Spis rzeczy

Spis rzeczy
Spis tabel zamieszczonych w tekście . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XLI
1. ARYTMETYKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1. Elementarne reguły rachunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Liczby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.1. Liczby naturalne, całkowite i wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.2. Liczby niewymierne i przestępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.3. Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Metody dowodzenia twierdzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1. Dowód wprost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2. Dowód nie wprost i przez zaprzeczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.3. Indukcja zupełna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.4. Dowód konstruktywny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Sumy i iloczyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.1. Sumy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.2. Iloczyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Potęgi, pierwiastki i logarytmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.1. Potęgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.2. Pierwiastki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.3. Logarytmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.4. Pewne szczególne logarytmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Wyrażenia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5.2. Typy wyrażeń algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6. Wyrażenia wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.1. Przedstawienie w postaci wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.2. Rozkład wielomianu na czynniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.3. Wzory skróconego mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.4. Dwumian Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.5. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika dwóch wielomianów
1.1.7. Wyrażenia ułamkowe wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.1. Sprowadzanie do najprostszej postaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.2. Wyznaczanie części całkowitej wyrażenia wymiernego . . . . . . . . .
1.1.7.3. Rozkład na ułamki proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.4. Przekształcanie proporcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8. Wyrażenia niewymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Szeregi skończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Definicja szeregu skończonego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Szereg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Szereg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Niektóre szczególne szeregi skończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2
5
5
6
6
7
7
7
8
9
9
9
10
11
12
12
12
13
13
13
13
14
16
16
16
17
17
19
19
20
20
20
21
21
VIII
Spis rzeczy
1.2.5. Wartości średnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.1. Średnia arytmetyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.2. Średnia geometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.3. Średnia harmoniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.4. Średnia kwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.5. Porównanie wartości średnich dla dwu dodatnich liczb a i b . . . .
1.3. Matematyka finansowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Rachunek procentowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Rachunek stóp procentowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Rachunek kredytowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.1. Spłata kredytu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.2. Równe raty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.3. Równe zobowiązania roczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Rachunek rentowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.1. Renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.2. Renty stałe realizowane z dołu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.3. Stan konta po n płatnościach rentowych . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5. Odpisy, amortyzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Nierówności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Nierówności właściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.2. Własności nierówności typu I i II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Niektóre ważniejsze nierówności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.1. Nierówność trójkąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.2. Nierówności dla wartości bezwzględnej różnicy dwu liczb . . . . . .
1.4.2.3. Nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną . . . . .
1.4.2.4. Nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną i kwadratową . . . . . .
1.4.2.5. Nierówności pomiędzy różnymi średnimi dwóch liczb rzeczywistych
1.4.2.6. Nierówność Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.7. Nierówność dwumianowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.8. Nierówność Cauchy’ego–Schwarza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.9. Nierówność Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.10. Uogólniona nierówność Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.11. Nierówność Höldera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.12. Nierówność Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Rozwiązywanie nierówności pierwszego i drugiego stopnia . . . . . . . . . . .
1.4.3.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.2. Nierówności pierwszego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.3. Nierówności drugiego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.4. Ogólny przypadek nierówności drugiego stopnia . . . . . . . . . . .
1.5. Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Liczby urojone i zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.1. Jednostka urojona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.2. Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Interpretacja geometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.1. Przedstawienie wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.2. Równość liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.3. Postać trygonometryczna liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.4. Przedstawienie wykładnicze liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.5. Liczby zespolone sprzężone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
22
22
22
22
23
23
23
24
25
25
25
26
27
27
27
28
28
31
31
31
32
33
33
33
33
34
34
34
34
34
35
35
35
36
36
36
37
37
37
38
38
38
38
38
38
38
38
39
40
Spis rzeczy
1.5.3. Działania algebraiczne na liczbach zespolonych . . . . . . . . . .
1.5.3.1. Dodawanie i odejmowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.2. Mnożenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.3. Dzielenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.4. Wzory ogólne dla czterech podstawowych działań . . .
1.5.3.5. Potęgi liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.6. Pierwiastkowanie liczb zespolonych . . . . . . . . . . . .
1.6. Równania algebraiczne i przestępne . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Porządkowanie równań algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1.2. Układy n równań algebraicznych . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1.3. Pierwiastki obce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Równania stopnia pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego .
1.6.2.1. Równania pierwszego stopnia (liniowe) . . . . . . . . . .
1.6.2.2. Równania drugiego stopnia (kwadratowe) . . . . . . . .
1.6.2.3. Równania trzeciego stopnia (sześcienne) . . . . . . . . .
1.6.2.4. Równania czwartego stopnia (dwukwadratowe) . . . . .
1.6.2.5. Równania stopnia piątego i wyższych . . . . . . . . . . .
1.6.3. Równania n-tego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3.1. Ogólne własności równań algebraicznych . . . . . . . . .
1.6.3.2. Równania o współczynnikach rzeczywistych . . . . . . .
1.6.4. Sprowadzanie równań przestępnych do równań algebraicznych .
1.6.4.1. Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.2. Równania wykładnicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.3. Równania logarytmiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.4. Równania trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.5. Równania z funkcjami hiperbolicznymi . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
IX
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
40
40
41
41
41
42
42
42
42
43
43
43
43
43
44
46
47
47
47
48
50
50
50
50
51
51
2. FUNKCJE I ICH PRZEDSTAWIENIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Pojęcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Definicja funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.1. Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.2. Funkcje rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.3. Funkcje wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.4. Funkcje zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.5. Inne funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.6. Funkcjonały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.7. Funkcja i odwzorowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Metopy definiowania funkcji rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.1. Sposoby określania funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.2. Określenie analityczne funkcji rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Własności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.1. Funkcje monotoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.2. Funkcje ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.3. Ekstrema funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.4. Funkcje parzyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.5. Funkcje nieparzyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.6. Przedstawienie funkcji za pomocą jej części parzystej i nieparzystej
2.1.3.7. Funkcje okresowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.8. Funkcje odwrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
52
52
52
52
52
52
52
53
53
54
54
54
55
55
55
56
56
56
57
57
57
X
Spis rzeczy
2.1.4. Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.1. Definicja granicy funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.2. Ciągowa definicja granicy funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.3. Kryterium zbieżności Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.4. Granice niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.5. Lewostronna i prawostronna granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.6. Granica funkcji przy x dążącym do nieskończoności . . . . . . . . . .
2.1.4.7. Twierdzenia dotyczące granic funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.8. Rachunek granic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.9. Uporządkowanie funkcji ze względu na ich wzrost, symbole Landaua
2.1.5. Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5.1. Ciągłość i punkty nieciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5.2. Definicja ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5.3. Najczęściej spotykane przykłady nieciągłości . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5.4. Ciągłość i punkty nieciągłości funkcji elementarnych . . . . . . . . . .
2.1.5.5. Własności funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Funkcje elementarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Funkcje algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1. Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.2. Funkcje wymierne ułamkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.3. Funkcje niewymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Funkcje przestępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.1. Funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.2. Funkcja logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.3. Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.4. Funkcje cyklometryczne (odwrotne do funkcji trygonometrycznych) .
2.2.2.5. Funkcje hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.6. Funkcje odwrotne względem funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . .
2.2.3. Funkcje złożone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Funkcje liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Trójmian kwadratowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Wielomian trzeciego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Wielomian n-tego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5. Funkcja potęgowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Funkcje wymierne ułamkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Krzywa trzeciego stopnia, typu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Krzywa trzeciego stopnia, typu II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Krzywa trzeciego stopnia, typu III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5. Potęga o wykładniku ujemnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Funkcje niewymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Pierwiastek kwadratowy z funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Funkcja potęgowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Funkcja logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Krzywa dzwonowa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
58
58
58
59
59
59
60
60
62
63
63
64
64
65
66
67
67
68
68
68
68
68
68
68
69
69
69
69
69
69
70
70
71
71
72
72
72
73
74
76
76
76
76
77
78
78
79
79
Spis rzeczy
2.6.4. Sumy funkcji wykładniczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5. Uogólniona krzywa dzwonowa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.6. Iloczyn funkcji potęgowej i wykładniczej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1.1. Definicje i wykresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1.2. Dziedziny i przebieg wykresu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2. Podstawowe relacje dla funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.1. Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi . . . . . . . . . . .
2.7.2.2. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy dwóch kątów (wzory sumacyjne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.3. Funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.4. Funkcje trygonometryczne kąta połówkowego . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.5. Suma i różnica funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.6. Iloczyny funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.7. Potęgi funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3. Opis drgań harmonicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.1. Sformułowanie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.2. Superpozycja drgań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.3. Przedstawienie wektorowe drgań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.4. Drgania tłumione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Funkcje cyklometryczne (funkcje arcus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1. Definicja funkcji cyklometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2. Wartość główna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3. Relacje pomiędzy wartościami głównymi funkcji cyklometrycznych . . . . . .
2.8.4. Wzory dla argumentów ujemnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5. Suma i różnica arc sin x i arc sin y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.6. Suma i różnica arc cos x i arc cos y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.7. Suma i różnica arc tg x i arc tg y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.8. Pewne szczególne relacje między arc sin x, arc cos x, arc tg x . . . . . . . . . .
2.9. Funkcje hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1. Definicja funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2. Wykresy funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.1. Sinus hiperboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.2. Cosinus hiperboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.3. Tangens hiperboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.4. Cotangens hiperboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3. Ważne wzory dla funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.1. Funkcje hiperboliczne tego samego argumentu . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.2. Przedstawienie jednej funkcji hiperbolicznej przez inne tego samego
argumentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.3. Wzory dla ujemnych argumentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.4. Funkcje hiperboliczne sumy i różnicy dwóch argumentów . . . . . . .
