Zad A1 Zadania podstawowe - zmienna losowa: a)Dane są wartości

Zad A1 Zadania podstawowe - zmienna losowa:
b)Student ma w indeksie 12 ocen. Każda ocena to ”trójka” lub ”czwórka”. Ile czwórek ma
3
a)Dane są wartości zmiennej losowej:2, 4, 2, 1, 1, 3, student, jesli wariancja tych ocen wynosi 16
?
2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.
c)Definiujemy zmienną losową X jako liczba trafień
b)Oceny z pracy klasowej w tabeli:
do tarczy w 3 strzałach. Prawdopodobieństwo
Ocena
1 2 3 4 5 6
trafienia w każdym strzale jest p = 23 (chybienia
Liczba uczniów 3 1 9 8 4 5
q = 1 − p) a wzór na prawdopodobieństwo
k
!
Obliczyć średnią oraz medianę uzyskanych ocen.
n
k
n−k
Przedstawić wyniki w formie diagramu słupkowego. sukcesów w n próbach jest pn (k) = k p · q
Przedstawić w formie tabeli rozkład tej zmiennej
c)Otrzymano następujące wyniki pomiarów pewnej losowej.
wartości: 2,1; 2,6; 2,3; 2,3; 2,2. Obliczyć wartość
Zad A4 Rozkład zmiennej losowej ciągłej :
średnią, wariancję i odchylenie standardowe.
a)Zmienna losowa podlega rozkładowi wg trójkąta
d)Gra polega na rzucie monetą i kostką do
równoramiennego o podstawie 2 6 x 6 6. Wyznagry. Otzymujemy 6,- zł gdy reszka i jedynka, 2,- zł
czyć gęstość i dystrybuantę tej zmiennej.
gdy orzeł i parzysta liczba oczek a w pozostałych
wypadkach tracimy 3,- zł. Obliczyc wartość oczekib)Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ma
waną i odchylenie standardowe.
wartośćx dane jest wzorem

 x + 1, dla x ∈< −1, 0 >
p(x) = −x + 1, dla x ∈< 0, 1 >


0, dla x ∈<
/ −1, 1 >
Zad A2 Rozkład zmiennej losowej dyskretnej :
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna
a)Definiujemy zmienną losową X jako liczba ”orłów” losowa ma wartość większą niż 21
przy dwukrotnym rzucie monetą. Przedstawić w
formie tabeli rozkład (wartości i prawdopodobień- c)Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ma
stwa) tej zmiennej losowej. Obliczyć wartość średnią wartość(x dane jest wzorem
i odchylenie standardowe.
− 43 x2 + 32 x, dla x ∈< 0, 2 >
p(x) =
0, dla x ∈<
/ 0, 2 >
b)Zmienna losowa X to liczba cyfr wylosowanej Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna
liczby ze zbioru {2013, 12345, 25, 1}. Przedstawić w losowa ma wartość mniejszą niż 12 ;1;1 21 ;2.
formie tabeli rozkład X. Obliczyć wartość średnią i
a)Czy funkcja
odchylenie standardowe.
(
0, dla x < 0
f (x) =
e−x , dla x > 0
c)Dany jest rozkład:
jest gęstością pewnej zmiennej losowej X? Znaleźć
Xi 1
2
3
4
dystrybuantę tej zmiennej losowej oraz obliczyć: a)
pi 0,1 p 0,5 0,2
P (X < 0, 5), b)P (X > 1, 5), c) P (1 6 X 6 3).
Ile wynosi wartość p?
Zad A3 Zadania z treścią:
Zad A5 Tablice rozkładu zmiennej losowej:
a)Obliczyć średnią zarobków:
Zarobki
Liczba osób
500-1500
5
1500-2500
2
2500-3500
2
3500-4500
1
a)Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(32,2)
tzn. średnia wynosi m=32 a odchylenie standardowe
σ = 2. Odczytać z tablic dystrubuanty standaryzowanego rozkładu normalnego prawdopodobieństwo,
że zmienna X nie przekroczy wartości 33,68.
