przygotowałem nieco inny opis podejścia do zagadnienia z rozłożeniem na czynniki pierwsze, co i jak.
Stopa procentowa jest ważna w każdym zadaniu. Warunki oprocentowania różnych
należności trudno porównać, jeśli różnią się okresami stopy i kapitalizacji. Sam okres
stopy, jak wiemy, łatwo zmienić, stosując stopę względną. Do porównania lokat (i innych metod akumulacji kapitału) z różnymi okresami kapitalizacji służą efektywna i
równoważna stopa procentowa (𝑟𝑒𝑓 i 𝑟𝑟 ).
Wzorów na te stopy używamy, gdy zmienia się okres kapitalizacji, z założeniem, że rentowność inwestycji zostaje taka sama. Przykładowe zadania, w których musimy tego
użyć to: sytuacja, gdy bank zmienia okres kapitalizacji jakiejś lokaty, ale chce zachować
tą samą opłacalność inwestowania na tej lokacie; porównanie opłacalności dwu lokat
o różnych okresach kapitalizacji (trzeba wtedy przeliczyć rentowność lokat na ten sam
okres kapitalizacji), przeliczenie inflacji z jednego okresu na inny (inflacja jest zjawiskiem
złożonym w sensie matematyki finansowej, więc nie można używać stopy względnej),
zadania związane ze strumieniami finansowymi, rentami i spłatą długów, gdy okres kapitalizacji jest różny od okresu płatności. Skupię się na pierwszym z tych zastosowań (inne
pojawią się później).
Dla ustalenia uwagi, zajmiemy się skończonymi okresami kapitalizacji (czyli nieciągłymi).
Wzór na zmianę kapitalizacji na ciągłą nie powinien wtedy budzić chyba większych wątpliwości. Przez 𝑟 oznaczam stopę nominalną, którą chcemy przekształcić na efektywną lub
równoważną, z innym okresem kapitalizacji. Okres kapitalizacji dla tej stopy oznaczam
przez 𝑂𝐾, a okres tej stopy oznaczam przez 𝑂𝑆. Stopą efektywną nazywam stopę 𝑟𝑒𝑓 ,
której okres kapitalizacji 𝑂𝐾𝑒𝑓 jest dłuższy od wyjściowego (czyli 𝑂𝐾𝑒𝑓 > 𝑂𝐾) i która
daje takie same zyski w tym samym czasie. Stopą równoważną nazywam stopę 𝑟𝑟 , której
okres kapitalizacji 𝑂𝐾𝑟 jest krótszy od wyjściowego (czyli 𝑂𝐾𝑟 < 𝑂𝐾) i która daje takie
same zyski w tym samym czasie. Oczywiście, co za chwilę zobaczymy, wystarczy znać
wzory na jedną z tych stóp, gdyż np. obliczając stopę nominalną ze wzoru na stopę
efektywną robimy dokładnie to samo, co obliczając stopę równoważną - czyli używamy
tego samego wzoru, tylko co innego z niego obliczamy.
Dla ustalenia uwagi założę najpierw, że 𝑂𝐾 = 𝑂𝑆, 𝑂𝐾𝑒𝑓 = 𝑂𝑆𝑒𝑓 i 𝑂𝐾𝑟 = 𝑂𝑆𝑟 . Te
założenia łatwo spełnić stosując stopy względne i zmieniając odpowiednie okresy stóp.
𝑂𝐾
𝑂𝐾
Dodatkowo: 𝑂𝐾𝑒𝑓 = 𝑚, 𝑂𝐾
= 𝑘 (𝑘, 𝑚 > 1). Wtedy:
𝑟
𝑟𝑒𝑓 = (1 + 𝑟)𝑚 − 1
oraz
1
𝑟𝑟 = (1 + 𝑟) 𝑘 − 1.
Zauważmy w tym miejscu jeszcze, że obydwa te wzory są tak naprawdę tym samym
wzorem: wystarczy zignorować założenie, że 𝑚 > 1 i w obu przypadkach można tak
samo liczyć stopę efektywną. Różnica jest tylko w nazwie. Dlatego od tego miejsca nie
będę w ogóle wspominać o stopie równoważnej - a za każdym razem o stopie efektywnej.
Poniższe przykłady polecam przerobić sobie najpierw we własnym zakresie, a potem
porównać z rozwiązaniami poniżej. Jeśli każde z tych zadań zrobią Państwo tak samo,
jak są rozwiązane, to ze zmianą stóp nie będą mieli Państwo już żadnych problemów.
Przykład 1: Bank oferuje lokatę o kapitalizacji dwumiesięcznej i stopie procentowej
rocznej równej 18%. Jaka musi być roczna stopa procentowa lokaty o kapitalizacji a)
miesięcznej, b) półrocznej, by lokaty te były równie opłacalne co wspomniana w pierwszym zdaniu?