2.9.3.5. Funkcje hiperboliczne podwojonego argumentu . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.6. Wzory de Moivre’a dla funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.7. Funkcje hiperboliczne argumentu połówkowego . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.8. Sumy i różnice funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.9. Relacje między funkcjami hiperbolicznymi i trygonometrycznymi dla
argumentów zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XI
79
80
81
82
82
82
84
86
86
86
87
88
88
88
89
89
89
90
90
90
91
91
92
93
93
93
93
94
94
95
95
96
96
96
96
96
96
96
97
97
97
97
97
97
98
98
XII
Spis rzeczy
2.10. Funkcje odwrotne względem funkcji hiperbolicznych (funkcje area) . .
2.10.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.1. Area sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.2. Area cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.3. Area tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.4. Area cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2. Wyrażenie funkcji area za pomocą logarytmów wyrażeń algebraicznych
2.10.3. Relacje między różnymi funkcjami area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.4. Sumy i różnice funkcji area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.5. Wzory dla ujemnych argumentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Krzywe trzeciego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1. Parabola półsześcienna lub parabola Neila . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.2. Wersiera Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.3. Liść Kartezjusza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.4. Cysoida Dioklesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.5. Strofoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12. Krzywe czwartego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.1. Konchoida Nikomedesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.2. Uogólniona konchoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.3. Ślimak Pascala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.4. Kardioida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.5. Owal Cassiniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.6. Lemniskata Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13. Cykloidy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.1. Cykloidy zwykłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.2. Cykloidy wydłużone i skrócone (trochoidy) . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.3. Epicykloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.4. Hipocykloida i asteroida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.5. Epicykloida i hipocykloida, skrócona i wydłużona . . . . . . . . . . . . .
2.14. Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.1. Spirala Archimedesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.2. Spirala hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.3. Spirala logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.4. Ewolwenta koła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.5. Klotoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15. Inne krzywe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15.1. Linia łańcuchowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15.2. Traktrysa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16. Wyznaczanie wzorów krzywych empirycznych . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1. Typowe procedury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1.1. Porównywanie wykresów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1.2. Rektyfikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1.3. Wyznaczanie parametrów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2. Najczęściej stosowane wzory empiryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.1. Funkcja potęgowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.2. Funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.3. Trójmian kwadratowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.4. Funkcja homograficzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
98
98
98
99
99
99
100
100
100
101
101
101
101
102
102
103
103
103
104
105
105
106
107
108
108
108
109
110
110
111
111
112
112
113
113
114
114
114
115
115
115
115
115
116
116
117
118
118
Spis rzeczy
2.16.2.5. Pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego . . . . . . .
2.16.2.6. Uogólniona krzywa dzwonowa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.7. Krzywa trzeciego stopnia typu II . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.8. Krzywa trzeciego stopnia typu III . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.9. Krzywa trzeciego stopnia typu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.10. Iloczyn funkcji potęgowej i wykładniczej . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.11. Suma funkcji wykładniczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.12. W pełni przeliczony przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17. Skale i papiery funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.1. Skale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.2. Papiery funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.2.1. Zwykły papier logarytmiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.2.2. Papier podwójnie logarytmiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.2.3. Papier funkcyjny ze skalą odwrotną . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.2.4. Uwaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18. Funkcje wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.1. Definicja i przedstawienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.1.1. Przedstawienie funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . .
2.18.1.2. Przedstawienia graficzne funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . .
2.18.2. Obszary oznaczoności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.1. Obszar oznaczoności funkcji określonej wykresem . . . . . . . . .
2.18.2.2. Obszary dwuwymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.3. Obszary trój- i więcej wymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.4. Sposoby określania funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.5. Postacie analitycznego określenia funkcji . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.6. Zależności między funkcjami wielu zmiennych . . . . . . . . . . .
2.18.3. Granice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.1. Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.2. Ścisłe sformułowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.3. Uogólnienie na przypadek funkcji wielu zmiennych . . . . . . . .
2.18.3.4. Granice iterowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.4. Ciągłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5. Własności funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.1. Twierdzenie Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.2. Twierdzenie o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.3. Twierdzenie o ograniczoności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.4. Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów . . . . . . . . . . .
2.19. Nomografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.1. Nomogramy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.2. Nomogramy siatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.3. Arkusze kolineacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.3.1. Nomogram kolineacyjny z trzema skalami prostoliniowymiprzechodzącymi przez jeden punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.3.2. Nomogram kolineacyjny zbudowany z dwu prostych równoległych i trzeciej nachylonej do nich prostej . . . . . . . . . . . . .
2.19.3.3. Nomogram kolineacyjny z dwiema skalami równoległymi i trzecią skalą krzywliniową . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.4. Arkusze siatkowe dla więcej niż trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . . .
XIII
118
118
119
119
120
120
120
121
122
122
123
124
124
125
125
126
126
126
126
127
127
127
127
128
129
130
131
131
132
132
132
132
133
133
133
133
133
133
133
133
135
135
135
136
137
XIV
Spis rzeczy
3. GEOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
3.1. Planimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.1. Punkt, prosta, promień, odcinek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.2. Kąt płaski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.3. Kąt między dwiema przecinającymi się prostymi . . . . . . . . . . . .
3.1.1.4. Pary kątów na dwu prostych równoległych przeciętych trzecią prostą
3.1.1.5. Miara w stopniach i miara łukowa kąta płaskiego . . . . . . . . . . .
3.1.2. Geometryczna definicja funkcji trygonometrycznych
i hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.1. Definicja funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.2. Geometryczna definicja funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Trójkąt płaski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.1. Twierdzenia dotyczące trójkąta płaskiego . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.2. Symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4. Czworokąty na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.1. Równoległobok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.2. Prostokąt i kwadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.3. Romb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.4. Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.5. Ogólny czworokąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.6. Czworokąt cięciw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.7. Czworokąt stycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5. Wielokąty (wieloboki) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.1. Ogólny wielokąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.2. Wielokąty wypukłe foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.3. Niektóre wielokąty foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6. Figury płaskie o symetrii obrotowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.1. Okrąg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.2. Odcinek kołowy (segment koła) i wycinek kołowy (sektor koła) . . .
3.1.6.3. Pierścień kołowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Trygonometria płaska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Rozwiązywanie trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.1. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.2. Rozwiązywanie dowolnych trójkątów płaskich . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Zastosowania w geodezji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1. Współrzędne geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.2. Kąt w geodezji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.3. Zastosowania w technice pomiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Stereometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Kąty dwuścienne, kąty wielościenne, kąty bryłowe . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Wielościany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. Bryły ograniczone powierzchniami zakrzywionymi . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Trygonometria sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Podstawowe pojęcia geometrii na powierzchni kuli . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.1. Krzywe, łuki i kąty na powierzchni kuli . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.2. Niektóre specjalne układy współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.3. Dwukąt sferyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
138
138
138
139
140
140
141
141
142
142
142
143
145
145
146
146
146
147
147
148
148
148
148
149
149
149
152
152
153
153
153
153
155
155
157
159
162
162
163
164
168
171
171
171
173
175
Spis rzeczy
3.4.1.4. Trójkąt sferyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.5. Trójkąt biegunowy (polarny, dualny) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.6. Trójkąty eulerowskie i nieeulerowskie . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.7. Kąt bryłowy trójścienny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Podstawowe własności trójkątów sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.1. Twierdzenia ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.2. Wzory podstawowe i ich zastosowania . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.3. Inne wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Rozwiązywanie trójkątów sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.1. Podstawowe typy zadań, dyskusja dokładności . . . . . . . . . .
3.4.3.2. Sferyczny trójkąt prostokątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.3. Dowolne trójkąty sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.4. Krzywe sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Algebra wektorów i geometria analityczna . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Algebra wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.1. Definicja wektora, wzory rachunkowe . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.2. Iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.3. Złożenia operacji na wektorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.4. Równania wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.5. Kowariantne i kontrawariantne współrzędne wektora . . . . . . .
3.5.1.6. Zastosowania algebry wektorów w geometrii . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Geometria analityczna na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.1. Płaskie układy współrzędnych i ich transformacje . . . . . . . .
3.5.2.2. Pewne szczególne punkty na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.3. Prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.4. Okrąg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.5. Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.6. Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.7. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.8. Krzywe drugiego stopnia (krzywe stożkowe) . . . . . . . . . . . .
3.5.3. Geometria analityczna w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.1. Podstawowe pojęcia, przestrzenne układy współrzednych . . . .
3.5.3.2. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.3. Powierzchnie drugiego stopnia — równania w postaci normalnej
noniczne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.4. Powierzchnie stopnia drugiego — teoria ogólna . . . . . . . . . .
3.6. Geometria różniczkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Krzywe płaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.1. Sposoby definiowania krzywych płaskich . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.2. Lokalne elementy krzywej płaskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.3. Szczególne punkty krzywej oraz jej asymptoty . . . . . . . . . .
3.6.1.4. Badanie krzywej na podstawie jej równania . . . . . . . . . . . .
3.6.1.5. Ewoluty i ewolwenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.6. Obwiednia rodziny krzywych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2. Krzywe w przestrzni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.1. Sposoby określenia krzywych przestrzennych . . . . . . . . . . . .
3.6.2.2. Trójścian Freneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.3. Krzywizna i skręcenie (torsja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3. Powierzchnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.1. Różne sposoby definiowania powierzchni . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
(ka. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
XV
176
176
176
177
177
177
178
181
182
182
182
184
188
195
195
195
198
200
202
203
204
204
204
207
210
213
214
216
219
221
224
224
231
238
241
243
243
243
244
249
254
256
256
257
257
258
261
263
263
XVI
Spis rzeczy
3.6.3.2. Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni .
3.6.3.3. Infinitezymalny element liniowy na powierzchni .
3.6.3.4. Krzywizna powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.5. Powierzchnie prostokreślne i rozwijalne . . . . . .
3.6.3.6. Linie geodezyjne na powierzchni . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
265
266
267
270
271
4. ALGEBRA LINIOWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
4.1. Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Definicja macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Macierze kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4. Działania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5. Wzory rachunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6. Normy na wektorach i macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6.1. Normy na wektorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6.2. Normy na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1.1. Wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1.2. Minor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Reguły i wzory rachunkowe dla wyznaczników . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Obliczanie wyznaczników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Tensory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Transformacje układów współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Tensory we współrzędnych kartezjańskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Tensory o szczególnych własnościach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3.1. Tensory drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3.2. Tensory niezmiennicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4. Tensory w krzywoliniowych układach współrzędnych . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4.1. Bazy kowariantne i kontrawariantne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4.2. Kowariantne i kontrawariantne współrzędne tensora pierwszego
rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4.3. Kowariantne, kontrawariantne i mieszane współrzędne tensorów drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4.4. Reguły i wzory rachunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5. Pseudotensory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5.1. Odbicie względem początku układu współrzędnych . . . . . . . . . . .
