Matematyka, II semestr Matematyka Dyskretna 1 Lista 1 1. Dana jest

Matematyka, II semestr
Matematyka Dyskretna 1
Lista 1
1. Dana jest macierz sąsiedztw grafu G = (V, E), V = {v1 , . . . , v|V (G)| }:







(a) 















(c) 








0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0



0




 1

 1

 (b) 


 1



 1



1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0


















.








Podać liczbę krawędzi grafu G, wskazać w grafie G drogę długości 4 (o ile istnieje), łańcuch długości
8 (o ile istnieje), znaleźć macierz incydencji grafu G, podać stopień wierzchołka v3 , znaleźć macierze
incydencji grafów G[{v1 , v2 , v3 }], G[{v2 , v4 , v5 , v6 }].
2. Dana jest macierz icydencji grafu G = (V, E), V = {v1 , . . . , v6 }, postaci









0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1





.



Znaleźć macierz sąsiedztw grafu G, sprawdzić, czy jest dwudzielny, znaleźć jego dopełnienie, podać
listy sąsiedztw tego grafu.
3. Wyznaczyć liczbę krawędzi grafu Kn , K21,11,15,3 , P7 + K2,4,6 , (C11 ∪ K5 ) + P2 .
4. Przedstawić graficznie wszystkie nieizomorficzne grafy o liczbie wierzchołków 3, 4. Wskazać, które
grafy są dwudzielne, spójne.
5. Podać przykłady, o ile istnieją:
(a) grafu dwudzielnego regularnego,
(b) grafu niespójnego o n wierzchołkach i
n−1
2
+ 1 krawędziach, n ∈ N , n ­ 3,
(c) dwóch grafów G1 , G2 takich, że G1 + e1 jest izomorficzny z G2 − e2 dla pewnych krawędzi e1 ∈
E(G1 ), e2 ∈ E(G2 ).
6. Niech G = (X, Y ; E) będzie grafem dwudzielnym rozmiaru m, gdzie |X| = r, |Y | = s. Pokazać, że
(a) m ¬ rs,
1
(b) m ¬ n2 /4,
(c)
P
x∈X
d(v) =
P
y∈Y
d(y),
(d) Jeżeli G jest k-regularny, k ­ 1, to |X| = |Y |.
7. Pokazać, że w dowolnym grafie istnieją co najmniej dwa wierzchołki tego samego stopnia.
8. Pokazać, że liczba wierzchołków stopnia nieparzystego w dowolnym grafie jest zawsze parzysta.
9. Pokazać, że wśród dowolnych sześciu osób zawsze znajdziemy trzy osoby, z których każde dwie znają
się lub trzy, z których żadne dwie się nie znają.
10. Wyrazić ciąg stopni wierzchołków grafu G przy pomocy ciągu stopni wierzchołków grafu G.
11. Niech G będzie grafem. Wyrazić macierz A(G) przy pomocy odpowiednich macierzy grafu G.
12. Pokazać, że nie istnieje graf niespójny G taki, że G jest niespójny.
13. Niech G i H będą grafami izomorficznymi. Co można powiedzieć o ciągach stopni tych grafów. Zakładamy, że ciągi te są uporządkowane nierosnąco.
14. Niech G będzie grafem spójnym. Pokazać, że każdy graf izomorficzny z G jest też spójny.
15. Pokazać, ze dwa grafy G i H są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz permutacji P
taka, że A(H) = P A(G)P −1 . Uwaga: P −1 = P T .
16. Pokazać, ze zbiór wszystkich automorfizmów Aut(G) grafu G z operacją składania permutacji tworzy
grupę, którą będziemy oznaczać Aut(G).
17. Niech G będzie grafem. Pokazać, że Aut(G)=Aut(G).
18. Wyznaczyć grupy automorfizmów następujących grafów:
K3 , Kn , K1,s , Kr,s , Pn , K4 − e, P4 + K1 .
19. Rozpatrzmy podgrupę Γ grupy symetrycznej S3 o elementach: (1)(2)(3), (123), (132). Pokazać, że nie
istnieje graf G dla którego Γ =Aut(G).
20. Niech G będzie grafem samodopełnieniowym, tzn. takim, że G i G są izomorficzne. Pokazać, że
|V (G)| = 4k lub |V (G)| = 4k + 1, dla pewnego k ∈ N0 . Podać przykłady grafów samodopełnieniowych
o liczbie wierzchołków 4, 5, 8, 9.
21. Niech G będzie grafem samodopełnieniowym i niech P4 będzie rozłączny z G. Utwórzmy nowy graf
H (H ′ ) z grafu G ∪ P przez połączenie krawędziami pierwszego i czwartego (drugiego i trzeciego)
wierzchołka P4 z każdym wierzchołkiem grafu G. Pokazać, że tak otrzymany graf H (H ′ ) jest samodopełnieniowy.
22. Pokazać,że K3 2K3 jest grafem samodopełnieniowym.
23. Pokazać, że (K4 − e)2K2 jest grafem samodopełnieniowym.
24. Wyznaczyć stopnie wierzchołków grafu G2H przy pomocy stopni wierzchołków grafu G i H.
25. Pokazać, że K2 2K2 2K2 = K4 2K2 .
26. Pokazać, że produkt kartezjański dwóch grafów dwudzielnych jest dwudzielny.
2