1. Obliczy¢, o ile istniej¡, granice ci¡gów o nast¦puj¡cych wyrazach

Kolokwium poprawkowe w dniu 29 stycznia 2016 r. - zadania do samodzielnego rozwi¡zania
zakres kolokwium 1
1. Obliczy¢, o ile istniej¡, granice ci¡gów o nast¦puj¡cych wyrazach ogólnych:
an =
4n−2 1−3n
,
4n+3
bn = 5 − sin nπ
,
6
cn =
√
n
3n + 5n
.
2. Obliczy¢, o ile istniej¡, granice ci¡gów o nast¦puj¡cych wyrazach ogólnych:
an =
cos( nπ
)
5
− 4,
bn =
5n+1 2n−3
5n−3
,
q
cn = n 1 +
1
.
2n
∞ 4+ 1 n
P
( n)
3. Korzysta j¡c z kryterium Cauchy'ego, zbada¢ zbie»no±¢ szeregu
n=1
4. Korzysta j¡c z kryterium d'Alemberta, zbada¢ zbie»no±¢ szeregu
∞
P
n=1
10·3n
.
5n!
.
n4
5. Wyznaczy¢ sum¦ szeregu o ci¡gu sum cz¦±ciowych
(Sn )n∈N ,
gdzie
Sn =
n−4n2
.
7+2n2
6. Wyznaczy¢ sum¦ szeregu o ci¡gu sum cz¦±ciowych
(Sn )n∈N ,
gdzie
Sn =
n(3−n)
.
(7+2n)(4+5n)
7. Korzysta j¡c ze znajomo±ci standardowych granic oraz z twierdze« nieodwoªuj¡cych si¦ do rachunku
ró»niczkowego, obliczy¢:
(a)
√
3
21−x −3
,
x→−6 sin(x+6)
lim
(b)
√
3
21−x −3
,
x→−6 sin(x+6)
lim
√
(c)
21−x −5
,
x→−4 sin(x+4)
lim
(d)
2x2 −8x−10
3 −2x2 −15x .
x
x→5
lim
Kolokwium poprawkowe w dniu 29 stycznia 2016 r. - zadania do samodzielnego rozwi¡zania
zakres kolokwium 2
1. Obliczy¢, o ile istnieje, pochodn¡ funkcji
f (x) =
a)
√
f (x) =
a)
f (x) =
a)
f
x0 ,
16
√ − x gdy x ≤ 4 , x0 = 4,
x − 2 gdy x > 4
√
f
b)
je±li
b)
w punkcie
2
3. Obliczy¢, o ile istnieje, pochodn¡ funkcji
w punkcie
gdy x ≤ 4
, x0 = 4,
2(x − 1)(x − 4) gdy x > 4
2. Obliczy¢, o ile istnieje, pochodn¡ funkcji
f
x−2
3
x0 ,
f (x) =
√
65x+2 , x0 = 0 ,
je±li
f (x) = arctg(ln( x4 )), x0 = 4 .
w punkcie
x−5
2
gdy x ≤ 25
, x0 = 25,
x(x − 25) gdy x > 25
x0 ,
b)
je±li
f (x) = cos(log4 (x2 + x + 1)), x0 = 0 .
4. Korzysta j¡c z reguªy de l'Hospitala, obliczy¢
lim 4ln(x)2 .
x→1 5x −x −4
5. Korzysta j¡c z reguªy de l' Hospitala obliczy¢
lim arctg(x−2) .
x→2 log2 (x−1)
6. Znale¹¢ przedziaª, w którym funkcja
f (x) = −2x3 − 6x2 + 210x + 1
7. Znale¹¢ przedziaª, w którym funkcja
f (x) = 2x3 − 3x2 − 72x + 5
8. Znale¹¢ przedziaª, w którym funkcja
f (x) = 12 x4 − x3 − 18x2 − 4x + 7
9. Znale¹¢ przedziaª, w którym funkcja
f (x) = − 34 x4 − 6x3 + 6x2 − 5x + 8
jest rosn¡ca.
jest malej¡ca.