4.3.5.2. Wprowadzenie pojęcia pseudotensora . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Układy liniowe, procedura wymiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.1. Układy liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.2. Wymiana zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.3. Liniowa zależność równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.4. Odwracanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Rozwiązywanie układów równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.1. Definicja i warunki istnienia rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.2. Zastosowanie procedury wymiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.3. Wzory Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.4. Algorytm Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
272
273
275
275
278
279
280
280
281
281
281
281
281
283
283
283
284
286
286
287
288
288
289
289
291
291
291
292
293
293
293
294
295
295
295
295
297
298
299
Spis rzeczy
XVII
4.4.3. Nadokreślone układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3.1. Nadokreślone układy równań liniowych i liniowe problemy minimalizacji sumy kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3.2. Uwagi dotyczące numerycznego rozwiązywania liniowego problemu
najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Zagadnienie własne macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Ogólne zagadnienie własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2. Zagadnienie własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.1. Wielomian charakterystyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.2. Rzeczywiste macierze symetryczne, transformacja podobieństwa . . .
4.5.2.3. Diagonalizacja form kwadratowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.4. Wskazówki dotyczące numerycznego wyznaczania wartości własnych
4.5.3. Rozkład singularny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
302
302
302
302
303
305
307
309
5. ALGEBRA I MATEMATYKA DYSKRETNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
5.1. Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Logika zdań, rachunek zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Wyrażenia logiki predykatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Teoria mnogości (teoria zbiorów) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Pojęcie zbioru, zbiory szczególnego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Operacje (działania) na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Relacje i odwzorowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Relacje równoważności i porządku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5. Moc zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Klasyczne struktury algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Działania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Półgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3. Grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.1. Definicja i podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.2. Podgrupy i produkty proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.3. Odwzorowania między grupami . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4. Reprezentacje grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.2. Reprezentacje szczególnego typu . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.3. Suma prosta reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.4. Iloczyn tensorowy reprezentacji (produkt prosty) . . . . . . .
5.3.4.5. Reprezentacje przywiedlne i nieprzywiedlne . . . . . . . . . .
5.3.4.6. Pierwszy lemat Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.7. Szereg Clebscha–Gordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.8. Pewna nieprzywiedlna reprezentacja grupy symetrycznej SM
5.3.5. Zastosowania teorii grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.1. Operacje symetrii, elementy symetrii . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.2. Grupy symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.3. Operacje symetrii w cząsteczkach chemicznych . . . . . . . .
5.3.5.4. Grupy symetrii w krystalografii . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.5. Grupy symetrii w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . .
5.3.5.6. Inne przykłady zastosowań w fizyce . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6. Pierścienie i ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
300
300
311
311
314
316
316
317
320
323
324
325
325
325
326
326
327
329
330
330
331
332
333
333
334
334
334
335
335
336
336
338
340
341
341
341
XVIII
Spis rzeczy
5.3.6.2. Podpierścienie, ideały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.3. Homomorfizmy, izomorfizmy, twierdzenie o homomorfizmie . . . . .
5.3.7. Przestrzenie wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.1. Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.2. Zależność liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.3. Odwzorowania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.4. Podprzestrzenie, zależności między wymiarami . . . . . . . . . . . .
5.3.7.5. Przestrzenie (wektorowe) euklidesowe, norma euklidesowa . . . . .
5.3.7.6. Operatory liniowe w przestrzeniach wektorowych . . . . . . . . . . .
5.4. Elementarna teoria liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.1. Podzielność i elementarne prawa podzielności . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.2. Liczby pierwsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.3. Kryteria (cechy) podzielności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.4. Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
5.4.1.5. Liczby Fibonacciego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2. Liniowe równania diofantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3. Kongruencje i klasy reszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4. Twierdzenia Fermata, Eulera i Wilsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5. Kody (szyfry) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Kryptologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1. Zadania kryptologii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2. Systemy szyfrowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3. Ścisłe definicje matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4. Bezpieczeństwo systemów kryptograficznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.1. Metody klasycznej kryptologii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.2. Szyfry przestawieniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.3. Szyfry Vigenere’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.4. Podstawienia macierzowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5. Metody klasycznej kryptoanalizy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5.1. Analiza statystyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5.2. Test Kasiskiego–Friedmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6. Szyfr typu one-time-tape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7. Szyfry z kluczem o publicznym dostępie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7.1. Metoda Diffiego i Hellmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7.2. Funkcje jednokierunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7.3. Szyfr RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.8. Algorytm DES (Data Encryption Standard) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.9. Algorytm IDEA (International Data Encryption Algorithm) . . . . . . . . .
5.6. Algebra uniwersalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1. Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2. Kongruencje, algebry ilorazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3. Homomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4. Twierdzenie o homomorfizmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.5. Rozmaitości algebr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.6. Algebry termów (algebry wolne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Algebry Boole’a i algebry przełączników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1. Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2. Twierdzenie o dualności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3. Skończone algebry Boole’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
342
342
343
343
344
344
344
345
346
347
347
347
347
349
350
352
353
354
359
359
362
362
362
363
363
364
365
365
365
366
366
366
367
367
367
368
368
369
369
370
370
370
371
371
371
372
372
372
373
373
Spis rzeczy
5.7.4. Algebry Boole’a jako zbiory uporządkowane . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5. Funkcje boolowskie, wyrażenia boolowskie . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.6. Postać normalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.7. Algebra połączeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Algorytmy teorii grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1. Podstawowe pojęcia i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2. Drogi w grafach nieskierowanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2.1. Drogi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2.2. Grafy eulerowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2.3. Cykle Hamiltona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3. Drzewa i drzewa rozpinające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3.1. Drzewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3.2. Drzewa rozpinające grafu G . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4. Skojarzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.5. Grafy płaskie i planarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.6. Ścieżki w grafach skierowanych (digrafach) . . . . . . . . . . . . . .
5.8.7. Sieci transportowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Logika rozmyta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1. Podstawy logiki rozmytej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1.1. Interpretacja zbiorów rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1.2. Funkcje przynależności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1.3. Zbiory rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2. Działania na zbiorach rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2.1. Pojęcie działania (agregacji) na zbiorach rozmytych . . . .
5.9.2.2. Działania na zbiorach rozmytych w praktyce rachunkowej
5.9.2.3. Operatory kompensacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2.4. Warunki rozszerzania pojęć na zbiory rozmyte . . . . . . .
5.9.2.5. Dopełnienie dla zbiorów rozmytych . . . . . . . . . . . . . .
5.9.3. Relacje rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.3.1. Relacje rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.3.2. Złożenie relacji rozmytych R ◦ S . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.4. Wnioskowanie rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.5. Wyostrzanie (konkretyzacja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.6. Ukłądy sterowania (regulacji) rozmytego . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.6.1. Metoda Mamdaniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.6.2. Metoda Takagiego–Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.6.3. Systemy sterowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.6.4. Układy interpolacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XIX
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
374
374
376
376
378
378
382
382
383
384
385
385
386
387
388
389
390
392
392
392
393
395
397
397
398
400
400
401
401
401
404
405
407
407
408
408
409
412
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Różniczkowanie funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2. Wzory na różniczkowanie funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . .
6.1.2.1. Pochodne funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2.2. Podstawowe wzory rachunku różniczkowego . . . . . . . . . . . .
6.1.3. Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3.1. Definicja pochodnych wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3.2. Pochodne wyższych rzędów najprostszych funkcji . . . . . . . . .
6.1.3.3. Wzór Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3.4. Pochodne wyższych rzędów funkcji określonych parametrycznie
6.1.3.5. Pochodne wyższych rzędów funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
414
414
414
415
415
415
421
421
422
422
423
423
XX
Spis rzeczy
6.1.4. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4.1. Warunki monotoniczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4.2. Twierdzenie Fermata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4.3. Twierdzenie Rolle’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4.4. Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4.5. Twierdzenie Taylora dla funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . .
6.1.4.6. Uogólnione twierdzenie o wartości średniej lub twierdzenie Cauchy’ego
6.1.5. Wyznaczanie ekstremów i punktów przegięcia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5.1. Maksima i minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5.2. Warunki konieczne istnienia ekstremów lokalnych . . . . . . . . . . . .
6.1.5.3. Ekstrema lokalne funkcji różniczkowalnej zdefiniowanej wzorem y = f (x)
6.1.5.4. Wyznaczanie ekstremum globalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5.5. Wyznaczanie ekstremów funkcji zadanej w postaci uwikłanej . . . .
6.2. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Pochodne cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.1. Pochodna cząstkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.2. Interpretacja geometryczna w przypadku funkcji dwóch zmiennych .
6.2.1.3. Pojęcie różniczki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.4. Podstawowe własności różniczki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.5. Różniczka cząstkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Różniczka zupełna i różniczki wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2.1. Pojęcie różniczki zupełnej funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . .
6.2.2.2. Pochodne i różniczki wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2.3. Twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . .
6.2.3. Wzory na różniczkowanie funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.1. Różniczkowanie funkcji złożonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.2. Różniczkowanie funkcji zdefiniowanej w sposób uwikłany . . . . . . .
6.2.4. Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych oraz transformacje współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4.1. Funkcja jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4.2. Funkcja dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5. Ekstrema funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.1. Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.2. Interpretacja geometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.3. Wyznaczanie ekstremum funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . .
6.2.5.4. Wyznaczanie ekstremum funkcji n zmiennych . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.5. Rozwiązywanie problemów aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.6. Wyznaczanie ekstremów związanych lub warunkowych . . . . . . . .
7. SZEREGI NIESKOŃCZONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Ciągi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. Własności ciągów liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1.1. Definicja ciągu liczbowego . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1.2. Ciągi monotoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1.3. Ciągi ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2. Granica ciągu liczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Ogólne twierdzenia dotyczące zbieżności szeregów . . . . .
7.2.1.1. Zbieżność i rozbieżność szeregów . . . . . . . . . . .
7.2.1.2. Ogólne twierdzenia dotyczące szeregów zbieżnych .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
423
423
424
424
425
425
426
426
426
426
427
428
428
429
429
429
429
429
430
430
430
430
432
433
434
434
434
436
436
437
438
438
438
439
439
439
439
441
441
441
441
441
442
442
443
443
443
444
Spis rzeczy
XXI
7.2.2. Kryteria zbieżności szeregów dodatnich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.1. Kryterium porównawcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.2. Kryterium ilorazowe d’Alemberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.3. Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.4. Kryterium całkowe (Cauchy’ego) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3. Szeregi bezwzględnie (absolutnie) i warunkowo zbieżne . . . . . . . . . . . . .
