Wykłady z matematyki

Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Andrzej Musielak
Rok akademicki 2016/17
UTP Bydgoszcz
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie
Całkowanie to operacja odwrotna do liczenia pochodnych,
tzn.: ∫ f (x)dx = F (x) + C ⇔ F ′ (x) = f (x) Z definicji oraz z
tabeli pochodnych funkcji elementarnych od razu wynika
tabela całek funkcji elementarnych:
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie
Całki funkcji elementarnych:
x n+1
n
x
dx
=
+C dla n ≠ −1, w szczególności:
∫
n+1
x2
1dx
=
x
+
C
,
xdx
=
+ C,
∫
∫
2
√
dx
1
dx
∫ x 2 = − x + C , ∫ √x = 2 x + C
x
x
∫ e dx = e + C ,
1
∫ x dx = ln ∣x∣ + C
ax
x
+ C,
a
dx
=
∫
ln a
∫ sin xdx = − cos x + C , ∫ cos xdx = sin x + C ,
dx
dx
∫ cos2 x = tg x + C , ∫ sin2 x = − ctg x + C
dx
dx
= arc sin x + C , ∫
= arc tan x + C
∫ √
2
1 + x2
1−x
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie
Podobnie jak przy pochodnych mamy też wzory:
∫ (f (x) + g (x))dx = ∫ f (x)dx + ∫ g (x)dx,
∫ af (x)dx = a ∫ f (x)dx Wszystkie inne całki będziemy starali
się sprowadzić do całek z funkcji elementarnych.
Dwa główne narzędzia, które do tego służą to całkowanie
przez części oraz całkowanie przez podstawienie. ◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie przez części
Wzór na całkowanie przez części: ∫ u ′ v = uv − ∫ uv ′ Jego
stosowanie ma sens wtedy gdy całka po prawej stronie
równości będzie łatwiejsza do policzenia niż ta po lewej.
Przykład:
u ′ = cos x u = sin x
∣ = x sin x − ∫ sin x =
∫ x cos xdx = ∣ v = x
v′ = 1
= x sin x + cos x + C Gdybyśmy przyjęli odwrotnie, tzn.
u ′ = x, v = cos x, to nową całką byłaby ∫ x 2 sin x, czyli byłaby
trudniejsza niż wyjściowa. ◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie przez podstawianie
Całkowanie przez podstawienie odbywa się według schematu:
t = g (x)
′
′
∫ f (g (x))g (x)dx = ∣dt = g ′ (x)dx ∣ =
= ∫ f ′ (t)dt = f (t) + C = f (g (x)) + C
Praktyczna wskazówka jest taka, żeby w funkcji podcałkowej
szukać pary: funkcja i jej pochodna stojąca przy dx.
O ile w przypadku liczenia pochodnych na wszystko jest
algorytm, o tyle przy całkowaniu potrzebna jest odrobina
inwencji: po pierwsze trzeba wybrać metodę całkowania, a po
drugie przy podstawieniu trzeba znaleźć odpowiednie
podstawienie. Nie ma innej metody na nauczenie się tego niż
samodzielne policzenie n całek dla dostatecznie dużych n
(proponowałbym n ≥ 200).