b)Przyjmujemy, że wzrost X poborowych ma Zakładając, że jest to rozkład Poissona wyznarozkład N(175,7). Obliczyc prawdopodobieństwo, czyć średnią i dystrybuantę tego rozkładu oraz
że: - P (X 6 170); - P (180 < X 6 190)
wyznaczyć prawdopodobieństwo, że student będzie
nieobecny mniej niż 2 razy.
c)Zmienna losowa X ma rozkład F-Snedecora
z 20 i 16 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla *c)Prawdopodobieństwo wezwania do pożaru
jakiej wartości Fα jest spełniona rowność:
w ciągu każdej godziny wynosi 0,002. Obliczyć jakie
- P (X 6 Fα ) = 0.95
- P (X > Fα ) = 0.05
jest prawdopodobieństwo, że straż pożarna będzie
wezwana do pożaru w ciągu 200 godzin więcej niż 1
*d)Zmienna losowa X ma rozkład t-Studenta. raz.
Odczytać z tablic rozkładu t-Studenta przy 20 stop- *d)W wyborach parlamentarnych bierze udział
niach swobody jakie jest prawdopodobieństwo tego, ok.40% ludzi uprawnionych do głosowania. Obliczyć
że wartość X będzie w przedziale < −2, 1; 2, 1 > ? prawdopodobieństwo, że wśród 2500 wybranych
Krótko uzasadnić.
losowo osób głosować będzie nie mniej niż 900 osób
i nie więcej niż 1100.
*e)Zmienna losowa X ma rozkład χ-kwadrat z
5 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla jakiej
Zad B1 Przedział ufności dla średniej:
wartości χ2α jest spełniona rowność:
- P (X > χ2α ) = 0.99
- P (X > χ2α ) = 0.01
a)Wytrzymałość pewnego materiału budowlane*f)Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z go jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
parametrem λ = 3. Obliczyć: a) P (X = 3), N (m, σ). W celu oszacowania nieznanej średniej m
wytrzymałości tego materiału dokonano pomiarów
b)P (X < 3), c) P (2 6 X 6 5).
wytrzymałości na n = 5 wylosowanych niezależnie
*g)Zmienna losowa X ma rozkład F-Snedecora sztukach tego materiału. Wyniki pomiarów były
2
z 12 i 10 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla następujące (w kG/cm ) : 20,4, 19,6, 22,1, 20,8,
21,1. Przyjmując współczynnik ufności 1 − α =0,99,
jakiej wartości Fα jest spełniona rowność:
zbudować przedział ufności dla średniej wytrzyma- P (X > Fα ) = 0.05
- P (X 6 Fα ) = 0.99
łości m tego materiału.(p1)
*h)Dla jakiej wartości Xα zmiennej losowej o b)Chcemy oszacować średni staż pracy pracowników
zatrudnionych przy obsłudze elektronicznych marozkładzie normalnym zachodzi równość:
szyn cyfrowych w Polsce. W tym celu, za pomocą
- P (X 6 Xα ) = 0, 95
- P (|X| 6 Xα ) = 0, 95.
schematu losowania nieograniczonego niezależnego,
*i)Dla jakiej wartości tα zmiennej losowej o wylosowano z populacji tych pracowników próbę
rozkładzie t-Studenta z 15 stopniami swobody liczącą n=100 osób i otrzymano następujące wyniki
badania tego stażu pracy w latach (wyniki pogruzachodzi równość:
powane w szereg rozdzielczy):
- P (|t| > tα ) = 0, 05
- P (t > tα ) = 0, 05.