7.2.3.1. Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3.2. Własności szeregów bezwzględnie zbieżnych . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3.3. Szeregi naprzemienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4. Pewne szczególne szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4.1. Sumy niektórych szeregów liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4.2. Liczby Bernoulliego i liczby Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5. Szacowanie reszty szeregów zbieżnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5.1. Szacowanie za pomocą szeregu majoryzującego . . . . . . . . . . . . .
7.2.5.2. Szeregi naprzemienne zbieżne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5.3. Szczególne szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Szeregi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2. Zbieżność jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2.1. Definicja, twierdzenie Weierstrassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2.2. Własności szeregów zbieżnych jednostajnie . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3. Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3.1. Definicja. Zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3.2. Działania na szeregach potęgowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3.3. Rozwinięcie w szereg Taylora, szereg Maclaurina . . . . . . . . . . . .
7.3.4. Wzory przybliżone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5. Asymptotyczne szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5.1. Równość w sensie asymptotycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5.2. Asymptotyczne szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1. Sumy trygonometryczne i szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1.1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1.2. Najważniejsze własności szeregów Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2. Wyznaczanie współczynników Fouriera dla funkcji o pewnym typie symetrii
7.4.2.1. Typy symetrii funkcji. Wzory na współczynniki szeregu Fouriera . .
7.4.2.2. Różne postacie rozwinięcia w szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3. Wyznaczanie współczynników Fouriera za pomocą metod numerycznych . .
7.4.4. Szereg Fouriera i całka Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.5. Uwagi do tabeli zawierającej rozkłady w szereg Fouriera . . . . . . . . . . . .
8. RACHUNEK CAŁKOWY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Funkcja pierwotna lub całka nieoznaczona .
8.1.1.1. Całka nieoznaczona . . . . . . . . . .
8.1.1.2. Całki funkcji elementarnych . . . . .
8.1.2. Wzory na całkowanie . . . . . . . . . . . . .
8.1.3. Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . .
8.1.3.1. Całkowanie wielomianów . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
444
444
445
445
446
446
446
447
447
448
448
449
451
451
451
451
452
452
452
452
453
454
454
454
456
458
458
457
457
459
459
459
460
461
461
462
463
463
464
465
465
465
465
466
466
470
470
XXII
Spis rzeczy
8.1.3.2. Całki funkcji ułamkowych (wymiernych) . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3.3. Cztery przypadki mogące pojawić się przy rozkładzie na ułamki
proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4. Całkowanie funkcji niewymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4.1. Podstawienia mające sprowadzić zadanie do całek funkcji wymiernych
8.1.4.2. Całkowanie wyrażeń dwumiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4.3. Całki eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5.1. Podstawienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5.2. Metody uproszczone w niektórych często spotykanych przypadkach .
8.1.6. Całkowanie funkcji przestępnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.1. Całki zawierające funkcje wykładnicze . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.2. Całki funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.3. Zastosowanie całkowania przez części . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.4. Całki funkcji przestępnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Podstawowe pojęcia, wzory i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.1. Definicja i istnienie całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.2. Własności całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.3. Inne twierdzenia dotyczące granic całkowania . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.4. Obliczanie całek oznaczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2. Zastosowania całek oznaczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2.1. Ogólny schemat zastosowania całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . .
8.2.2.2. Zastosowania w geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2.3. Zastosowania w mechanice i fizyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3. Całki niewłaściwe. Całka Stieltjesa i całka Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . .
8.2.3.1. Uogólnienia pojęcia całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3.2. Całki z nieskończonymi granicami całkowania . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3.3. Całki funkcji nieograniczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4. Całki zależne od parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4.1. Definicja całki z parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4.2. Różniczkowanie pod znakiem całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4.3. Całkowanie pod znakiem całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.5. Całkowanie przez rozwinięcie w szereg, funkcje specjalne . . . . . . . . . . . .
8.3. Całki krzywoliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.2. Twierdzenie o istnieniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.3. Obliczanie całek krzywoliniowych pierwszego rodzaju . . . . . . . . .
8.3.1.4. Zastosowania całek krzywoliniowych pierwszego rodzaju . . . . . . .
8.3.2. Całka krzywoliniowa drugiego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3. Całki krzywoliniowe trzeciego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4. Warunki niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania . . . . . . .
8.4. Całki wielokrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1. Całka podwójna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1.1. Pojęcie całki podwójnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1.2. Obliczanie całek podwójnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1.3. Zastosowania całek podwójnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2. Całki potrójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.1. Pojęcie całki potrójnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
470
470
473
473
474
475
476
476
477
478
478
478
478
479
479
479
479
480
483
484
487
487
488
491
493
493
494
497
499
499
499
500
501
503
503
503
505
505
505
506
508
510
512
512
512
513
516
516
517
Spis rzeczy
8.4.2.2. Obliczanie całek potrójnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.3. Zastosowania całek potrójnych . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Całki powierzchniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1. Całki powierzchniowe pierwszego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1.1. Pojęcie całki powierzchniowej pierwszego rodzaju . . . . . .
8.5.1.2. Obliczanie całek powierzchniowych pierwszego rodzaju . .
8.5.1.3. Zastosowania całek powierzchniowych pierwszego rodzaju .
8.5.2. Całki powierzchniowe drugiego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2.1. Pojęcie całki powierzchniowej drugiego rodzaju . . . . . . .
8.5.2.2. Obliczanie całek powierzchniowych drugiego rodzaju . . . .
8.5.2.3. Pewne szczególne zastosowanie całek powierzchniowych . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XXIII
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
518
521
521
521
521
523
525
525
525
526
528
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
529
9.1. Równania różniczkowe zwyczajne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1. Równania różniczkowe pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.1. Twierdzenie o istnieniu, pole kierunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.2. Podstawowe metody rozwiązywania równań różniczkowych . . . . . .
9.1.1.3. Równania różniczkowe uwikłane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.4. Całki osobliwe i punkty osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.5. Przybliżone metody rozwiązywania równań różniczkowych pierwszego
rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2. Równania różniczkowe wyższych rzędów oraz układy równań różniczkowych
9.1.2.1. Wstępne rozważania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2.2. Obniżanie rzędu równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2.3. Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2.4. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2.5. Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach
9.1.2.6. Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3. Zagadnienia brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3.1. Sformułowanie zagadnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3.2. Podstawowe własności funkcji własnych i wartości własnych . . . . .
9.1.3.3. Rozwinięcie na funkcje własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3.4. Przypadki osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Równania różniczkowe cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1.1. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu . . . . . .
9.2.1.2. Nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu . . . .
9.2.2. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu . . . . . . . . . . . .
9.2.2.1. Klasyfikacja i właściwości równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu w przypadku dwóch zmiennych niezależnych . . . . . . .
9.2.2.2. Klasyfikacja i własności równań różniczkowych drugiego rzędu więcej
niż dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2.3. Metody rozwiązywania liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu
9.2.3. Równania różniczkowe cząstkowe w naukach przyrodniczych i technice . . .
9.2.3.1. Postawienie problemu i warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3.2. Równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3.3. Równanie przewodnictwa cieplnego i równanie dyfuzji w ośrodku
jednorodnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
529
530
530
531
534
535
539
541
541
542
544
546
549
552
559
559
560
561
561
562
562
562
564
567
567
569
570
581
581
583
584
XXIV
Spis rzeczy
9.2.3.4. Równanie potencjału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3.5. Równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4. Równania cząstkowe nieliniowe, solitony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4.1. Kontekst fizyczno-matematyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4.2. Równanie Kortewega-de Vriesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4.3. Nieliniowe równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4.4. Równanie sinus Gordona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4.5. Inne ważne nieliniowe równania ewolucji z rozwiązaniami solitonowymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. RACHUNEK WARIACYJNY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1. Sformułowanie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Zagadnienia historyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1. Zagadnienia izoperymetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2. Zagadnienie brachistochrony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Zagadnienia wariacyjne dla funkcji wielu zmiennych . . . . . .
10.3.1. Proste zagadnienie wariacyjne i ekstremale . . . . . . . . . . . .
10.3.2. Równanie Eulera dla danego zagadnienia wariacyjnego . . . . .
10.3.3. Zagadnienia brzegowe z warunkami pobocznymi (więzami) . .
10.3.4. Zagadnienia wariacyjne zawierające wyższe pochodne . . . . .
10.3.5. Zagadnienie wariacyjne z większą liczbą funkcji niewiadomych
10.3.6. Zagadnienia wariacyjne w przedstawieniu parametrycznym . .
10.4. Zagadnienie wariacyjne dla funkcji wielu zmiennych . . . . . .
10.4.1. Proste zagadnienie wariacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2. Ogólne zagadnienie wariacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Numeryczne rozwiązywanie zagadnień wariacyjnych . . . . . .
10.6. Uzupełnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.1. Pierwsza i druga wariacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.2. Zastosowania w fizyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
585
585
594
594
596
597
598
599
601
601
602
602
603
603
603
603
605
606
607
607
608
608
610
610
611
611
612
11. RÓWNANIA CAŁKOWE LINIOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
613
11.1. Wprowadzenie i klasyfikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Równania całkowe Fredholma drugiego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1. Równania z jądrem zdegenerowanym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2. Iteracyjne metody aproksymacji rozwiązań. Szereg Neumanna . . . . . .
11.2.3. Metoda Fredholma. Twierdzenia Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3.1. Metoda Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3.2. Twierdzenia Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4. Numeryczne metody rozwiązywania równań całkowych Fredholma drugiego rodzaju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4.1. Aproksymacja całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4.2. Aproksymacja jądra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4.3. Metoda kolokacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Równanie całkowe Fredholma pierwszego rodzaju . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1. Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2. Pojęcia elementarne, podstawy teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3. Sprowadzanie równania całkowego do układu równań liniowych . . . . .
11.3.4. Rozwiązywanie równań całkowych jednorodnych pierwszego rodzaju . .
613
614
614
617
620
620
622
623
623
626
628
629
629
630
632
634
Spis rzeczy
11.3.5. Konstrukcja dwóch szczególnie wygodnych dla danego jądra całkowego
układów ortonormalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.6. Metoda iteracyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4. Równanie Volterry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1. Podstawy teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2. Rozwiązywanie równań Volterry przez ich różniczkowanie . . . . . . . . .
