De¯nicja 1 Graf prosty G sk攏ada si ,e z niepustego zbioru sko

Grafy
De¯nicja 1 Graf prosty G skÃlada sie, z niepustego zbioru sko¶
nczonego V (G),
kt¶
orego elementy bedziemy
nazywa¶
c
wierzchoÃ
l
kami
grafu
(lub
w
ezÃ
nczonego
,
, lami) i z sko¶
zbiou E(G) r¶
oz_ nych par nieuporzadkowanych
r¶
o
z
_
nych
element¶
o
w
zbioru
V
(G),
,
kt¶
ore nazywamy krewedziami.
Zbi¶
or V (G) nazywamy zbiorem wierzchoÃlk¶
ow, a
,
zbi¶
or E(G) zbiorem kerwedzi
grafu
G.
,
De¯nicja 2 M¶
owimy z_ e krawed¶
wierzchoÃlki u i v i bedziemy
ja,
, z fu; vg Ãlaczy
,
,
oznacza¶c uv.
Uwaga 1 W ka_zdym gra¯e prostym istnieje co najwy_zej jedna krawed¶
, z Ãlacz
, aca
,
dana, pare, wierzchoÃlk¶
ow.
De¯nicja 3 Obiekt,w kt¶
orym moga, wystepowa¶
c petle
i krawedzie
wielokrotne
,
,
,
bedziemy
nazywa¶
c
grafem
og¶
o
lnym
lub
grafem.
,
Uwaga 2 Graf skÃlada sie, z niepustego zbioru sko¶
nczonego V (G), kt¶
orego elementy nazywamy wierzchoÃlkami i sko¶
nczonej rodziny E(G) par nieuporzadkowanych
,
(moga, by¶c r¶
owne) nazywanych krawedziami.
,
De¯nicja 4 M¶
owimy, z_ e grafy G1 i G2 sa, izomor¯czne, je¶sli istnieje wzajemnie
jednoznaczna odpowiednio¶s¶c miedzy
wierzchoÃlkami grafu G1 i grafu G2 taka, z_ e
,
liczba krawedzi
l
Ã
acz
aca
dane
dwa
wierzchoÃ
lki grafu G1 jest r¶
owna liczbie krawedzi
,
,
,
,
Ãlacz
acych
odpowiadaj
ace
im
wierzchoÃ
l
ki
grafu
G
.
2
,
,
,
De¯nicja 5 Je¶sli wierzchoÃlki grafu sa, nazwane np. literami lub cyframi, to graf
nazywamy oznakowanym, je¶sli nie, to graf nazywamy nieoznakowanym.
Drzewa
De¯nicja 6 Lasem nazywamy graf nie zawierajacy
cykli, a drzewem nazywamy
,
las sp¶
ojny.
Wniosek 1 Drzewo jest najprostszym nietrywialnym typem grafu.
Wniosek 2 Ka_zde dwa wierzchoÃlki drzewa sa, poÃlaczone
dokÃladnie jedna, droga.
,
,
Twierdzenie 1 Niech T bedzie
grafem majacym
dokÃladnie n wierzchoÃlk¶
ow.
,
,
Wtedy nastepuj
ace
warunki
s
a
r¶
o
wnowa_
z
ne:
,
,
,
(1) T jest drzewem;
(2) T nie zawiera cykli i ma n ¡ 1 krawedzi;
,
(3) T jest grafem sp¶
ojnym i ma n ¡ 1 krawedzi;
,
(4) T jest grafem sp¶
ojnym i ka_zda krawed¶
, z jest mostem;
1
(5) ka_zde dwa wierzchoÃlki T sa, poÃlaczone
dokÃladnie jedna, droga;
,
,
(6) T nie zawiera cykli, ale po dodaniu dowolnej nowej krawedzi
otrzymany graf
,
ma dokÃladnie jeden cykl.
