Analiza matematyczna
Transkrypt
Analiza matematyczna
Analiza matematyczna Lista nr 1 - Rachunek ró»niczkowy Maciej Niedziela http://www.wmie.uz.zgora.pl/ x x2 +1 ∼ mniedzie/materialy.html 1. Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = 2. W jakich punktach styczna do wykresu funkcji g(x) = x3 +3x2 −3x+2 jest równolegªa do prostej w punkcie o odci¦tej równej 2. y = 2x − 1? 3. Obliczy¢ pochodne nast¦puj¡cych funkcji a) y = 5x15 − x3 + 5x − 1; (d) y = 3x7/3 − 4x13/4 + 74 x−1/2 + 5; (g) y= 5x2 +x−2 ; x2 +7 y= √ a−x , a2 −x2 (j) (m) f (x) = a > 0; x2 −1 ; 2x2 +1 (p) f (x) = (x2 + 3) e−x ; (t) f (x) = ln(x2 + (w) f (x) = loga x. √ x); (b) y= 4 ; x2 (c) √ 3 y = 5 x7 ; (e) y= 2√ ; x3 x (f ) y= (h) y = (3t + 1)7 ; (i) y = (4z 2 − 5z + 13)6 ; (k) y = cos at , a 6= 0; (l) y = sin2 3x; (n) f (x) = x e−x (r) f (x) = (u) f (x) = x2 tan(x + 1); √ 2 +1 ; x2 − 3x + 1; (o) f (x) = sin2 (2x − 3); (s) f (x) = (v) f (x) = sin(x2 + 1) + cos(x2 − 1); f (x) = ln x. 4. Obliczy¢ pochodne do pi¡tego rz¦du wª¡cznie funkcji 5. Obliczy¢ pochodne do trzeciego rz¦du wª¡cznie funkcji f (x) = x exp(1/x3 ). 6. Korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala obliczy¢ nast¦puj¡ce granice (a) limx→0 cos 3x−1 ; 5x2 (b) limx→0 sin 3x−3x ; x3 (c) limx→0 1+cos x x−π ; (d) limx→0 ex −1 sin x ; (e) limx→0 ln cos x x ; (f ) limx→0 x−sin x x−tan x ; (g) limx→0 ex −e−x sin x cos x ; (h) limx→0 ex −e−x −2x x−sin x ; (i) limx→0 sin x+tan x−2x ; x3 limx→0 cos x−1+ x2 x4 (k) limx→0 x−sin x ; x2 ln(1−x) (l) limx→0 x−sin x cos x . x sin2 x 2 (j) ; 7. Zbada¢ monotoniczno±¢ i wyznaczy¢ ekstrema funkcji 1 5 ; 2x2 −5x+1 q 3 x−1 x+1 ; (a) f (x) = x2 +x−1 ; x2 −x+1 (b) f (x) = 3x2 −2x+1 ; 3x2 +2x−1 (c) f (x) = 6 x (d) f (x) = 1 x (e) f (x) = x2 x−1 ; (f ) f (x) = 1 x2 (g) f (x) = 3x+5 ; 1−x2 (h) f (x) = x2 ; x3 +4 (i) f (x) = x2 ln x; (k) f (x) = 1 x2 (l) f (x) = 2xex − 8ex − x2 + 6x. (j) + 4x2 ; f (x) = x3 e−x ; exp(x3 ); + 12 x2 + 5x; + x 4; 8. Znale¹¢ warto±ci najmniejsze i najwi¦ksze podanych funkcji na wskazanych przedziaªach (a) f (x) = x2 − 2x + 3, [−2, 5]; (b) f (x) = x2 ln x, [1, e]; (d) f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x − 8, [−3, 6]; (e) √ f (x) = x − 2 x, [0, 5]. (c) f (x) = arctan x − 9. Korzystaj¡c ze wzoru Taylora obliczy¢ przybli»one warto±ci podanych wyra»e« (a) 1 3,98 (b) arcsin 0, 51 (c) e−0,07 (d) ln 0, 9993. 2 x 2, [0, 2];