Zad A6 Twierdzenie Lindeberga - Levy’ego:
Staż pracy w latach xj
0-2
2-4
4-6
6-8
8 - 10
Liczba pracowników nj
4
10
55
25
6
a)Wyższe wykształcenie ma 30% ludzi. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że wśród 1000 wybranych
losowo ludzi wyższe wykształcenie ma nie mniej niż
250 osób i nie więcej niż 400. *b)Tabela przedstawia Przyjmując współczynnik ufności 1-α=0,90, zbudoliczbę nieobecności na zajęciach studenckich:
wać przedział ufności dla średniego stażu pracy badanej populacji pracowników.(p2)
Liczba dni nb
0 1 2 3 4 5 6 7
c) Należy oszacować żywotność (w godzinach świeceLiczba studentów 12 20 27 18 7 3 2 1
nia) wyprodukowanej partii świetlówek. Wiadomo,
że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z
odchyleniem standardowym σ=120 godzin. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n=25 świetlówek,
dała następujące wyniki pomiarów czasu ich świecenia (w godzinach): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770,
2840, 2700, 2950, 2690, 2720, 2800, 2970, 2680, 2660,
2820, 2580, 2840, 3020, 2780, 2920, 3060, 2840, 2550,
2790, 2850. Przyjmując współczynnik ufności 0,98
oszacować metodą przedziałową średni czas świecenia świetlówek tej partii.(1.1)
a) Chcemy oszacować, jaki procent pracujących
mieszkańców Warszawy jada obiady w stołówkach
pracowniczych. Pobrano w tym celu n=900 osób
wylosowanych niezależnie do próby i znaleziono
w tej próbie m=300 osób, które jedzą obiady w
stołówkach. Przyjmując współczynnik ufności 1
-α=0,95 zbudować przedział ufności dla procentu
badanej kategorii pracujących w Warszawie.(p)
twierdzić, że automat rozregulował się i produkuje
tabliczki czekolady o mniejszej niż przewiduje
norma wadze? Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować odpowiednią hipotezę statystyczną.(p1)
b)W szpitalu wylosowano niezależnie spośród
pacjentów leczonych na pewną chorobę próbę 26
chorych i otrzymano dla nich średnią ciśnienia
tętniczego krwi x=135 oraz odchylenie standardowe
s=45. Należy na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że pacjenci pochodzą z populacji
o średnim ciśnieniu tętniczym 120.(p2)
c)Norma techniczna przewiduje średnio 55 sek
na wykonanie pewnej operacji technicznej przez
robotników na pewnym stanowisku robotniczym.
Ponieważ robotnicy skarżyli się, że norma ta jest
zła, dokonano pomiarów chronometrażowych dla
n=60 wylosowanych robotników i otrzymano z
tej próby x=72 sek oraz s=20 sek. Czy można
na poziomie istotnościα=0,01 odrzucić hipotezę,
że rzeczywisty średni czas wykonania tej operacji
technicznej jest zgodny z normą?(2.1)
Zad B3 Przedział ufności dla wariancji:
Zad C2 Test dla dwóch średnich:
b)Badając wytrzymałość elementu konstrukcyjnego
pewnego urządzenia technicznego dokonano n=4
niezależnych pomiarów wytrzymałości i otrzymano
następujące wyniki (w kG/cm2 ): 120, 102, 135, 115.
Należy zbudować przedział ufności dla wariancji σ 2
wytrzymałości tego elementu, przyjmując współczynnik ufności 1-α=0,96.(p1)
c)W baniach budżetów rodzinnych zbadano w 1963
roku wylosowane 632 gospodarstwa domowe w
województwie katowickim i otrzymano z tej próby
między innymi następujące dane: średnia miesięczna
wydatków na żywność w tych gospodarstwach domowych wynosiła 1570 zł, a odchylenie standardowe
tych wydatków 224 zł. Przyjmując współczynnik
ufności 0,90 należy zbudować przedział ufności
dla odchylenia standardowegoσ wydatków na żywność.(p2)
a)Pragniemy stwierdzić, że słuszne jest mniemanie,
że zatrudnione na tych samych stanowiskach w
pewnym przemyśle kobiety otrzymują przeciętnie