Wniosek 3 JeÃli G jest grafem, kt¶
ory ma n wierzchoÃlk¶
ow i k skÃladowych, to G
ma n ¡ k krawedzi.
,
Twierdzenie 2 Istnieje 6 z dokÃladno¶scia, do izomor¯zmu drzew majacych
6
,
wierzchoÃlk¶
ow.
Twierdzenie 3 (Cayley) Istnieje nn¡2 r¶
oz_ nych drzew oznakowanych majacych
,
n wierzchoÃlk¶
ow.
Twierdzenie 4 (Algorytm zachÃlanny) Niech G bedzie
grafem sp¶
ojnym majacym
,
,
n wierzchoÃlk¶
ow. Wtedy nastepuj
aca
konstrukcja
daje
rozwi
azanie
problemu
,
,
,
najkr¶
otszych poÃlacze¶
n:
,
(a) niech e1 bedzie
krawedzi
a, o najmniejszej wadze;
,
,
(b) de¯niujemy krawedzie
e2 ; e3 ; : : : ; en¡1 wybierajac
zdym razem nowa,
,
, za ka_
krawed¶
z
o
najmniejszej
mo_
z
liwej
wadze,
kt¶
o
ra
nie
tworzy
cyklu z dotychczas
,
wybranymi krawedziami
e
.
i
,
Podgraf T grafu G, kt¶
orego krawedziami
sa, e1 ; e2 ; : : : ; en¡1 , jest szukanym grafem.
,
Digrafy
De¯nicja 7 Graf skierowany lub digraf skÃlada sie, z niepustego zbioru sko¶
nczonego
V (D) elemet¶
ow nazywanych wierzchoÃlkami i sko¶
nczonej rodziny A(D) par uporzadkowanych
,
element¶
ow zbioru V nazywanych Ãlukami. Zbi¶
or V (D) nazywamy zbiorem wierzchoÃlk¶
ow, a rodzine, A(D) rodzina, Ãluk¶
ow digrafu D.
De¯nicja 8 Je¶sli D jest digrafem, to graf otrzymany z D przez usuniecia
strzaÃlek,
,
tzn. przez zastapienie
ka_
z
dego
l
Ã
uku
postaci
AB
odpowiadaj
ac
a
mu
kraw
edzi
a, AB,
,
, ,
,
nazywamy szkieletem digrafu D.
De¯nicja 9 Digraf D nazywamy prostym, gdy wszystkie Ãluki sa, r¶
oz_ ne i nie ma
petli.
,
PrzykÃlad 1 Szkielet digrafu prostego nie musi by¶c digrafem prostym.
De¯nicja 10 Dwa digrafy sa, izomofriczne, gdy istnieje izomor¯zm ich szkielet¶
ow
zachowujacy
kolejno¶s¶c wierzchoÃlk¶
ow w ka_zdym Ãluku.
,
De¯nicja 11 Digraf nazywamy sp¶
ojnym, gdy nie mo_zna przedstawi¶c go w postaci
sumy dw¶
och digraf¶
ow, zde¯niowanej w oczywisty spos¶
ob.
2
De¯nicja 12 Digraf nazywamy silnie sp¶
ojnym, gdy dla dowolnych dw¶
ocgh wierzchoÃlk¶
o"w A i B istnieje droga od A do B.
PrzykÃlad 2 Ruch jednokierunkowy w mie¶scie.
De¯nicja 13 Graf nazywamy orientowalnym, je¶sli ka_zda, jego krawedz
mo_zna
,
zde¯niowa¶c w taki spos¶
ob, aby otrzymany graf staÃl sie, grafem silnie sp¶
ojnym.
Uwaga 3 Ka_zdy graf eulerowski jest orientowalny.
Twierdzenie 5 Niech G bedzie
grafem sp¶
ojnym. W¶
owczas graf G jest
,
orientowalny wtedy i tylko wtedy, gdy ka_zda krawed¶
z
grafu G jest zawarta w co
,
najmniej jednym cyklu.