11.4.3. Metoda szeregu Neumanna w zastosowaniu do równań Volterry drugiego
rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.4. Równania Volterry typu splotowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.5. Numeryczne metody rozwiązywania równań Volterry drugiego rodzaju .
11.5. Równania całkowe osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1. Równanie całkowe Abela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2. Równania całkowe osobliwe z jądrami Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.1. Sformułowanie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.2. Istnienie rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.3. Własności całki Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.4. Zagadnienie brzegowe Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.5. Rozwiązanie zagadnienia brzegowego Hilberta . . . . . . . . . . .
11.5.2.6. Rozwiązanie równania charakterystycznego . . . . . . . . . . . .
XXV
635
636
637
637
638
639
640
641
643
644
645
645
646
646
646
647
648
12. ANALIZA FUNKCJONALNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
650
12.1. Przestrzenie wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1. Definicja przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2. Podzbiory liniowe i afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.3. Elementy niezależne liniowo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.4. Zbiory wypukłe i powłoka wypukła . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.4.1. Zbiory wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.4.2. Stożek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.5. Operatory i funkcjonały liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.5.1. Odwzorowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.5.2. Homomorfizm i endomorfizm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.5.3. Izomorfizm przestrzeni wektorowych . . . . . . . . . . . . .
12.1.6. Kompleksyfikacja przestrzeni wektorowej rzeczywistej . . . . . . . .
12.1.7. Przestrzenie wektorowe uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.1. Stożek i uporządkowanie częściowe . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.2. Zbiory ograniczone względem relacji porządku . . . . . . .
12.1.7.3. Operatory dodatnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.4. Kraty wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1. Definicja przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1.1. Kule i otoczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1.2. Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej . . . . . . . . .
12.2.1.3. Zbiory domknięte i operacja domykania . . . . . . . . . . .
12.2.1.4. Podzbiory gęste i przestrzenie metryczne ośrodkowe . . . .
12.2.2. Przestrzenie metryczne zupełne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2.1. Ciągi Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2.2. Przestrzenie metryczne zupełne . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2.3. Niektóre fundamentalne twierdzenia dotyczące przestrzeni
trycznych zupełnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
650
650
651
653
654
654
654
655
655
655
656
656
656
656
657
657
658
659
659
660
661
661
662
662
662
663
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
me. . .
663
XXVI
Spis rzeczy
12.2.2.4. Niektóre zastosowania twierdzenia Banacha o punkcie stałym .
12.2.2.5. Uzupełnienie przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3. Operatory ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3. Przestrzenie unormowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1. Definicja przestrzeni unormowanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1.1. Aksjomaty przestrzeni unormowanych . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1.2. Własności przestrzeni unormowanych . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2. Przestrzenie Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2.1. Szeregi w przestrzeni unormowanej . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2.2. Przykłady przestrzeni Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2.3. Przestrzenie Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.3. Przestrzenie unormowane uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.4. Algebry unormowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4. Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1. Definicja przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1.1. Iloczyn skalarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1.2. Przestrzenie unitarne i niektóre ich własności . . . . . . . . . . .
12.4.1.3. Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2. Ortogonalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2.1. Własności relacji ortogonalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2.2. Układy ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3. Szeregi ortogonalne (Fouriera) w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . .
12.4.3.1. Problem najlepszej aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3.2. Tożsamość Parsevala i twierdzenie Riesza–Fischera . . . . . . . .
12.4.4. Istnienie bazy, izomorfizm przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5. Operatory i funkcjonały ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1. Ograniczoność, norma oraz ciągłość operatorów liniowych . . . . . . . . .
12.5.1.1. Ograniczoność i norma operatora liniowego . . . . . . . . . . . .
12.5.1.2. Przestrzeń operatorów ograniczonych . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1.3. Zbieżność ciągów operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.2. Operatory ograniczone w przestrzeniach Banacha . . . . . . . . . . . . . .
12.5.3. Elementy teorii spektralnej operatorów liniowych . . . . . . . . . . . . . .
12.5.3.1. Zbiór rezolwenty i rezolwenta operatora liniowego . . . . . . . .
12.5.3.2. Spektrum operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.4. Funkcjonały liniowe ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.4.1. Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.4.2. Funkcjonały liniowe ciągłe w przestrzeni Hilberta. Twierdzenie
Riesza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.4.3. Funkcjonały liniowe ciągłe w przestrzeniach Lp . . . . . . . . . .
12.5.5. Rozszerzanie funkcjonałów liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.6. Oddzielanie zbiorów wypukłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.7. Przestrzeń bidualna, przestrzenie refleksywne . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6. Sprzężenie operatora w przestrzeniach unormowanych . . . . . . . . . . .
12.6.1. Operator sprzężony do operatora ograniczonego . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.2. Operator sprzężony do operatora nieograniczonego . . . . . . . . . . . . .
12.6.3. Operatory samosprzężone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3.1. Operatory dodatnio określone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3.2. Rzuty w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7. Zbiory zwarte i operatory zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.1. Podzbiory zwarte w przestrzeniach unormowanych . . . . . . . . . . . . .
12.7.2. Operatory zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
664
666
666
667
667
667
667
668
668
668
669
669
670
671
671
671
671
671
672
672
673
673
673
674
675
675
675
675
675
676
676
678
678
679
680
680
681
681
681
682
683
683
683
684
685
685
685
685
685
686
Spis rzeczy
12.7.2.1. Definicja operatora zwartego . . . . . . . . .
12.7.2.2. Własności operatorów liniowych zwartych .
12.7.2.3. Słaba zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.3. Alternatywa Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.4. Operatory zwarte w przestrzeni Hilberta . . . . . . .
12.7.5. Operatory samosprzężone zwarte . . . . . . . . . . . .
12.8. Operatory nieliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.1. Przykłady operatorów nieliniowych . . . . . . . . . . .
12.8.2. Różniczkowalność operatorów nieliniowych . . . . . .
12.8.3. Algorytm (metoda) Newtona . . . . . . . . . . . . . .
12.8.4. Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym . . . . . . .
12.8.5. Teoria Leraya–Schaudera . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.6. Operatory nieliniowe dodatnie . . . . . . . . . . . . . .
12.8.7. Operatory monotoniczne w przestrzeniach Banacha .
12.9. Miara i całka Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.1. Sigma-algebry i miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.2. Funkcje mierzalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.2.1. Definicja funkcji mierzalnej . . . . . . . . . .
12.9.2.2. Własności klasy funkcji mierzalnych . . . . .
12.9.3. Całkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3.1. Definicja całki . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3.2. Pewne podstawowe własności całki . . . . .
12.9.3.3. Twierdzenia o zbieżności . . . . . . . . . . .
12.9.4. Przestrzenie Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5. Dystrybucje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.1. Wzór na całkowanie przez części . . . . . . .
12.9.5.2. Pochodna uogólniona . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.3. Dystrybucje . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.4. Pochodna dystrybucji . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XXVII
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
686
686
686
687
687
688
688
688
689
690
690
691
691
692
693
693
694
694
695
695
695
696
696
697
698
698
698
699
699
13. ANALIZA WEKTOROWA I TEORIA POLA . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1. Podstawowe pojęcia teorii pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1. Funkcje wektorowe zmiennej skalarnej . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1.2. Pochodna funkcji wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1.3. Reguły różniczkowania dla funkcji wektorowych . . . . .
13.1.1.4. Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji wektorowych . . . .
13.1.2. Pola skalarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2.1. Pole skalarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2.2. Ważne przykłady pól skalarnych . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2.3. Przedstawienie pola skalarnego we współrzędnych . . . .
13.1.2.4. Poziomice i izopowierzchnie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3. Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3.1. Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3.2. Ważne przypadki pól wektorowych . . . . . . . . . . . . .
13.1.3.3. Pola wektorowe we współrzędnych . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3.4. Przejście od jednego układu współrzędnych do drugiego
13.1.3.5. Linie pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2. Operacje różniczkowe w przestrzeni trójwymiarowej . . . . . . . .
13.2.1. Pochodna kierunkowa i objętościowa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1.1. Pochodna kierunkowa pola skalarnego . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
701
701
701
701
701
702
702
702
702
702
703
703
704
704
705
706
706
708
708
708
708
XXVIII
Spis rzeczy
13.2.1.2. Pochodna kierunkowa pola wektorowego . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1.3. Pochodna objętościowa (przestrzenna) . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2. Gradient pola skalarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.1. Definicja gradientu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.2. Gradient i pochodna kierunkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.3. Gradient i pochodna objętościowa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.4. Inne własności gradientu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2.5. Gradient pola skalarnego w różnych układach współrzędnych .
13.2.2.6. Wzory rachunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.3. Gradient pola wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4. Dywergencja pola wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4.1. Definicja dywergencji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4.2. Dywergencja w różnych układach współrzędnych . . . . . . . . .
13.2.4.3. Wzory rachunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4.4. Dywergencja pola centralnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5. Rotacja pola wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5.1. Definicja rotacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5.2. Rotacja w różnych układach współrzędnych . . . . . . . . . . . .
13.2.5.3. Wzory pomocne przy obliczaniu rotacji . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5.4. Rotacja pola potencjalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6. Operator nabla i operator Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.1. Operator nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.2. Wzory rachunkowe z operatorem nabla . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.3. Gradient wektorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.4. Dwukrotne zastosowanie operatora nabla . . . . . . . . . . . . .
13.2.6.5. Operator Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.7. Przegląd (przestrzennych) operatorów różniczkowych . . . . . . . . . . . .
13.2.7.1. Definicje oraz elementarne własności . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.7.2. Wzory rachunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.7.3. Przedstawienia analityczne we współrzędnych kartezjańskich,
walcowych i sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3. Całkowanie pól wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1. Całki krzywoliniowe i potencjał pola wektorowego . . . . . . . . . . . . .
13.3.1.1. Całka krzywoliniowa pola wektorowego . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1.2. Zastosowania całki krzywoliniowej w mechanice . . . . . . . . . .
13.3.1.3. Własności całki krzywoliniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1.4. Całka funkcji wektorowej jako suma całek całek . . . . . . . . .
13.3.1.5. Całka pola wektorowego po pętli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1.6. Pole potencjalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2. Całki powierzchniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2.1. Wektor płata powierzchni płaskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2.2. Obliczanie całek powierzchniowych . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2.3. Całki powierzchniowe oraz przepływ (strumień) pola . . . . . .