niższą płacę niż mężczyźni. Z populacji kobiet
zatrudnionych na określonych stanowiskach wylosowano w tym celu niezależnie próbę n1 =100
kobiet i otrzymano z niej średnią płacę x1 =2180 zł
oraz wariancję płac s21 =6400. Z populacji mężczyzn
zatrudnionych w tym przemyśle na tych samych
stanowiskach wylosowano niezależnie n2 =80 mężczyzn i otrzymano dla nich średnią płacę x2 =2280
zł oraz wariancję s22 =10000. Na poziomie istotności
α=0,01 należy sprawdzić hipotezę, że średnie płace
kobiet są niższe.(p1)
b)Wysunięto hipotezę, że czas potrzebny na obróbkę pewnego metalowego detalu można zmniejszyć
przez zastosowanie innego niż dotychczas typu
obrabiarki. Przy niezmienionych innych warunkach,
zmierzono dla losowo wybranych sztuk czasy wykonywania tego detalu na dwóch typach obrabiarek
i otrzymano dla obrabiarki II (nowej) następujące
wyniki (w minutach): 15, 12, 10, 18, 14, 15, 13, a
dla obrabiarki I (starej): 17, 11, 22, 18, 19, 13, 14,
16. Zweryfikować wysuniętą hipotezę na poziomie
istotności α=0,05.(p2)
c)Zbadano w losowo wybranych gospodarstwach
Zad B2 Przedział ufności dla wskaźnika struktury:
Zad C1 Test dla wartości średniej populacji:
a)Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza
tabliczki czekolady o nominalnej wadze 250 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowanych tabliczek jest
normalny N(m, 5). Kontrola techniczna pobrała w
pewnym dniu próbę losową 16 tabliczek czekolady
i otrzymała ich średnią wagę 244 g. Czy można
rolnych w woj. mazowieckim i wielkopolskim średnie
plony buraka cukrowego. Wiadomo, że w obu tych
województwach plony buraka mają rozkład normalny z wartością odchylenia standardowego 20 q/ha.
Średnia z próby o liczebności n1 =6 wylosowanej z
woj. mazowieckiego wyniosła 310 q/ha, natomiast
z próby o liczebności n2 =10 wylosowanej z woj.
wielkopolskiego wyniosła 318 q/ha. Przyjmując
poziom istotności α=0,10 sprawdzić hipotezę, że
średnie plony buraka cukrowego uzyskane przez
gospodarstwa obu województw są jednakowe.(2.21)
Zad C3 Test dla wskaźnika struktury (procentu):
a)Wysunięto hipotezę, że wadliwość produkcji
pewnego podzespołu w aparatach radiowych wynosi
10 % . W celu sprawdzenia tej hipotezy wylosowano
niezależnie próbę 100 podzespołów i otrzymano
w niej 15 podzespołów wadliwych. Na poziomie
istotności α=0,05 zweryfikować tę hipotezę.(p1)
b)W zakładzie produkcyjnym, charakteryzującym
się wyjątkowo dużym nasileniem hałasu, wylosowano niezależnie próbę n=160 pracowników fizycznych
i okazało się w toku badań lekarskich słuchu, że 68
pracowników ma zakłócenia słyszalności dźwięków
o częstotliwości ponad 4000 drgań/sek. Zweryfikować na poziomie istotności α=0,05 hipotezę, że
więcej niż 30 % pracowników tego zakładu ma te
zakłócenia słuchu.(2.42)
Należy na poziomie istotności α=0,05 sprawdzić
hipotezę, że wariancja pomiarów napięcia tym
woltomierzem wynosi 0, 6V 2 .(p1)
Zad D2 Test dla dwóch wariancji:
a)Przy zastosowaniu testu t Studenta dla hipotezy,
że średnie zarobki pracowników zatrudnionych na
tych samych stanowiskach roboczych w dwu różnych
fabrykach są jednakowe, należy sprawdzić założenie
tego testu, że wariancje zarobków w obu fabrykach
są identyczne. Z jednej fabryki wylosowano w tym
celu niezależnie 16 pracowników i otrzymano z
tej próby wariancję ŝ2 = 22500(z)2 . Natomiast z
drugiej fabryki wylosowano 21 pracowników do
próby i otrzymano z niej ŝ2 = 40000(z)2 . Można
przyjąć, że rozkłady zarobków w obu fabrykach są
normalne. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że wariancje zarobków badanych