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie przez podstawianie
Przykłady:
RRR t = x 2 RRR
RRR
RRR 1
1
1 2
R
RRR = ∫ e t dt = e t + C = e x + C
dt
=
2xdx
xe
dx
=
R
∫
RRR 1
2
2
RRR 2 dt = xdx RRRRR 2
t = ln x
dx
dt
∫ x ln x = ∣dt = dx ∣ = ∫ t = ln ∣t∣ + C = ln ∣ ln x∣ + C
x
RRR t = x 2 RRR
RRR
RRR 1
dt
1
1
xdx
2
R
RRR = 2 ∫ 1+t
dt
=
2xdx
=
R
4
2 = 2 arc tan t +C = 2 arc tan x +C
∫ 1+x RR
R
1
RRR dt = xdx RRR
R2
R
◇
x2
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Ćwiczenia
Oblicz całki stosując metodę całkowania przez części:
a) ∫ x cos xdx b) ∫ x 2 e x dx
c) ∫ x ln xdx
arc tan xdx
d) ∫ ln xdx
e) ∫ 1+x 2
f) ∫ x arc tan xdx
g) ∫ x ln2 xdx h) ∫ e x cos 2xdx
Oblicz całki stosując metodę całkowania przed podstawienie:
tan xdx
a) ∫ x cos x 2 dx b) ∫ (2x 2 − 5)2012 xdx
c) ∫ arc1+x
2
2
2
ln xdx
x
dx
dx
d) ∫ x
f)∫ x 6 +1
e) ∫ √ 2
x 1−ln x
2
dx
h) ∫ e x sin e x cos e x dx
g) ∫ e x +e
−x
Oblicz całki:
2
x+1
a) ∫ x 3 e x dx
b) ∫ e 2x sin e x dx c) ∫ sin
2 dx
x
sin 2xdx
2
d) ∫ arc sin xdx e) ∫ arc cos xdx f)∫ cos4 x+1 ◇
g) ∫ lnxxdx
h) ∫ cosx2 x dx
3
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie funkcji wymiernych
Funkcje wymierne to funkcje postaci ”wielomian przez
wielomian”. Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernych są
tzw. ułamki proste czyli funkcje wymierne postaci:
A
Ax+B
(ax+b)n oraz (ax 2 +bx+x)n przy czym w mianowniku ∆ < 0
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie ułamków prostych
Każdy typ ułamka prostego umiemy scałkować, co łatwo widać
na przykładach:
2
1
∫ x−4 dx = 2 ∫ x−4 dx = 2 ln ∣x − 4∣ + C
(x−1)−3
1
−4
∫ (x−1)4 dx = ∫ (x − 1) dx = −3 + C
6x+5
∫ x 2 +4x+8 dx = . . . W pamięci liczymy, że pochodną
mianownika jest 2x + 4, a następnie chcemy ”wyodrębnić”
tę pochodną w liczniku:
2x+4
1
. . . = ∫ 3(2x+4)−7
x 2 +4x+8 dx = 3 ∫ x 2 +4x+8 dx − 7 ∫ x 2 +4x+8 dx W
pierwszej całce możemy skorzystać z faktu, że
f′
∫ f dx = ln ∣f ∣, co oznacza, że ta całka jest równa
ln(x 2 + 4x + 8). Natomiast drugą całkę policzymy
1
1
x
korzystając ze wzoru ∫ x 2 +a
2 dx = a arc tan a :
1
1
1
x+2
∫ x 2 +4x+8 dx = ∫ (x+2)2 +22 dx = 2 arc tan 2 Ostatecznie
więc nasza całka to:
3 ln(x 2 + 4x + 8) − 72 arc tan x+2
2 +C
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie ułamków prostych
6x+5
∫ (x 2 +4x+8)3 W takim wypadku przekształcamy nawias z
mianownika do postaci t 2 + 1:
2
) + 1) więc nasza
x 2 + 4x + 8 = (x + 2)2 + 4 = 4 ⋅ (( x+2
2
całka jest równa:
x+2
6x+5
1
3 dx i teraz podstawiamy
64 ∫
2 = t, skąd
x+2 2
((
2
) +1)
dx = 2dt oraz x = 2t − 2, więc mamy:
1
6
7
12t−7
2t
1
32 ∫ (t 2 +1)3 dt = 32 ∫ (t 2 +1)3 dt − 32 ∫ (t 2 +1)3 dt W pierwszej
całce wystarczy teraz podstawić t 2 + 1 = u i 2tdt = du, by
sprawdzić, że:
2t
du
1
1
∫ (t 2 +1)3 dt = ∫ u3 = − 2u2 + C = − 2(t 2 +1)2 + C =
− x+21 2 + C
2((
2
)+1)
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie ułamków prostych
Natomiast w drugiej całce możemy użyć wzoru rekurencyjnego
1
- jeśli oznaczymy In = ∫ (t 2 +1)
n dt, to:
In =
t
2n − 3
+
In−1
2(n − 1)(t 2 + 1)n−1 2n − 2
Widać więc, że nasze szukane I3 możemy sprowadzić do
liczenia I2 , a to z kolei możemy sprowadzić do liczenia I1 , które
oczywiście jest równe arc tan t. Policzenie szukanej całki jest
więc wykonalne, ale bardzo żmudne. Skoro umiemy całkować
każdy ułamek prosty, to gdyby dowolną funkcję wymierną dało
się przedstawić jako sumę ułamków prostych, to udałoby się
też ją scałkować. Okazuje się, że takie przedstawienie jest
możliwe, o czym mówi nam twierdzenie o rozkładzie funkcji
wymiernej na ułamki proste.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
Aby rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste najpierw