13.3.2.4. Całki powierzchniowe we współrzędnych kartezjańskich jako
całki powierzchniowe drugiego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3. Podstawowe twierdzenia całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3.1. Twierdzenie oraz wzór Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3.2. Twierdzenie Stokesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3.3. Twierdzenia całkowe Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4. Pewne szczególne pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1. Pole czysto źródłowe (pole źródeł) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
709
709
710
710
710
710
710
711
711
712
712
712
712
713
713
713
713
714
715
715
715
715
716
716
717
717
718
718
718
719
719
719
719
720
721
721
721
721
723
723
723
724
724
725
725
726
726
728
728
Spis rzeczy
13.4.2. Pole czysto wirowe (pole bezźródłowe) . . . . . .
13.4.3. Pola wektorowe z punktowymi źródłami . . . . .
13.4.3.1. Pole kulombowskie i ładunek punktowy
13.4.3.2. Pole grawitacyjne i punkt materialny . .
13.4.4. Superpozycja pól . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.4.1. Dyskretny rozkład źródeł . . . . . . . . .
13.4.4.2. Ciągły rozkład źródeł . . . . . . . . . . .
13.4.4.3. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5. Równania różniczkowe w teorii pola . . . . . . . . .
13.5.1. Równanie różniczkowe Laplace’a . . . . . . . . . .
13.5.2. Równanie różniczkowe Poissona . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XXIX
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
728
729
729
729
729
729
730
730
730
730
730
14. TEORIA FUNKCJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1. Funkcje jednej zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1. Ciągłość i różniczkowalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1.1. Definicja funkcji zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1.2. Granica funkcji zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1.3. Ciągłość funkcji zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1.4. Różniczkowalność funkcji zmiennej zespolonej . . . . . . . . . .
14.1.2. Funkcje analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2.1. Definicja funkcji analitycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2.2. Przykłady funkcji analitycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2.3. Własności funkcji analitycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2.4. Punkty osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3. Odwzorowania konforemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.1. Definicja i własności odwzorowania konforemnego . . . . . . .
14.1.3.2. Najprostsze odwzorowania konforemne . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.3. Reguła obrazów Schwarza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.4. Potencjały zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.5. Zasada superpozycji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3.6. Ogólne odwzorowania płaszczyzny zespolonej . . . . . . . . . .
14.2. Całkowanie funkcji zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1. Całka oznaczona i nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1.1. Definicja całki funkcji zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1.2. Własności i metody obliczania całek funkcji zespolonych . . .
14.2.2. Twierdzenie całkowe Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.2.1. Twierdzenie całkowe Cauchy’ego dla obszarów jednospójnych
14.2.2.2. Twierdzenie całkowe Cauchy’ego dla obszarów wielospójnych
14.2.3. Wzór całkowy Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3.1. Funkcja analityczna wewnątrz obszaru jednospójnego . . . . .
14.2.3.2. Funkcje analityczne na zewnątrz pewnego obszaru . . . . . . .
14.3. Rozwinięcie funkcji analitycznej w szereg potęgowy . . . . . . . . . . . .
14.3.1. Zbieżność szeregów o wyrazach zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1.1. Zbieżność ciągów o wyrazach zespolonych . . . . . . . . . . . .
14.3.1.2. Zbieżność nieskończonego szeregu zespolonego . . . . . . . . .
14.3.1.3. Zespolone szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.2. Szereg Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.3. Rozszerzenia analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.4. Szereg Laurenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5. Punkty osobliwe izolowane i twierdzenia o residuach . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
732
732
732
732
732
733
733
733
733
733
734
735
735
735
737
743
744
746
747
748
748
748
749
750
750
750
751
751
752
752
752
752
752
753
754
754
755
755
XXX
Spis rzeczy
14.3.5.1. Punkty osobliwe izolowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5.2. Funkcje meromorficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5.3. Funkcje eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5.4. Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5.5. Twierdzenie o residuach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4. Obliczanie całek rzeczywistych za pomocą zespolonych całek konturowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.1. Zastosowania wzorów całkowych Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.2. Zastosowanie twierdzenia o residuach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3. Zastosowanie lematu Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3.1. Lemat Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5. Funkcje algebraiczne i elementarne funkcje przestępne . . . . . . . . . .
14.5.1. Funkcje algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.2. Elementarne funkcje przestępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.3. Opis krzywych na płaszczyźnie zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6. Funkcje eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.1. Związek z całkami eliptycznymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.2. Funkcje Jacobiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.3. Funkcja theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.4. Funkcje Weierstrassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15. TRANSFORMACJE CAŁKOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1. Pojęcie transformacji całkowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.1. Definicja ogólna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.2. Pewne szczególne transformacje całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.3. Transformacje odwrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.4. Liniowość transformacji całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.5. Transformacje całkowe funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.6. Zastosowania transformacji całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2. Transformacja Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1. Własności transformacji Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1.1. Transformata Laplace’a, dziedzina oryginału i dziedzina obrazu
15.2.1.2. Wzory rachunkowe dla transformacji Laplace’a . . . . . . . . . .
15.2.1.3. Transformaty Laplace’a pewnych szczególnych funkcji . . . . . .
15.2.1.4. Funkcja delta Diraca i dystrybucje . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2. Transformacja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2.1. Wykorzystanie tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2.2. Rozkład na ułamki proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2.3. Rozwinięcie w szereg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2.4. Wzór na transformatę odwrotną . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.3. Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą transformacji
Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.3.1. Równania różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach . .
15.2.3.2. Równania różniczkowe zwyczajne o zmiennych współczynnikach
15.2.3.3. Równania różniczkowe cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3. Transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1. Własności transformacji Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1.1. Wzór całkowy Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1.2. Transformacja Fouriera i odwrotna transformacja Fouriera . . .
755
756
756
757
757
757
757
758
759
759
759
762
762
762
765
766
766
768
769
770
771
771
771
771
771
772
772
772
774
774
774
775
778
781
782
783
783
784
785
786
786
787
788
789
789
789
790
Spis rzeczy
15.3.1.3. Wzory rachunkowe dla transformacji Fouriera . . . . . . . . . . .
15.3.1.4. Transformaty pewnych szczególnych funkcji . . . . . . . . . . . .
15.3.2. Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą transformacji Fouriera
15.3.2.1. Liniowe równania różniczkowe zwyczajne . . . . . . . . . . . . . .
15.3.2.2. Równania różniczkowe cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4. Transformacja Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1. Własności transformacji Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1.1. Funkcje dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1.2. Definicja transformacji Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1.3. Wzory rachunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1.4. Związek z transformacją Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1.5. Odwrotna transformacja Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.2. Zastosowania transformacji Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.2.1. Wyznaczanie ogólnych rozwiązań liniowych równań różnicowych
15.4.2.2. Równanie różnicowe drugiego rzędu (zagadnienie początkowe) .
15.4.2.3. Równanie różnicowe drugiego rzędu (zagadnienie brzegowe) . .
15.5. Transformacje falkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.1. Sygnały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.2. Falki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.3. Transformacje falkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.4. Dyskretne transformacje falkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.4.1. Szybkie transformacje falkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.4.2. Transformacja dyskretna Haara . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.5. Transformacja Gabora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6. Funkcje Walsha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.1. Funkcje schodkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.2. Układy Walsha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1. Kombinatoryka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.1. Permutacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.2. Kombinacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.3. Wariacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.4. Zestawienie wzorów kombinatorycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2. Rachunek prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1. Zdarzenia, częstość i prawdopodobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1.1. Zdarzenia losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1.2. Częstość i prawdopodobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdzenie Bayesa . . . . . .
16.2.2. Zmienne losowe, funkcja rozkładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2.1. Zmienna losowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2.2. Dystrybuanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2.3. Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe. Nierówność Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2.4. Wielowymiarowe zmienne losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3. Dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3.1. Rozkład dwumianowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3.2. Rozkład hipergeometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3.3. Rozkład Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XXXI
793
796
797
797
798
799
800
800
800
801
803
803
804
804
805
806
807
807
807
808
809
809
810
810
811
811
811
812
812
812
813
813
814
814
814
814
816
817
818
818
819
820
822
822
822
823
824
XXXII
Spis rzeczy
16.2.4. Rozkłady ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.1. Rozkład normalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.2. Standardowy rozkład normalny (rozkład Gaussa) . . . . . . . .
16.2.4.3. Logarytmiczny rozkład normalny . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.4. Rozkład wykładniczy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.5. Rozkład Weibulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.6. Rozkład χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.7. Rozkład Fishera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.4.8. Rozkład Studenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.5. Prawa wielkich liczb. Twierdzenia graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.6. Procesy stochastyczne i łańcuchy stochastyczne . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.6.1. Podstawowe pojęcia. Łańcuchy Markowa . . . . . . . . . . . . . .
16.2.6.2. Procesy Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3. Statystyka matematyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.1. Funkcje próbek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.1.1. Populacja, próbka, wektor losowy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.1.2. Funkcja próbki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.2. Statystyka opisowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.2.1. Statystyczne ujęcie mierzonych wielkości . . . . . . . . . . . . . .
16.3.2.2. Parametr statystyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3. Weryfikacja hipotez statystycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3.1. Testy na zgodność z rozkładem normalnym . . . . . . . . . . . .
16.3.3.2. Rozkład średniej wartości próbki . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3.3. Przedział ufności dla wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3.4. Przedział ufności dla wariancji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3.5. Weryfikacja hipotez statystycznych . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.4. Korelacja i regresja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.4.1. Korelacja liniowa dwóch wielkości mierzalnych . . . . . . . . . .
16.3.4.2. Regresja liniowa dla dwóch mierzonych wielkości . . . . . . . . .
16.3.4.3. Regresja wielowymiarowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5. Metoda Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5.1. Symulacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5.2. Liczby losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5.3. Przykład symulacji Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.5.4. Zastosowania metody Monte Carlo w metodach numerycznych
16.3.5.5. Inne zastosowania metody Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . .
16.4. Teoria błędu pomiarowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1. Rodzaje błędu pomiarowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1.1. Klasyfikacja błędu pomiarowego według cech jakościowych . . .
16.4.1.2. Gęstość rozkładu błędu pomiarowego . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1.3. Rozkład błędu pomiarowego według cech ilościowych . . . . . .