pracowników są takie same w obu fabrykach.(p1)
Zad D3 Test jednorodności wielu wariancji:
a)Należy sprawdzić, czy trzy różne metody produkcji pewnego wyrobu charakteryzują się taką samą
wariancją wydajności pracy robotników stosujących
je. Losowo zmierzone wydajności pracy przy produkcji tego wyrobu w liczbach sztuk na godzinę są
następujące:
metoda I: 2, 5, 3, 6, 4 (n1 =5)
metoda II: 10, 12, 12, 14 (n2 =4)
Zad C4 Test dla dwóch wskaźników struktury
metoda III: 20, 23, 26, 24, 22 (n3 =5)
(procentów):
Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipoa)W celu sprawdzenia, czy zachorowalność na tezę o jednorodności wariancji wydajności pracy
gruźlicę jest w pewnym województwie taka sama w robotników pracujących tymi trzema metodami.(p1)
mieście jak i na wsi, pobrano z ludności wiejskiej i
miejskiej dwie losowe próby, mianowicie z ludności
miejskiej wylosowano n1 =1200 osób i otrzymano Zad D4 Test istotności korelacji:
m1 =40 chorych na gruźlicę, a z ludności wiejskiej a)Dokonano n=500 niezależnych pomiarów pewnych
wylosowanon2 =1500 osób i otrzymano m2 =100 dwu wymiarów metalowych odlewów i otrzymano z
osób chorych. Przyjmując poziom istotności α=0,05 tej próby r =0,82. Przyjmując współczynnik ufności
należy zweryfikować hipotezę o jednakowym pro- 1-α=0,95 zbudować przedział ufności dla nieznanego
cencie chorych na gruźlicę w mieście i na wsi w tym współczynnika korelacji ρ między dwoma wymiarawojewództwie.(p1)
mi.(p1)
b)Spośród studentów pewnego wydziału uczelni wylosowano niezależnie 10 studentów IV roku i otrzyZad D1 Test dla wariancji populacji generalnej:
mano dla nich następujące średnie oceny uzyskane w
a)Dokonano 12 pomiarów woltomierzem pewnego sesji egzaminacyjnej na I roku studiów (xi )oraz na
napięcia prądu i otrzymano z tej próby ŝ2 = 0, 9V 2 . IV roku studiów (yi ):
xi
yi
3,5 4,0 3,8 4,6 3,9 3,0 3,5 3,9 4,5 4,1
4,2 3,9 3,8 4,5 4,2 3,4 3,8 3,9 4,6 4,0
Zad G1 Testy nieparametryczne:
a)Losowa próba n=200 niezależnych obserwacji mieNa poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipo- sięcznych wydatków na żywność rodzin 3-osobowych
tezę, że istnieje korelacja między wynikami studiów dała następujący rozkład tych wydatków (w tys. zł):
uzyskiwanymi przez studentów tego wydziału na I i
IV roku.(p2)
Wydatki Liczba rodzin
c)Na podstawie wyników liczbowych z poprzedniego
1,0 - 1,4
15
zadania nalezy na poziomie istotności α = 0, 05
1,4 - 1,8
45
zweryfikować hipotezę H0 : r = 0, 6, wobec hipotezy
1,8 - 2,2
70
alternatywnej H1 : r > 0, 6.(p3)
2,2 - 2,6
50
2,6 - 3,0
20
Zad F1 Regresja liniowa:
Należy na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować
a)Badając zależność pomiedzy wielkościa produk- hipotezę, że rozkład wydatków na żywność jest
cji X pewnego wyrobu a zużyciem Y pewnego normalny. (p1)
surowca zużywanego w procesie produkcji tego b)Zbadano 300 losowo wybranyh 5-sekundowych
wyrobu otrzymano dla losowej próby n=7 obserwa- odcinków czasowych pracy pewnej centrali telecji następujące wyniki (xi w tys. sztuk, yi w tonach): fonicznej i otrzymano następujacy empiryczny
rozkład liczby zgłoszeń:
xi 1 2 3 4 5 6 7
yi 8 13 14 17 18 20 22
Liczba zgłoszeń Liczba odcinków
Należy przy współczynniku ufności 0,95 oszacować
metodą przedziałową zarówno całą liniową funkcje
regresji, jak i sam współczynnik regresji zużycia
surowca względem wielkości produkcji. (p1)
0
1
2
3
4
5
50
100
80
40
20
10
Na poziomie istotności α=0,05 należy zweryfikować
hipotezę, że rozkład liczby zgłoszeń w tej centrali
jest rozkładem Poissona. (p2)
Przygotował: Andrzej Musielak