musimy zadbać o to by stopień wielomianu w liczniku był
niższy niż stopień wielomianu w mianowniku. Jeśli tak nie jest,
to zaczynamy od podzielenia (pisemnie) wielomianu z licznika
przez wielomian z mianownika:
(x 2 −x+2)(x 2 +3x)−7x+1
x 4 +2x 3 −x+1
=
= (x 2 + 3x) − x 7x−1
2
2 −x+2 Gdybyśmy
x −x+2
x 2 −x+2
całkowali wyjściową funkcję, to powyższe przekształcenie
sprowadza nam problem do scałkowania wielomianu x 2 + 3x
(co umiemy) oraz scałkowania nowej funkcji wymiernej, w
której już jest tak jak chcemy, czyli stopień wielomianu z
licznika jest mniejszy niż stopień wielomianu z mianownika.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
Jeśli już tak jest, to możemy rozłożyć taką funkcję wymierną
postępując według schematu:
Rozkładamy wielomian z mianownika na czynniki. Jak
wiadomo każdy wielomian daje się rozłożyć na iloczyn
wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
Zależnie od postaci czynników przewidujemy jakiego typu
ułamki proste znajdą się w rozkładzie:
Rodzaj czynnika Postać ułamka prostego
A
x −2
x−2
A
C
B
(x − 1)3
x−1 + (x−1)2 + (x−1)3
Ax+B
x2 + x + 1
x 2 +x+1
Ax+B
Cx+D
Ex+F
(x 2 + 1)3
x 2 +1 + (x 2 +1)2 + (x 2 +1)3
x
A
B
Przykładowo: (x−3)(x+1)
= x−3
+ x+1
2x−1
A
B
C
Ex+F
x 3 (x 2 +1) = x + x 2 + x 3 + x 2 +1
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
Znajdujemy wartości stałych A, B, C , . . . z ułamków
prostych:
Sprowadzamy ułamki proste do wspólnego mianownika.
Porównujemy licznik tego co wyszło z licznikiem
wyjściowej funkcji wymiernej.
Wstawiamy w miejsce x tyle różnych wartości ile mamy
stałych A, B, C , . . . do znalezienia (przy czym wartości te
wybieramy tak, by liczyło się najwygodniej)
Rozwiązujemy otrzymany układ równań liniowych
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
Przykład:
x
∫ x 2 −3x+2 Rozkładamy funkcję na ułamki proste:
A(x−2)+B(x−1)
x
x
A
B
Porównujemy
(x−1)(x−2)
x 2 −3x+2 = (x−1)(x−2) = x−1 + x−2 =
liczniki: x = A(x − 2) + B(x − 1) i wstawiając kolejno x = 1 i
x = 2 otrzymujemy 1 = −A (czyli A = −1) oraz B = 2. Tak więc
nasza całka to:
x
1
1
∫ x 2 −3x+2 = − ∫ x−1 + 2 ∫ x−2 = − ln ∣x − 1∣ + 2 ln ∣x − 2∣ + C ==
2
ln (x−2)
∣x−1∣ + C
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Ćwiczenia
Oblicz całki z funkcji wymiernych:
a) ∫ 2x+1
b) ∫ xx−1
3 +x dx
x 2 −x dx
2
x +3
d) ∫ x 3 −x 2 −x+1 dx e) ∫ 4x 23x+1
+4x+17 dx
Andrzej Musielak
c) ∫
f) ∫
9x+1
x 3 +3x 2 +7x+5 dx
1
(x 2 +4x+5)2 dx
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
◇◇
Całkowanie funkcji niewymiernych
Przez ”funkcje niewymierne” będziemy rozumieć tutaj tylko
funkcje, w których występuje pierwiastek bądź z trójmianu
kwadratowego, bądź też z funkcji homograficznej. Oczywiście
w istocie klasa funkcji niewymiernych jest o wiele szersza (w
szczególności można by do tego działu dorzucić całkowanie
wyrażeń dwumiennych oraz całki eliptyczne), ale dla naszych
potrzeb wystarczą tylko wymienione typy. ◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
√
Całki z funkcji z ax 2 + bx + c
Kluczowe są tutaj dwa
√ wzory:
1
1
x
2
∫ √x 2 +q dx = ln ∣x + x + q∣ + C , ∫ √q−x 2 dx = arc sin √q + C
lub ogólniej:
√
1
√
dx
=
ln
∣∣x
−
p
+
(x − p)2 + q∣ + C ,
∫ (x−p)2 +q
x−p
1
∫ √q−(x−p)2 dx = arc sin √q + C
Jeśli więc liczymy całkę postaci ∫ √ax 2dx+bx+c , to wystarczy
sprowadzić trójmian z mianownika do postaci kanonicznej.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
√
Całki z funkcji z ax 2 + bx + c
Przykład: ∫
√ 3dx
4x 2 +4x+9
=∫
√
√
3
2
ln ∣x + 12 +
3dx
4(x+ 12 )2 +8
= 23 ∫
√
dx
(x+ 12 )2 +2
==
(x + 12 )2 + 2∣
Jeśli w liczniku mamy wyrażenie liniowe, to możemy
”wyodrębnić” z licznika pochodną trójmianu z mianownika i
podzielić szukaną całkę na dwie całki.