1
2
Przykład 2: Pewien bank oferuje dwie lokaty: z kapitalizacją kwartalną, o stopie procentowej 12% rocznie i z kapitalizacją 4-miesięczną, o stopie procentowej 12, 06% rocznie.
Która jest bardziej opłacalna dla klienta?
Rozwiązanie 1: By uzyskać założenie o 𝑂𝑆 = 𝑂𝐾 przeliczam nominalną stopę procentową roczną na dwumiesięczną (za pomocą stopy względnej). W tym momencie
otrzymujemy 𝑟 = 3%, 𝑂𝑆 = 𝑂𝐾 = 2 miesiące. W podpunkcie a) nowy okres kapitalizacji jest krótszy od starego, więc korzystamy ze wzoru na stopę równoważną, przy
1
𝑂𝑆𝑟 = 𝑂𝐾𝑟 = miesiąc, 𝑘 = 2. 𝑟𝑟 = (1 + 𝑟) 2 − 1 ≈ 1, 49%. Pamiętamy jednak,
że obliczyliśmy stopę o okresie stopy miesiąc, a końcowy wynik ma mieć okres rok,
więc obliczamy stopę względną mnożąc wynik przez 12. Końcowy wynik to w przybliżeniu 17, 88% (𝑂𝑆 =rok). W wypadku podpunktu b) nowy okres kapitalizacji jest
dłuższy, a zatem liczymy stopę efektywną dla 𝑂𝑆𝑒𝑓 = 𝑂𝐾𝑒𝑓 = 6 miesięcy i 𝑚 = 62 = 3.
𝑟𝑒𝑓 = (1 + 𝑟)3 − 1 = (1, 03)3 − 1 ≈ 9, 27%. Okres otrzymanej stopy to pół roku, więc by
zmienić ten okres na rok, mnożymy wynik przez 2 i otrzymujemy 18, 54% (𝑂𝑆 =rok).
Rozwiązanie 2: Można to zrobić na co najmniej dwa sposoby. Najbardziej naturalne jest przeliczenie stóp efektywnych obydwu lokat na ten sam okres kapitalizacji
np. rok i porównanie ich. Dla pierwszej lokaty, nominalna stopa kwartalna wynosi
3%, a zatem efektywna stopa roczna (przy równoważnej kapitalizacji rocznej) wynosi
(𝑚 = 4, bo rok= 4 kwartały) 𝑟𝑒𝑓 1 = (1, 03)4 − 1 ≈ 12, 5509%. Dla drugiej lokaty,
nominalna stopa 4-miesięczna wynosi 4, 02%, a zatem efektywna stopa roczna (przy
równoważnej kapitalizacji rocznej) wynosi (𝑚 = 3, bo rok= 3 okresy 4-miesięczne)
𝑟𝑒𝑓 2 = (1, 0402)3 − 1 ≈ 12, 5513%. Dlatego minimalnie lepsza jest druga lokata (acz
różnica jest dopiero na poziomie dziesięciotysięcznych części procenta).
Można też skrócić rachunki, sprowadzając jedną lokatę do okresu kapitalizacji drugiej. Na
przykład można sprawdzić, jaką stopę miałaby lokata równoważna drugiej, a o okresie
kapitalizacji 3 miesiące. Ponieważ okres kapitalizacji się skraca, zastosujemy wzór na
3
stopę równoważną z 𝑘 = 34 . Zatem 𝑟𝑟 = (1, 0402) 4 − 1 ≈ 3, 0001% > 3%, a więc druga
lokata jest lepsza. Ten sposób jak widać jest szybszy, ale trochę mniej intuicyjny przez
użycie ułamków okresu kapitalizacji.
Uwaga Czasem możemy nie chcieć zmieniać okresów stóp na równe okresom kapitalizacji
- szczególnie, gdy np. chcemy wszystkie stopy przeliczyć na efektywne stopy roczne (jak
w zadaniu specjalnym), które zazwyczaj są podawane w ofertach banków lub funduszy
inwestycyjnych. Zatem sytuacja jest następująca: 𝑂𝐾𝑒𝑓 = 𝑂𝑆𝑒𝑓 = 𝑂𝑆 = 𝑚 ⋅ 𝑂𝐾. W
takiej sytuacji wzór na stopę efektywną będzie wyglądał tak:
𝑟 𝑚
) − 1.
𝑚
Oczywiście, nie ma sensu osobno zapamiętywać tego wzoru - lepiej sobie zawsze zmieniać
okres stopy na równy okresowi kapitalizacji przy pomocy stopy względnej i korzystać z
poprzedniego wzoru.
Dla upewnienia się, czy Państwo zrozumieli, polecam ponowne przerobienie zadania 6 z
kartki 1 i porównanie z wynikami otrzymanymi na zajęciach.
Uwaga Ta kartka kiedyś się powiększy, by wyjaśnić wpływ tych zmian stóp na nowe
typy zadań.
𝑟𝑒𝑓 = (1 +