5x−2
w punkcie
3x−2
10. Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji
f (x) =
11. Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji
f (x) = x · 5x
ma wykres wypukªy.
ma wykres wkl¦sªy.
(2, f (2)).
w punkcie
(−1, f (−1)).
Kolokwium poprawkowe w dniu 29 stycznia 2016 r. - zadania do samodzielnego rozwi¡zania
zakres kolokwium 3
F (x) = x2 − 3 + ln x +
2
2 −3)
f (x) = (x +1)(2x
w zbiorze X = [1, 2].
x3
1. Sprawdzi¢, czy funkcja
3
2x2
2. Korzysta j¡c z podstawowych wzorów wyznaczy¢
3. Wyznaczy¢ caªk¦ nieoznaczon¡
4. Wyznaczy¢ caªk¦ nieoznaczon¡
jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
R
6coshx −
+
10
sin2 x
−3·
R
√ 8dx
, caªkuj¡c przez podstawienie (t
x· 3 (5 ln x+9)2
R
6x2 ·
√
4x3 + 5 dx,
√ x3x
√
dx.
24x
= 5 ln x + 9).
t = 4x3 + 5).
caªkuj¡c przez podstawienie (
5x
Rf (x) = (3 − 7x)4 . Caªkuj¡c5xprzez cz¦±ci,
f (x)dx w postaci (ax + b)4 + C .
5. Dana jest funkcja
nieoznaczon¡
9x−1
3x+3
wyznaczy¢ caªk¦
2
przez cz¦±ci, wyznaczy¢ caªk¦
Rf (x) = (5x − x )log3 x. Caªkuj¡c
f (x)dx w postaci log3 x(ax3 + bx2 + cx + d) + (ex3 + f x2 + gx + h) + C .
6. Dana jest funkcja
nieoznaczon¡
3x−7
.
Zapisa¢ warto±¢ f (x) w postaci sumy
f (x) = (x+3)(x−5)
R
B
A
+ x−5
). Wyznaczy¢
f (x)dx.
A, B takie, »e f (x) = x+3
7. Dana jest funkcja wymierna
prostych (Wyznaczy¢ liczby
8. Wyznaczy¢ caªk¦ oznaczon¡
R2
0
9. Wyznaczy¢ caªk¦ oznaczon¡
R1
√ 4x
dx, caªkuj¡c przez podstawienie (t
6x2 +1
(9x + 1) cos (2x) dx,
uªamków
= 6x2 + 1).
caªkuj¡c przez cz¦±ci.
0
10. Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji
przedziale
f (x) = (9x − 2)e3x+1
i osi¡ odci¦tych w
[1, 2].
f (x) =
11. Wykres funkcji
q
6(x−1)
w przedziale
(x+2)(x−4)
2
Obliczy¢ obj¦to±¢ bryªy V. ( a) przedstawi¢
[5, 8]
f (x)
obrócono wokóª osi
w postaci
A
x+2
+
OX
i otrzymano bryª¦ V.
B
, b) korzystaj¡c z tego przedx−4
stawienia i odpowiedniego wzoru, wyrazi¢ obj¦to±¢ bryªy V w postaci caªki oznaczonej, c) obliczy¢
dokªadn¡ warto±¢ caªki. )
12. Obliczy¢ dªugo±¢ ªuku krzywej
Przedstawi¢
0
2
(f (x)) + 1
f (x) = x4 +
1
32 x2
+3
w przedziale
w postaci kwadratu sumy dwóch wyra»e«.
przedstawienia oraz odpowiedniego wzoru wyrazi¢ dªugo±¢ ªuku
caªki oznaczonej. d) Wyznaczyc dokªadnie dªugo±¢ ªuku.)
f
[4, 5].
( a) Obliczy¢
f 0.
b)
c) Korzystaj¡c z uzyskanego
w podanym przedziale w postaci