1
(8x+4)+2
Przykład: ∫ √4x2x+3
dx = ∫ √4 4x 2 +4x+9 dx ==
2 +4x+9
1
√ 8x+4
dx + 2 ∫ √4x 21+4x+9 dx Druga całka to ta z
4∫
4x 2 +4x+9
poprzedniego przykładu. Natomiast, żeby policzyć pierwszą
wystarczy scałkować przez podstawienie:
√
t = 4x 2 + 4x + 9
dt
8x+4
∫ √4x 2 +4x+9 dx = ∣dt = (8x + 4)dx ∣ = ∫ √t = 2 t + C ==
√
2 4x 2 + 4x + 9 + C
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
√
Całki z funkcji z ax 2 + bx + c
Jeśli natomiast w liczniku mamy wielomian stopnia wyższego
niż jeden, to możemy przewidzieć postać rozwiązania. Jeśli
Wn (x) jest wielomianem n-tego stopnia, to dla pewnego
wielomianu Vn−1 (x) stopnia n − 1 i dla pewnej stałej A
zachodzi równość:
√
Wn (x)dx
Adx
2
∫ √ax 2 +bx+c = Vn−1 (x) ax + bx + c + ∫ √ax 2 +bx+c Ostatnią
całkę już umiemy policzyć, wystarczy zatem znaleźć wielomian
Vn−1 (x) i stałą A. Można to zrobić licząc pochodną obu stron,
porządkując obie strony i porównując współczynniki przy
odpowiednich potęgach wielomianów. ◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całki z funkcji z
n
ax+b
cx+d
Jeśli
podcałkowej występują wyrażenia postaci
√ w funkcji
√
√
n ax+b
m ax+b
r ax+b
,
,
.
.
.,
to
używamy
podstawienia
t
=
cx+d
cx+d
cx+d ,
gdzie r to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb n, m, . . ..
