Wykład 3

4. Szeregi liczbowe
Definicja 1. Niech (an )n∈N będzie ciągiem liczb rzeczywistych i niech
S n = a1 + · · · + an
dla n ∈ N. Szeregiem liczbowym nazywamy parę (an )n∈N , (Sn )n∈N i oznaczamy symbolem
∞
∞
P
P
an , a ciąg (Sn )n∈N nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu
an .
n=1
∞
P
Jeśli ciąg sum częściowych szeregu
i oznaczmy tym samym symbolem
Jeżeli szereg
∞
P
∞
P
n=1
an ma granicę, to nazywamy ją sumą szeregu
n=1
∞
P
an
n=1
an .
n=1
an ma skończoną sumę, to nazywamy go zbieżnym. W przeciwnym przy-
n=1
padku szereg nazywamy rozbieżnym.
∞
P
Przykład 1. Szereg
n=1
1
n(n+1)
jest zbieżny, bo jego sumy częściowe
1
1
1
1
Sn =
+
+ ··· +
+
=
1·2 2·3
(n − 1)n n(n + 1)
1
1
1
1 1
1
1
1
= 1−
−
−
−
,
+
+ ··· +
+
=1−
2
2 3
n−1 n
n n+1
n+1
gdzie n ∈ N, tworzą ciąg zbieżny do 1. Liczba 1 jest więc sumą tego szeregu, czyli
∞
P
n=1
Przykład 2. Szereg
∞
P
1
n(n+1)
= 1.
1 = 1 + 1 + · · · + 1 + · · · jest rozbieżny do +∞, bo ciąg sum
n=1
częściowych tego szeregu
Sn = |1 + 1 +{z· · · + 1} = n,
n ∈ N,
n razy
ma granicę równą +∞. Zatem
∞
P
1 = +∞.
n=1
∞
P
Przykład 3. Szereg
(−1)n+1 = 1−1+1−1+· · · jest rozbieżny, bo ciąg sum częściowych
n=1
tego szeregu jest postaci
Sn =
1, jeśli n jest liczbą nieparzystą,
,
0, jeśli n jest liczbą parzystą.
n ∈ N,
Łatwo pokazać, że taki ciąg nie posiada granicy.
Przykład 4. Niech a ∈ R\ {0}. Sumy częściowe szeregu geometrycznego
∞
P
aq n−1 = a +
n=1
aq + aq 2 + · · · mają postać
^
n∈N
Sn =



na,
a·
1−q n
1−q
1
gdy q = 1,
gdy q 6= 1.
Wobec tego ten szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1, przy czym
lim Sn =
n→∞
Zatem
∞
P
aq n−1 =
n=1
a
,
1−q
a
.
1−q
o ile |q| < 1.
Twierdzenie 1. (Warunek konieczny zbieżności szeregu)
Niech (an )n∈N będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg
∞
P
Przykład 5. Szereg
n=1
1
n(n+1)
∞
P
Przykład 6. Szereg
n=1
n
n+1
∞
P
1
n→∞ n(n+1)
jest zbieżny oraz lim
n
n→∞ n+1
jest rozbieżny, bo lim
an jest zbieżny, to lim an = 0.
n→∞
n=1
= 0.
= 1 6= 0, czyli nie jest spełniony
warunek konieczny zbieżności.
∞
P
Twierdzenie 2. Niech (an )n∈N i (bn )n∈N będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szeregi
∞
P
an i
bn są zbieżne i c ∈ R, to
n=1
n=1
∞
P
(i) szeregi
∞
P
(an + bn ) i
n=1
∞
X
∞
X
(an + bn ) =
n=1
(ii) szereg
∞
P
(an − bn ) są zbieżne oraz
n=1
an +
n=1
∞
X
bn ,
∞
X
n=1
n=1
(an − bn ) =
∞
∞
X
X
an −
bn ;
n=1
n=1
(c · an ) jest zbieżny, przy czym
n=1
∞
X
(c · an ) = c ·
n=1
n=1
∞
P
Przykład 7. Szeregi
n=1
1 n
2
∞
P
i
n=1
3 n
4
∞
X
an .