16.4.1.4. Określenie wyników pomiaru wraz z przedziałem błędu . . . . .
16.4.1.5. Rachunek błędu dla pomiarów bezpośrednich o tej samej dokładności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1.6. Rachunek błędu dla bezpośrednich pomiarów o różnej dokładności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.2. Propagacja błędu i analiza błędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.2.1. Propagacja błędu według Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.2.2. Analiza błędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
825
825
826
827
827
828
829
830
831
832
833
833
835
837
838
838
839
840
840
842
842
843
845
846
847
847
848
848
849
850
852
852
852
854
855
857
857
857
857
858
860
863
864
864
865
865
867
Spis rzeczy
XXXIII
17. UKŁADY DYNAMICZNE I CHAOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1. Równania różniczkowe cząstkowe i odwzorowania . . . . . . . . . . . . .
17.1.1. Układy dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.1.1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.1.2. Zbiory niezmiennicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2. Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych . . . . . . . . . .
17.1.2.1. Istnienie potoku i struktury przestrzeni fazowej . . . . . . . . .
17.1.2.2. Równania różniczkowe liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2.3. Teoria stabilności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2.4. Rozmaitości niezmiennicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2.5. Odwzorowanie Poincarégo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2.6. Pojęcie topologicznej równoważności równań różniczkowych .
17.1.3. Dyskretne układy dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.3.1. Punkty stałe, orbity okresowe i zbiory graniczne . . . . . . . .
17.1.3.2. Rozmaitości niezmiennicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.3.3. Topologiczna sprzężoność układów dyskretnych . . . . . . . . .
17.1.4. Stabilność strukturalna (sztywność) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.4.1. Strukturalnie stabilne równania różniczkowe . . . . . . . . . . .
17.1.4.2. Strukturalnie stabilne układy dyskretne . . . . . . . . . . . . .
17.1.4.3. Własności typowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2. Ilościowy opis atraktorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1. Miara probabilistyczna na atraktorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1.1. Miara niezmiennicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1.2. Elementy teorii ergodycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2. Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2.1. Entropia topologiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2.2. Entropia metryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.3. Wykładniki Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.4. Wymiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.4.1. Wymiary metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.4.2. Wymiary oparte na mierze niezmienniczej . . . . . . . . . . . .
17.2.4.3. Lokalny wymiar Hausdorffa według Douady’ego i Oesterlégo .
17.2.4.4. Przykłady atraktorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.5. Dziwne atraktory i chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.6. Chaos dla odwzorowań jednowymiarowych . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3. Teoria bifurkacji i przejścia do chaosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.1. Bifurkacje w układach Morse’a–Smale’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.1.1. Bifurkacje lokalne wokół punktów stałych . . . . . . . . . . . .
17.3.1.2. Lokalne bifurkacje wokół orbity okresowej . . . . . . . . . . . .
17.3.1.3. Bifurkacje globalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2. Przejścia do chaosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2.1. Kaskada podwojeń okresu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2.2. Intermitencja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2.3. Globalne bifurkacje homokliniczne . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2.4. Rozszczepienie torusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
868
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
868
868
868
870
872
872
873
875
879
882
883
884
884
885
886
886
886
887
888
889
889
889
890
893
893
893
894
895
895
898
900
901
903
904
904
904
905
910
914
914
915
915
916
917
18. TEORIA OPTYMALIZACJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1. Optymalizacja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.1. Sformułowanie problemu i interpretacja geometryczna . . . . . . . . . . .
923
923
923
XXXIV
Spis rzeczy
18.1.1.1. Rodzaje optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.1.2. Przykłady i rozwiązania graficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.2. Podstawowe pojęcia optymalizacji liniowej, postać normalna . . . . . . .
18.1.2.1. Wierzchołek i baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.2.2. Postać normalna liniowego zagadnienia optymalizacji . . . . . .
18.1.3. Metoda sympleksów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3.1. Tablica sympleksów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3.2. Przejście do nowej tablicy sympleksów . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3.3. Wyznaczenie pierwszej tablicy sympleksów . . . . . . . . . . . .
18.1.3.4. Zmodyfikowana metoda sympleksów . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3.5. Dualność w optymalizacji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4. Pewne szczególne liniowe problemy optymalizacji . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.1. Zagadnienie transportu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.2. Zagadnienie przyporządkowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.3. Zagadnienie rozkładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.4. Problem komiwojażera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.4.5. Problemy kolejkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2. Optymalizacja nieliniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1. Sformułowanie problemu i podstawy teoretyczne . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1.1. Sformułowanie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1.2. Warunki optymalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1.3. Dualność w optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2. Pewne szczególne nieliniowe zagadnienia optymalizacji . . . . . . . . . . .
18.2.2.1. Optymalizacja wypukła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2.2. Optymalizacja kwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.3. Metody rozwiązywania kwadratowych zagadnień optymalizacji . . . . . .
18.2.3.1. Metoda Wolfego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.3.2. Metoda Hildretha–d’Esopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.4. Metody numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.4.1. Przypadek jednowymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.4.2. Poszukiwanie minimum w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
18.2.5. Metody dla zagadnień bez więzów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.5.1. Metoda największego spadku (metoda gradientu) . . . . . . . .
18.2.5.2. Zastosowanie metody Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.5.3. Metoda gradientów sprzężonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.5.4. Metoda Davidona, Fletchera i Powella (DFP) . . . . . . . . . . .
18.2.6. Metoda gradientu w problemach z więzami w postaci nierówności . . . .
18.2.6.1. Metoda kierunków dopuszczalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.6.2. Metoda gradientów rzutowanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.7. Metoda kar i metoda barier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.7.1. Metoda kar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.7.2. Metoda barier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.8. Metoda cięć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3. Dyskretna optymalizacja dynamiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.1. Dyskretna optymalizacja dynamiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.1.1. n-poziomowe procesy decyzyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.1.2. Dynamiczne zagadnienia optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2. Przykłady dyskretnych modeli decyzyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2.1. Zagadnienie zakupu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2.2. Zagadnienie plecaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
923
924
926
926
927
929
929
929
931
932
934
935
935
938
938
939
939
939
939
939
940
941
941
941
942
943
943
945
946
946
947
947
947
948
948
949
949
950
952
954
954
955
956
957
957
957
957
958
958
958
Spis rzeczy
18.3.3. Równanie funkcjonalne Bellmanna . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.3.1. Własności funkcji kosztów . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.3.2. Wyprowadzenie równań funkcjonalnych Bellmanna .
18.3.4. Zasada optymalności Bellmanna . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.5. Metoda równań funkcjonalnych Bellmanna . . . . . . . . . . .
18.3.5.1. Wyznaczenie minimalnych kosztów . . . . . . . . . .
18.3.5.2. Wyznaczanie strategii optymalnej . . . . . . . . . . .
18.3.6. Przykłady zastosowań metody równań funkcjonalnych . . . .
18.3.6.1. Optymalna strategia zakupu . . . . . . . . . . . . . .
18.3.6.2. Zagadnienie plecaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XXXV
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
958
958
958
960
960
960
960
961
961
962
19. METODY NUMERYCZNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
964
19.1. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
19.1.1. Procedura iteracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.1.1. Zwyczajna metoda iteracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.1.2. Metoda Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.1.3. Metoda interpolacji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2. Rozwiązywanie równań wielomianowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2.1. Schemat Hornera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2.2. Położenie miejsc zerowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2.3. Metody numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2. Numeryczne rozwiązywanie układów równań . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.1. Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.1.1. Rozkład trójkątny macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.1.2. Metoda Cholesky’ego dla symetrycznej macierzy współczynników
19.2.1.3. Metoda ortogonalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.1.4. Metoda Jacobiego i metoda Gaussa–Seidela . . . . . . . . . . . .
19.2.2. Układy równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.2.1. Zwyczajna metoda iteracyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.2.2. Metoda Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.2.3. Bezróżniczkowa metoda Gaussa–Newtona . . . . . . . . . . . . .
19.3. Całkowanie numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.1. Ogólne wzory kwadraturowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2. Kwadratury interpolacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2.1. Wzór prostokątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2.2. Wzór trapezów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2.3. Wzór trapezów Hermite’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2.4. Wzór Simpsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.3. Wzory kwadraturowe typu Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.3.1. Wzory kwadraturowe Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.3.2. Wzory kwadraturowe Lobatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.4. Metoda Romberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.4.1. Algorytm metody Romberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.4.2. Zasada ekstrapolacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4. Przybliżone całkowanie równań róźniczkowych zwyczajnych . . . . . . .
19.4.1. Zagadnienia początkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.1.1. Metoda łamanej Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.1.2. Metoda Rungego–Kutty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.1.3. Metody wielokrokowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
964
964
965
965
966
967
967
969
970
970
971
971
974
974
976
978
978
978
979
980
980
980
981
981
981
982
982
982
983
983
983
984
986
986
986
987
987
XXXVI
Spis rzeczy
19.4.1.4. Metoda prognostyka i korektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.1.5. Zbieżność, konsystencja, stabilność . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.2. Zagadnienia brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.2.1. Metoda różnicowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.2.2. Metoda postulowania postaci rozwiązania . . . . . . . . . . . . .
19.4.2.3. Metoda strzałów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5. Przybliżone całkowanie równań różniczkowych cząstkowych . . . . . . .
19.5.1. Metoda różnicowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5.2. Metoda postulowania rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5.3. Metoda elementów skończonych (FEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6. Aproksymacja, dopasowanie, analiza harmoniczna . . . . . . . . . . . . . .
19.6.1. Interpolacja wielomianami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.1.1. Wzór interpolacyjny Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.1.2. Wzór interpolacyjny Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.1.3. Interpolacja według Aitkena–Neville’a . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.2. Aproksymacja w normie kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.2.1. Zagadnienie ciągłe, równania normalne . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.2.2. Zagadnienie dyskretne, równania normalne, metoda Householdera
19.6.2.3. Zagadnienia wielowymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.2.4. Nieliniowe zagadnienia średniej kwadratowej . . . . . . . . . . . .
19.6.3. Aproksymacja Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.3.1. Sformułowanie zagadnienia i twierdzenie o alternantach . . . . .
19.6.3.2. Własności wielomianów Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.3.3. Algorytm Remesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.3.4. Dyskretna aproksymacja Czebyszewa i optymalizacja . . . . . .
19.6.4. Analiza harmoniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.4.1. Wzory na interpolację trygonometryczną . . . . . . . . . . . . .
19.6.4.2. Szybka transformacja Fouriera (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7. Przedstawienie krzywych i powierzchni za pomocą funkcji sklejających
19.7.1. Sześcienne funkcje sklejające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.1.1. Interpolacyjne funkcje sklejające . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.1.2. Dopasowujące funkcje sklejające . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.2. Bisześcienne funkcje sklejające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.2.1. Własności bisześciennych funkcji sklejających . . . . . . . . . . .