Przykładowo:
√
√
3 x+√x
12
W całce ∫ √
x
4 x+3 dx podstawilibyśmy t =
√
√
x−2
W całce ∫ x−2
x+4 dx podstawilibyśmy t =
x+4
√
1
W całce ∫ √ 1 dx√
podstawilibyśmy t = 6 x−1
+3 1
x−1
x−1
Ideą takiego podstawienia jest sprowadzenie naszej całki do
całki z funkcji wymiernej przez pozbycie się pierwiastków.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całki z funkcji z
n
ax+b
cx+d
Przykłady:
RRR t = 12√x RRR
RRR
RRR
11 dt
1
12 = x
R
RRR = ∫ 2t12t
√
√
√
t
dx
=
R
4
3
3 +t 4 +t 6
∫ 2 x+ x+ x
RRR
RRRdx = 12t 11 dt RRRRR
√
√
x−1
dx
=
∣
∣ = . . . Z podstawienia wyznaczamy x:
x
t = x−1
∫
x+2
x+2
2t 2 +1
2
2
2
2
t 2 = x−1
x+2 , t x + 2t = x − 1, x − t x = 2t + 1, x = 1−t 2 i
6t
obliczamy, że dx = (1−t
2 )2 dt, więc nasza całka to:
6t
. . . = ∫ 2t1−t+12 ⋅ t ⋅ (1−t
2 )2 dt czyli dostajemy zwykłą całkę z funkcji
wymiernej (choć akurat tutaj skomplikowaną rachunkowo). ◇
2
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Ćwiczenia
Oblicz całki z funkcji niewymiernych:
dx
3x−1
a) ∫ √6x−x
b) ∫ √5+4x−x
dx
2
2
√
d) ∫ √x+1+3 √
dx e) ∫ x 2 x − 3dx
3
x+1
Andrzej Musielak
2
dx
c)* ∫ √xx2 +2x+2
√
◇
dx
f) ∫ 1−x
1+x x
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Najskuteczniejszą (choć nie zawsze najszybszą) metodą
całkowania funkcji w których pojawiają się funkcje
trygonometryczne jest zastosowanie podstawienia
uniwersalnego:
x
2dt
2t
1 − t2
Jeśli t = tg to dx =
To
,
sin
x
=
,
cos
x
=
2
1 + t2
1 + t2
1 + t2
podstawienie pozwala pozbyć się z funkcji podcałkowej funkcji
trygonometrycznych, jeśli więc wyjściowa funkcja podcałkowa
była funkcją wymierną od sinusa i cosinusa, to nowa całka
będzie całką ze zwykłej funkcji wymiernej.
Przykład:
x
1
1
2dt
2dt
∫ 2 sin x+3 cos x dx = ∣t = tg 2 ∣ = ∫ 2t 1−t 2 1+t 2 = ∫ −3t 2 +4t+3 co
2⋅
1+t 2
+3⋅
1+t 2
sprowadza liczenie do takiej całki jaką już umiemy.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Czasem jednak można liczyć prościej. Najbardziej typowym
przykładem są całki postaci: ∫ sinn x cosm xdx Postępujemy
wówczas według schematu:
Jeśli n, m są nieparzyste, to podstawiamy t = sin x lub
t = cos x
Jeśli n jest nieparzyste, a m parzyste, to podstawiamy
t = cos x
Jeśli n jest parzyste, a m nieparzyste, to podstawiamy
t = sin x
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Jeśli n, m są parzyste, to mamy trzy możliwości:
Użyć podstawienia podobnego do uniwersalnego, tzn.:
t2
1
dt
2
,
sin
x
=
, cos2 x =
Jeśli t = tg x to dx =
2
2
1+t
1+t
1 + t2
sin 2x
1+cos 2x
2
Użyć wzorów sin x cos x = 2 i cos x =
2
Pozbyć się jednej z funkcji sin, cos i zastosować wzory
rekurencyjne
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Przykłady: ∫ sin2 x cos3 xdx = ∫ sin2 x(1 − sin2 x) cos xdx =
t = sin x
∣
∣ = (t 2 − t 4 )dt =
dt = cos dx ∫
3
5
3
5
= t3 − t5 + C = sin3 x − sin5 x + C ∫ sin2 x cos4 xdx = ∣t = tg x∣ =
t2
1
dt
∫ t 2 +1 ⋅ (1+t 2 )2 ⋅ 1+t 2 W ten sposób otrzymujemy całkę z funkcji
wymiernej, a to już umiemy (choć akurat w tym przypadku
trzeba się mocno nagimnastykować ze wzorami na In )
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Przykłady: ∫ sin2 x cos4 xdx = ∫ (sin x cos x)2 cos2 xdx =
2
1
4 ∫ sin 2x(1 + cos 2x)dx =
t = 2x
∣ = 1 (sin2 t + sin2 t cos t)dt Scałkować sin2 t cos t
=∣
dx = 21 dt 8 ∫
oczywiście umiemy, natomiast w przypadku całki z sin2 t
sin2 xdx = 21 x + sin x cos x + C ,
wystarczy zastosować: ∫
◇
1
2
∫ cos xdx = 2 x − sin x cos x + C
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone
Ćwiczenia
Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych:
1+sin x
a) ∫ sin x(1+cos
b) ∫ sin13 x dx
x) dx
◇◇
c) ∫ sin5 x cos4 xdx d) ∫ sin2 x cos2 xdx
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Całki nieoznaczone