PrzykÃlad 3 Problem dr¶
og krytycznych. Digraf z wagami nazywamy siecia, zdarze¶
n.
NajdÃlu_zsza, droge, nazywamy droga, krytyczna.
,
Digrafy eulerowskie
De¯nicja 14 Digraf sp¶
ojny nazywamy eulerowskim, je¶sli istnieje ¶scie_zka zamknieta
,
zawierajaca
ka_zdy Ãluk digrafu D. Taka, ¶scie_zke, nazywamy ¶scie_zka, eulerowska.
,
,
De¯nicja 15 Digraf sp¶
ojny nie bed
grafem eulerowskim nazywamy p¶
oÃleulerowskim,
, acy
,
je¶sli istnieje ¶scie_zka zawierajaca
ka_
z
dy
l
Ã
uk
digrafu
D.
,
De¯nicja 16 Stopniem wyj¶sciowym wierzchoÃlka A digrafu D nazywamy liczbe,
Ãluk¶
ow postaci AB i oznaczmy symbolem outdeg (A).
De¯nicja 17 Stopniem wej¶sciowym wierzchoÃlka A digrafu D nazywamy liczbe,
Ãluk¶
ow postaci BA i oznaczmy symbolem indeg (A).
Uwaga 4 Suma stopni wej¶sciowych wszystkich wierzchoÃlk¶
ow digrafu D jest r¶
owna
sumie wszystkich stopni wyj¶sciowych.
De¯nicja 18 WierzchoÃlek majacy
stopie¶
n wej¶sciowy r¶
owny 0 nazywamy ¶zr¶
odÃlem
,
digrafu D, a wierzchoÃlek majacy
stopie¶
n
wy¶
s
ciowy
r¶
o
wny
0
nazywamy
uj¶
s
ciem
,
digrafu D.
Twierdzenie 6 Digraf sp¶
ojny jest digrafem eulerowskim wtedy i tylko wtedy,
gdy dla ka_zdego wierzchoÃlka A digrafu D zachodzi r¶
owno¶s¶c:
outdeg(A) = indeg(A):
Digrafy hamiltonowskie
De¯nicja 19 Digraf D nazywamy hamiltonowskim, je¶sli istnieje cykl zawierajacy
,
ka_zdy wierzchoÃlek digrafu D.
3
De¯nicja 20 Digraf D nie bed
grafem hamiltonowskim nazywamy p¶
oÃlhamiltonowskim,
, acy
,
je¶sli istnieje droga zawierajaca
ka_
z
dy
wierzchoÃ
l
ek
digrafu
D.
,
Twierdzenie 7 Niech D bedzie
digrafem silnie sp¶
ojnym majacym
n wierz,
,
choÃlk¶
ow. Je¶sli outdeg (A) ¸ n2 i indeg(A) ¸ n2 dla ka_zdego wierzchoÃlka A,
to digraf D jest hamiltonowski.
De¯nicja 21 Turniejem nazywamy digraf, w kt¶
orym ka_zde dwa wierzchoÃlki
poÃlaczone
s
a
dokÃ
l
adnie
jednym
l
Ã
ukiem.
,
,
Twierdzenie 8 Ka_zdy turniej nie bed
digrafem hamiltonowskim jest p¶
oÃlhamiltonowski.
, acy
,
Ka_zdy turniej silnie sp¶
ojny jest hamiltonowski.
L
à a¶
ncuchy Markowa
De¯nicja 22 BÃladzenie
przypadkowe.
,
Niech pij bedzie
prawdopodobie¶
nstwem tego,
,
Ei do miejsca Ej .
0
1 0 0 0 0 0
B 1 1 1 0 0 0
B 2 61 13 1
B 0
0 0
2
6
3
B
B 0 0 1 1 1 0
2
6
3
B
@ 0 0 0 1 1 1
2
6
3
0 0 0 0 0 0
4
z_ e przesunie sie, on z miejsca
1
C
C
C
C:
C
C
A