19.7.2.2. Bisześcienne interpolacyjne funkcje sklejające . . . . . . . . . . .
19.7.2.3. Bisześcienne dopasowujące funkcje sklejające . . . . . . . . . . .
19.7.3. Przedstawienie Bernsteina–Béziera dla krzywych i powierzchni . . . . . .
19.7.3.1. Zasada przedstawienia B–B dla krzywych . . . . . . . . . . . . .
19.7.3.2. Przedstawienie B–B dla powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8. Wykorzystanie komputerów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.1. Wewnątrzmaszynowe przedstawienia znaków . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.1.1. Systemy liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.1.2. Wewnątrzmaszynowe przedstawienie liczb . . . . . . . . . . . . .
19.8.2. Problemy numeryczne przy obliczeniach na komputerze . . . . . . . . . .
19.8.2.1. Wprowadzenie, rodzaje błędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.2.2. Znormalizowane liczby dziesiętne i zaokrąglanie . . . . . . . . .
19.8.2.3. Kwestia dokładności w rachunkach numerycznych . . . . . . . .
19.8.3. Biblioteki metod numerycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.3.1. Biblioteka NAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.3.2. Biblioteka IMSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.3.3. Biblioteka akwizgrańska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
988
989
990
990
991
993
993
993
995
996
1000
1000
1001
1001
1002
1003
1003
1004
1005
1006
1007
1007
1008
1009
1010
1011
1011
1012
1016
1016
1016
1017
1018
1018
1018
1020
1020
1021
1021
1022
1022
1022
1024
1025
1025
1026
1027
1031
1032
1032
1033
Spis rzeczy
XXXVII
19.8.4. Zastosowanie specjalistycznych programów obliczeniowych . . . . . . . .
19.8.4.1. Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.8.4.2. Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1033
1033
1037
20. PAKIETY OPROGRAMOWANIA MATEMATYCZNEGO . . . . . . . . . .
1041
20.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.1. Krótka charakterystyka pakietów oprogramowania matematycznego
20.1.2. Przykłady wprowadzające do głównych obszarów zastosowań . . . .
20.1.2.1. Manipulowanie wzorami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.2.2. Obliczenia numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.2.3. Przedstawienia graficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.2.4. Programowanie w pakietach obliczeniowych . . . . . . . . .
20.1.3. Struktura programów i obchodzenie się z pakietami obliczeniowymi
20.1.3.1. Główne elementy strukturalne . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2. Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.1. Podstawowe elementy strukturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2. Rodzaje liczb w programie Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2.1. Podstawowe typy liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2.2. Liczby specjalne, stałe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2.3. Przedstawienia liczb, konwersja . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.3. Ważne operatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.4. Listy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.4.1. Pojęcie i znaczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.4.2. Listy zagnieżdżone (pakietowe) . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.4.3. Działania na listach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.4.4. Specjalne listy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.5. Wektory i macierze jako listy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.5.1. Tworzenie odpowiednich list . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.5.2. Działania na macierzach i wektorach . . . . . . . . . . . . .
20.2.6. Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.6.1. Standardowe funkcje matematyczne . . . . . . . . . . . . . .
20.2.6.2. Funkcje specjalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.6.3. Funkcje czyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.7. Wzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.8. Operatory funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.9. Programowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.10. Uzupełnienia dotyczące składni, pomocy, komunikatów . . . . . . . .
20.2.10.1. Środowiska, atrybuty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.10.2. Pomoc, informacja o obiektach . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.10.3. Komunikaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3. Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1. Podstawowe elementy strukturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1.1. Typy i obiekty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1.2. Polecenia (wejścia) i odpowiedzi (wyjścia) . . . . . . . . . .
20.3.2. Rodzaje liczb w programie Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.2.1. Podstawowe typy liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.2.2. Stałe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.2.3. Przedstawienia i konwersja liczb . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.3. Ważne operatory w programie Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.4. Wyrażenia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1041
1041
1042
1042
1043
1043
1043
1044
1044
1045
1045
1046
1046
1047
1047
1048
1049
1049
1050
1050
1050
1051
1051
1051
1053
1053
1053
1053
1054
1054
1056
1057
1057
1057
1057
1058
1058
1058
1059
1060
1060
1061
1061
1062
1062
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XXXVIII
Spis rzeczy
20.3.5. Ciągi i listy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.6. Struktury tabelowe i polowe, wektory i macierze . . . . . . . . . . .
20.3.6.1. Tabele i pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.6.2. Pola jednowymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.6.3. Pola dwuwymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.6.4. Specjalne instrukcje odnoszące się do wektorów i macierzy
20.3.7. Funkcje i operatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.7.1. Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.7.2. Operatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.7.3. Operatory różniczkowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.7.4. Operator funkcyjny map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.8. Programowanie w Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.9. Uzupełnienia dotyczące składni, informacji i pomocy . . . . . . . . .
20.3.9.1. Użycie biblioteki Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.9.2. Zmienne środowiskowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.9.3. Informacja i pomoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4. Zastosowania programów obliczeniowych . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.1. Manipulowanie wyrażeniami algebraicznymi . . . . . . . . . . . . . .
20.4.1.1. Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.1.2. Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.2. Rozwiązywanie równań i układów równań . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.2.1. Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.2.2. Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3. Elementy algebry liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3.1. Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3.2. Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.4. Rachunek różniczkowy i całkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.4.1. Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.4.2. Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5. Grafika w programach matematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1. Tworzenie grafiki za pomocą programu Mathematica . . . . . . . . .
20.5.1.1. Podstawy tworzenia grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1.2. Podstawowe elementy graficzne . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1.3. Opcje graficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1.4. Składnia przedstawień graficznych . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1.5. Krzywe dwuwymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1.6. Parametryczne przedstawienia krzywych . . . . . . . . . . .
20.5.1.7. Przedstawienia powierzchni i krzywych przestrzennych . .
20.5.2. Grafika w Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.2.1. Grafika dwuwymiarowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.2.2. Grafika trójwymiarowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1063
1064
1064
1065
1065
1066
1066
1066
1067
1068
1068
1068
1069
1069
1070
1070
1070
1070
1070
1073
1076
1076
1078
1080
1080
1082
1085
1085
1089
1092
1092
1092
1093
1094
1094
1096
1097
1098
1100
1100
1103
21. TABELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1106
21.1. Często używane stałe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2. Podstawowe stałe fizyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3. Ważne rozwinięcia w szereg potęgowy . . . . . . . . . .
21.4. Zestawienie niektórych rozkładów w szereg Fouriera
21.5. Całki nieoznaczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1106
1106
1109
1114
1117
Spis rzeczy
21.5.1. Całki funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.1.1. Całki zawierające X = ax + b . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.1.2. Całki zawierające X = ax2 + bx + c . . . . . . . . . . .
21.5.1.3. Całki zawierające X = a2 ± x2 . . . . . . . . . . . . . .
21.5.1.4. Całki zawierające X = a3 ± x3 . . . . . . . . . . . . . .
21.5.1.5. Całki zawierające X = a4 + x4 . . . . . . . . . . . . . .
21.5.1.6. Całki zawierające X = a4 − x4 . . . . . . . . . . . . . .
21.5.1.7. Niektóre przypadki rozkładu ułamka na ułamki proste
21.5.2. Całki funkcji niewymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
21.5.2.1. Całki zawierające x i a2 ± b2 x . . . . . . . . . . . . .
√
x . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.2.2. Inne całki zawierające
√
21.5.2.3. Całki zawierające √ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
21.5.2.4. Całki zawierające √ax + b i f x + g . . . . . . . . . .
2
2
21.5.2.5. Całki zawierające √a − x . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.2.6. Całki zawierające √x2 + a2 . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.2.7. Całki zawierające √x2 − a2 . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.2.8. Całki zawierającet ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . .
21.5.2.9. Całki zawierające inne wyrażenia niewymierne . . . . .
21.5.2.10. Wzory rekurencyjne dla całki różniczki dwumiennej . .
21.5.3. Całki funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.3.1. Całki zawierające sin ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.3.2. Całki zawierające cos ax . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.3.3. Całki zawierające sin ax i cos ax . . . . . . . . . . . . .
21.5.3.4. Całki zawierające tg ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.3.5. Całki zawierające ctg ax . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.4. Całki innych funkcji przestępnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.4.1. Całki funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.4.2. Całki funkcji wykładniczych . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.4.3. Całki funkcji logarytmicznych . . . . . . . . . . . . . . .
21.5.4.4. Całki funkcji cyklometrycznych . . . . . . . . . . . . . .
21.5.4.5. Całki odwrotnych funkcji hiperbolicznych . . . . . . . .
21.6. Całki oznaczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.6.1. Całki oznaczone funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . .
21.6.2. Całki oznaczone funkcji wykładniczych . . . . . . . . . . . . . . . .
21.6.3. Całki oznaczone funkcji algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7. Całki eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.1. Całki eliptyczne pierwszego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.2. Całki eliptyczne drugiego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7.3. Całki eliptyczne zupełne K i E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.8. Funkcja gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.9. Funkcje Bessela (funkcje walcowe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.10. Wielomiany Legendre’a pierwszego rodzaju (funkcje kuliste) . .
21.11. Transformacje Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.12. Transformacje Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.12.1. Transformacje cosinus Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.12.2. Transformacje sinus Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.12.3. Transformacje Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.12.4. Wykładnicze transformacje Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XXXIX
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1117
1117
1119
1121
1122
1123
1124
1124
1124
1124
1125
1125
1127
1128
1129
1131
1133
1135
1135
1135
1136
1138
1141
1145
1145
1146
1146
1147
1148
1150
1151
1152
1152
1154
1155
1157
1157
1157
1158
1159
1160
1162
1163
1168
1168
1174
1179
1181
XL
Spis rzeczy
21.13. Transformacje Z . . . . . . . . . . . . . . .
21.14. Rozkład Poissona . . . . . . . . . . . . . .
21.15. Standardowy rozkład normalny . . . . .
21.15.1. Standardowy rozkład normalny dla
21.16. Rozkład χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.17. Rozkład F -Fishera . . . . . . . . . . . . . .
21.18. Rozkład t-Studenta . . . . . . . . . . . . .
21.19. Liczby przypadkowe . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
0,00 ≤ x ≤ 1,99
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1182
1184
1186
1186
1188
1189
1191
1192
22. LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1193
Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1210