są zbieżne, jako szeregi geometryczne o ilorazach z
przedziału (−1, 1), a ponadto
∞ n
X
1
n=1
Zatem szereg
2
∞ n n
P
2 +3
n=1
4n
=
n=1
1−
1
2
=1
∞ n
X
3
oraz
n=1
4
=
3
4
1−
3
4
= 3.
jest zbieżny, bo
∞ n
X
2 + 3n
4n
1
2
=
∞ n
X
2
n=1
3n
+
4n 4n
=
∞ n
X
1
n=1
2
2
+
∞ n
X
3
n=1
4
= 1 + 3 = 4.
Twierdzenie 3. Jeżeli w szeregu zbieżnym zmienimy wartości dowolnej skończonej liczby
wyrazów, to szereg pozostanie zbieżny, choć może zmienić się suma szeregu. Jeżeli zrobimy to
samo z szeregiem rozbieżnym, to szereg pozostanie rozbieżny.
Twierdzenie 4. (Warunek konieczny i wystarczający zbieżności szeregu)
∞
P
Niech (an )n∈N będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Szereg
an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy,
n=1
gdy spełnia następujący warunek Cauchy’ego
^ _
^
|an + an+1 + · · · + am | < ε.
ε>0 n0 ∈N m>n>n0
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Niech (an )n∈N będzie ciągiem nieujemnych liczb rzeczywistych. Zauważmy, że ciąg (Sn )n∈N
∞
P
sum częściowych szeregu
an o wyrazach nieujemnych jest ciągiem niemalejącym, bowiem
n=1
kolejna suma powstaje z poprzedniej przez dodanie liczby nieujemnej. Każdy ciąg niemalejący ma granicę skończoną lub granicę niewłaściwą równą +∞. Zależy to od tego czy jest on
ograniczony, czy nieograniczony.
Zatem szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny [rozbieżny] wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg
sum częściowych tego szeregu jest ograniczony [nieograniczony].
Fakt 1. Niech p ∈ R. Szereg
∞
X
1
1
1
= 1 + p + p + ··· ,
p
n
2
3
n=1
(1)
jest zbieżny dla p > 1, a rozbieżny dla p ≤ 1. Szereg (1) nazywamy szeregiem harmonicznym
rzędu p.
Twierdzenie 5. (Kryterium porównawcze)
Jeżeli (an )n∈N i (bn )n∈N są takimi ciągami liczb rzeczywistych, że
^
0 ≤ an ≤ b n ,
n∈N
to
(i)
∞
P
an ≤
n=1
∞
P
bn ,
n=1
∞
P
(ii) ze zbieżności szeregu
bn wynika zbieżność szeregu
n=1
(iii) z rozbieżności szeregu
∞
P
∞
P
an ,
n=1
an wynika rozbieżność szeregu
n=1
∞
P
bn .
n=1
3
Przykład 8. Szereg
∞
P
n=1
^
n+2
n3 +1
jest zbieżny, bo
0≤
n+2
n+2
n + 2n
3n
3
≤
≤
= 3 = 2,
3
3
3
n +1
n
n
n
n
n∈N
oraz szereg
∞
P
n=1
3
n2
jest zbieżny, ponieważ zbieżny jest szereg
∞
P
n=1
1
n2
(jako szereg harmoniczny
rzędu p = 2). Ponadto
∞
X
n+2
∞
X
1
≤3·
.
3
2
n
+
1
n
n=1
n=1
Przykład 9. Szereg
∞ 2
P
n +2
n=1
jest rozbieżny, bo
n3 +1
^ n2 + 2
n2
n2
n2
1
≥
≥
=
=
≥ 0,
3+1
3+1
3 + n3
3
n
n
n
2n
2n
n∈N
oraz szereg
∞
P
n=1
1
2n
jest rozbieżny, ponieważ rozbieżny jest szereg
∞
P
1
n=1
n
(jako szereg harmoniczny
rzędu p = 1). Ponadto
∞
X
n2 + 2
n=1
n3 + 1
≥
∞
∞
X
n2 + 2
1 X1
·
= +∞ =⇒
= +∞.
