GEO 156005, pula

GEO 156005, pula ...........
Informacje wst¦pne:
Nr zadania:
082 034 058
100
Do pracy nale»y doª¡czy¢ stron¦ tytuªow¡.
Ukªad pracy: Rozwi¡zanie na str.: 1, 2 3, 4 5, 6 7, 8 + kartka . Wolno u»ywa¢ wyª¡cznie papier kserograczny
A4 (nie dotyczy wykresu w zadaniu 100).
kratkowana
082. Dana jest funkcja f (x) = g(x)h(x), gdzie g(x) =
kartk¦ tabel¦
1
10 3x
i h(x) =
p3
3x 10. a) Przerysowa¢ na
x0 = 3 funkcja pierwsza pochodna druga pochodna trzecia pochodna
g
h
f
a nast¦pnie wypeªni¢ wolne pola warto±ciami odpowiednich pochodnych w punkcie x0 = 3 (przy wypeªnianiu
ostatniego wiersza mo»na wykorzysta¢ wzór Leibniza). b) Napisa¢ rozwini¦cie wedªug wzoru Taylora funkcji
f w punkcie x0 = 3 dla n = 4 (nie oblicza¢ czwartej pochodnej). c) Posªuguj¡c si¦ uzyskanym rozwini¦ciem
obliczy¢ f (2;87) (tzn., f (x0 + h) dla h = 0;13). d) Posªuguj¡c si¦ ewentualnie kalkulatorem obliczy¢
f (2;87) bezpo±rednio z okre±lenia funkcji f . e) Obliczy¢ ró»nic¦ wyników z podpunktów (c) i (d) z peªn¡
dokªadno±ci¡ kalkulatora. Na którym miejscu po przecinku w ró»nicy pojawia si¦ pierwsza cyfra ró»na od
zera?
p
143 111=4 51=6 4 x3
13 p6 6
. Wiadomo, »e wykresy
034. Dane s¡ funkcje f (x) = 12 5x oraz g(x) =
72 61=4 x
funkcji f i g przecinaj¡ si¦ w punkcie P (x0 ; y0 ) o wspóªrz¦dnej x0 wymiernej dodatniej. a) Wyznaczy¢
x0 . b) Obliczy¢ pochodne funkcji f i g. c) Obliczy¢ f 0 (x0 ) i g0 (x0 ) z peªn¡ dokªadno±ci¡ posiadanego
kalkulatora. Dane kontrolne: f 0 (x0 ) *,??6632*, g0 (x0 ) *,??4158*. Uwaga: nie nale»y przyst¦powa¢
do rozwi¡zywania punktu d) i nast¦pnych, dopóki warto±ci pochodnych nie s¡ zgodne z danymi
kontrolnymi! d) Obliczy¢ tangens k¡ta , pod jakim przecinaj¡ si¦ wykresy funkcji f i g w punkcie
P (z peªn¡ dokªadno±ci¡ u»ywanego kalkulatora). e) Obliczy¢ k¡t w stopniach, minutach i sekundach
z dokªadno±ci¡ do 1 sekundy; sformuªowa¢ odpowied¹.
p
058. Dana jest funkcja f (x) = 11 3(x 1)(x + 6)2 5 oraz przedziaª P = [ 7; 1]. a) Obliczy¢ f 0 (x).
b) Wyznaczy¢ wszystkie punkty z przedziaªu P podejrzane o warto±¢ najwi¦ksz¡ lub najmniejsz¡ funkcji f .
c) Narysowa¢ tabel¦ postaci
f (x)
x1 x2 : : :
:::
xn
gdzie x1 ; x2 ; : : : ; xn s¡ wszystkimi liczbami wyznaczonymi w punkcie b) wypisanymi w kolejno±ci od najmniejszej do najwi¦kszej. Wypeªni¢ puste pola tabeli warto±ciami f w punktach x1 ; x2 ; : : : ; xn | z dokªadno±ci¡ do czterech cyfr po przecinku. Wskaza¢ w tabeli warto±¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ funkcji f w
przedziale P . Sformuªowa¢ odpowied¹.
2
x + 24
100. Dana jest funkcja f (x) = 6x +x25
. a) Wyznaczy¢ dziedzin¦ f . b) Obliczy¢ f 0 . Punkt
+2
kontrolny: f 0 (1) = 569 : c) Wyznaczy¢ miejsca zerowe (i ewentualnie punkty nieokre±lono±ci) pochodnej.
d) Wyznaczy¢ znaki pochodnej w przedziaªach, okre±li¢ maksima i minima funkcji (o ile istniej¡). e) Wyznaczy¢ warto±ci funkcji f w punktach uzyskanych w podpunkcie c) (o ile mo»liwe). f) Podpisa¢ w nagªówku
otrzyman¡ od prowadz¡cego kartk¦ kratkowan¡ i narysowa¢ na niej ukªad wspóªrz¦dnych: fragment osi OX
o dªugo±ci 12 cm z jednostk¡ 2 cm i skal¡ od 6 do 0 oraz fragment osi OY o dªugo±ci 18 cm z jednostk¡ 0,5 cm i skal¡ od 24 do 12. g) Na ukªadzie wspóªrz¦dnych naszkicowa¢ kompletny fragment wykresu
funkcji f mieszcz¡cy si¦ w prostok¡cie wyznaczonym przez ukªad wspóªrz¦dnych (korzystaj¡c z informacji
a) - e) i ewentualnie przy pomocy kalkulatora). h) Wyznaczy¢ asymptoty i naszkicowa¢ je na wykresie lini¡
przerywan¡.