Ćwiczenia 8

Graf planarny – graf, który można narysowac na płaszczyźnie bez przecięć.
Taki rysunek płaski grafu planarnego nazywamy grafem płaskim.
Każdy planarny graf prosty może być narysowany za pomocą odcinków.
Grafy K3,3 i K5 są nieplanarne.
Każdy podgraf grafu planarnego jest grafem planarnym.
Każdy graf zawierający podgraf nieplanarny jest nieplanarny.
Dwa grafy są homeomorficzne jeśli oba można uzyskać z tego samego
grafu poprzez dodanie nowych wierzchołków stopnia 2 wewnątrz ich
grawędzi.
Dany graf jest planarny wttw gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z
grafem K3,3 lub z grafem K5. (Tw. Kuratowskiego)
Graf H nazywamy grafem ściągalnym do grafu K3,3 lub do grafu K5, jeśli
możemy otrzymać graf K3,3 lub graf K5 ściągając kolejno krawędzie grafu H.
Liczba przecięć cr(G) grafu G – najmniejsza liczba przecięć, które muszą
wystąpić, gdy przedstawiamy graf G na płaszczyźnie.
Dla grafu planarnego G, każdy jego rysunek płaski dzieli zbiór punktów
płaszczyzny nie leżących na grafie G na obszary zwane ścianami.
Aby skonstruować graf G* dualny (geometrycznie) do grafu planarnego G,
dla danego rysunku płaskiego grafu G należy:
- wewnątrz każdej ściany grafu G wyznaczyć punkt v* (wierzchołki grafu G*)
- dla każdej krawędzi e grafu G prowadzimy linię e* przecinającą e (i nie
przecinającą żadnej innej krawędzi grafu G) i łączącą wierzchołki v* ścian
oddzielonych od siebie krawędzią e (powstaną w ten sposób krawędzie grafu
G*).
Niech G będzie spójnym grafem płaskim o n wierzchołkach, m krawędziach i f
ścianach. Wtedy w grafie G* dualnym do grafu G jest n*=f wierzchołków,
m*=m krawędzi i f*=n ścian.
Niech G będzie rysunkiem płaskim spójnego grafu płaskiego i niech n,m i f
oznaczają odpowiednio liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian grafu G.
Wtedy n-m+f=2
(Tw. Eulera)
Graf G jest k-kolorowalnym / (k-kolorowalnym(v)), jeśli każdemu
wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów tak, aby sąsiednie
wierzchołki miały różne kolory.
Graf jest k-chromatyczny, jeśli k jest najmniejszą liczbą taką, że graf jest kkolorowalny.
Liczba chromatyczna χ(G)– najmniejsza liczba kolorów, których musimy
użyć do pokolorowania wierzchołków grafu G.
Jeśli G jest grafem prostym, w którym największym stopniem wierzchołka jest
i, to graf G jest (i+1)-kolorowalny.
Jeśli dany jest spójny graf prosty G, nie będący grafem pełnym, oraz
największy stopień wierzchołka wynosi i, (i≥3), to graf G jest i-kolorowalny
(Tw. Brooksa).
Każdy planarny graf prosty jest 6-kolorowalny.
Każdy planarny graf prosty jest 5-kolorowalny. (Tw. o pięciu barwach)
Każdy planarny graf prosty jest 4-kolorowalny. (Appel, Haken)
Mapa – graf planarny 3-spójny (nie zawiera rozcięć mających 1 lub 2
krawędzie).
Mapa jest k-kolorowalna(f), jeśli jej ściany można pokolorować k kolorami w
taki sposób, by żadne dwie ściany ograniczone wspólną krawędzią nie były
pokolorowane tym samym kolorem.
Twierdzenie o czterech barwach dla map jest równoważne z twierdzeniem o
czterech barwach dla grafów planarnych.
Mapa jest 2-kolorowalna wttw gdy graf G jest grafem eulerowskim (tzn.
posiadającym cykl Eulera)