3+1
2 n=1 n
n
n=1
Twierdzenie 6. (Kryterium ilorazowe)
Niech (an )n∈N i (bn )n∈N będą takimi ciągami liczb dodatnich, że istnieje granica
an
,
n→∞ bn
g := lim
i 0 < g < +∞. Wówczas szereg
∞
P
∞
P
an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
n=1
bn .
n=1
Przykład 10. Rozważmy szereg
∞
P
n=1
an =
2n!+1
.
(n+2)!
2n! + 1
(n + 2)!
Przyjmując w kryterium ilorazowym
bn =
oraz
1
,
n2
n ∈ N,
otrzymujemy
^
an > 0
∧
n∈N
oraz
^
bn > 0,
n∈N
2 + n!1
an
n2 (2n! + 1)
= 2.
= lim
= lim
n→∞ bn
n→∞ n!(n + 1)(n + 2)
n→∞ 1 + 1
1 + n2
n
g = lim
4
Ponieważ 2 ∈ (0, +∞) oraz szereg
∞
P
n=1
1
n2
jest zbieżny, więc także badany szereg jest zbieżny.
Twierdzenie 7. (Kryterium d’Alemberta)
∞
P
Jeżeli
an jest szeregiem o wyrazach dodatnich i istnieje granica
n=1
g := lim
n→∞
an+1
,
an
(właściwa lub niewłaściwa), to
(i) jeżeli g < 1, to szereg
∞
P
an jest zbieżny,
n=1
(ii) jeżeli g > 1, to szereg
∞
P
an jest rozbieżny,
n=1
(iii) jeżeli g = 1, to szereg
∞
P
an może być albo zbieżny albo rozbieżny (w tym przypadku to
n=1
kryterium nie rozstrzyga).
Przykład 11. Rozważmy szereg
∞ n
P
2
n=1
n!
. Wówczas przyjmując an =
^
2n
,
n!
n ∈ N, otrzymujemy
an > 0,
n∈N
oraz
2n+1
n!
2n · 2
n!
2
an+1
= lim
·
= lim
·
= lim
= 0 < 1.
lim
n→∞ (n + 1)! 2n
n→∞ (n + 1) · n! 2n
n→∞ (n + 1)
n→∞ an
∞ n
P
2
Zatem, na mocy kryterium d’Alemberta, szereg
jest zbieżny.
n!
n=1
Twierdzenie 8. (Kryterium Cauchy’ego)
∞
P
Jeżeli
an jest szeregiem o wyrazach nieujemnych i istnieje granica
n=1
g := lim
n→∞
√
n
an ,
(właściwa lub niewłaściwa), to
(i) jeżeli g < 1, to szereg
∞
P
an jest zbieżny,
n=1
(ii) jeżeli g > 1, to szereg
∞
P
an jest rozbieżny,
n=1
(iii) jeżeli g = 1, to szereg
∞
P
an może być albo zbieżny albo rozbieżny (w tym przypadku to
n=1
kryterium nie rozstrzyga).
5
∞
P
Przykład 12. Rozważmy szereg
5n−2 n
.
3n+2
n=1
Wówczas przyjmując an =
5n−2 n
,
3n+2
n ∈ N,
otrzymujemy
^
an ≥ 0,
n∈N
oraz
lim
n→∞
√
n
s
an = lim
n→∞
n
5n − 2
3n + 2
Zatem, na mocy kryterium Cauchy’ego, szereg
n
5n − 2
5
= > 1.
n→∞ 3n + 2
3
= lim
∞
P
n=1
5n−2 n
3n+2
jest rozbieżny.
wynika
Uwaga 1. Można wykazać, że jeśli an > 0 dla n ∈ N, to z istnienia granicy lim an+1
n→∞ an
√
istnienie granicy lim n an , przy czym obie te granice są równe.
n→∞
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Aby się o tym przekonać wystarczy rozważyć szereg
postaci
1 + 1 + a + a + a2 + a2 + · · · ,
gdzie 0 < a < 1.
