Teoria grafów Lista 4 1. Graf G(V,E) zawiera jako podgrafy

Teoria grafów
Lista 4
1. Graf G(V,E) zawiera jako podgrafy dokładnie dwa cykle. Pokazać, że sa̧ one rozła̧czne.
2. Pokazać, że jeśli T jest grafem spinaja̧cym grafu G, to
a) każde rozciȩcie grafu G ma krawȩdź wspólna̧ z T ;
b) każdy cykl w grafie G ma krawȩdź wspólna̧ z dopełnieniem T .
3. Pokazać, że każde drzewo jest grafem dwudzielnym.
4. Niech G bȩdzie grafem spójnym. Co można powiedzieć o krawȩdzi należa̧cej do każdego drzewa
spinaja̧cego tego grafu?
5. Wyznacz rzȩdy cykliczności nastȩpuja̧cych grafów: K5 , K3,3 , graf Petersena.
6. Udowodnij, że jeśli T1 i T2 sa̧ drzewami spinaja̧cymi pewnego grafu spójnego G, i e jest pewna̧
krawȩdzia̧ drzewa T1 , to istnieje krawȩdź f drzewa T2 taka, że graf T1 pomniejszony o krawȩdź
e i powiȩkszony o krawȩdź f też jest grafem spinaja̧cym G (innymi słowy: po zasta̧pieniu
krawȩdzi e przez f w T1 nadal mamy drzewo rozpinaja̧ce).
7. Ile jest drzew binarnych o 5 wierzchołkach (z dokładnościa̧ do izomorfizmu)?
Wprowadźmy nastepujące pojęcia:
Acentryczność wierzchołka grafu spójnego to maksymalna z odległości tego wierzchołka do
innych wierzchołków grafu. Promień grafu to najmniejsza acentryczność wierzchołka wśród
wszystkich wierzchołków grafu. Średnica grafu spójnego to odległość na jaka są oddalone dwa
najodleglejsze wierzchołki grafu, czyli najmniesza taka liczba n, że dowolne dwa wierzchołki
łączy ścieżka długości co najwyżej n. Centrum grafu spójnego to wierzchołek o tej własności, że
największa z odległości od tego wierzchołka do innych wierzchołków tego grafu jest najmniejsza.
8. Znajdź drzewo spinające poniższego grafu, które ma możliwie najmniejszy promień.
v
v
@
@
v @v
v
v
@
@
v @v
v
v
v
v
v
v
9. Sprawdź, czy poniższe zdania są prawdziwe:
a) Średnica grafu G d(G) jest równa 2*ρ(G), gdzie ρ(G) oznacza promień grafu.
b) Jeśli średnica grafu G jest równa 2, to w G można znaleźć drzewo spinające będące gwiazdą.
c) Jeśli w G istnieje drzewo spinające będące gwiazdą, to d(G) = 2.
10. Ile drzew spinających ma graf Kn ? K2,s ? (rozpatrujemy grafy oznakowane)