Wystarczy zauważyć, że dla takiego szeregu
lim
√
n
n→∞
an =
√
a<1
a zatem na mocy kryterium Cauchy’ego otrzymujemy, że rozważany szereg jest zbieżny. Z
drugiej strony ciąg
an+1
= (1, a, 1, a, 1, a, . . .)
an n∈N
nie ma granicy, tzn. nie istnieje granica lim an+1
.
n→∞ an
Oznacza to, że kryterium Cauchy’ego jest silniejsze aniżeli kryterium d’Alemberta.
SZEREGI NAPRZEMIENNE
Definicja 2. Niech (an )n∈N będzie ciągiem liczb dodatnich. Szereg postaci
∞
P
(−1)n+1 an
n=1
nazywamy szeregiem naprzemiennym.
Twierdzenie 9. (Kryterium Leibniza)
Jeżeli (an )n∈N jest nierosnącym ciągiem liczb dodatnich zbieżnym do zera, to szereg naprze∞
P
(−1)n+1 an jest zbieżny. Ponadto, n-ta suma częściowa Sn tego szeregu różni się od
mienny
n=1
jego sumy o nie więcej niż an+1 , to znaczy
∞
X
n+1
(−1) an ≤ an+1 ,
Sn −
n=1
6
n ∈ N.
∞
P
Przykład 13. Rozważmy szereg naprzemienny
(−1)n+1 n1 , który nosi nazwę szeregu an-
n=1
harmonicznego. Wówczas an = n1 , n ∈ N. Jest to ciąg zbieżny do zera i malejący, bo
^
1
1
−1
an+1 − an =
− =
< 0.
n
+
1
n
n(n
+
1)
n∈N
Zatem, na mocy kryterium Leibniza, rozważany szereg naprzemienny jest zbieżny.
Szeregi o wyrazach dowolnych
Niech (an )n∈N będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych.
∞
P
Definicja 3. Szereg
∞
P
an nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli zbieżny jest szereg
n=1
|an |.
n=1
∞
P
Definicja 4. Szereg
an nazywamy zbieżnym warunkowo, jeżeli jest zbieżny, ale nie
n=1
jest bezwzględnie zbieżny.
Przykład 14. Z poprzedniego przykładu wiemy, że szereg anharmoniczny
∞
P
(−1)n+1 n1 jest
n=1
zbieżny. Z drugiej strony
X
∞ ∞
X
1
1
n+1
(−1)
=
,
n
n
n=1
n=1
czyli otrzymaliśmy szereg harmoniczny rzędu p = 1, o którym wiemy, że jest rozbieżny. Zatem szereg anharmoniczny nie jest bezwzględnie zbieżny. Ostatecznie wnioskujemy, że szereg
anharmoniczny jest warunkowo zbieżny.
Przykład 15. Rozważmy szereg postaci
∞
P
cos n
n=1
n2
. Zauważmy, że
∞ ∞
∞
X
cos n X |cos n| X 1
=
≤
.
2 2
2
n
n
n
n=1
n=1
n=1
Wiemy, że szereg
∞
P
n=1
1
n2
jest zbieżny jako harmoniczny rzędu p = 2, zatem na mocy kryterium
porównawczego zbieżny jest szereg
∞ ∞
P
P
cos n
cos2n . Oznacza to, że szereg
jest bezwzględnie
n
n2
n=1
n=1
zbieżny.
Twierdzenie 10. Jeżeli szereg
∞
P
an jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny, a ponadto
n=1
zachodzi nierówność
∞ ∞
X X
|an | .
an ≤
n=1
n=1
7
Twierdzenie 11. Jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to dowolna zmiana kolejności
wyrazów lub łączenie wyrazów w grupy nie narusza zbieżności szeregu ani nie zmienia jego
sumy.
Jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to zmieniając kolejność jego wyrazów można uzyskać
zeń szeregi o dowolnie pomyślanych sumach, a także szeregi rozbieżne.
8