Liczby naturalne i ca lkowite Liczby naturalne: istnieje liczba

Liczby naturalne i calkowite
Liczby naturalne: istnieje liczba naturalna najmniejsza, każda liczba naturalna ma swój nastepnik. Zasada indukcji matematycznej. Dodawanie
i mnożenie liczb naturalnych. Rozklad liczby na czynniki. Liczby pierwsze. Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych. Każda liczba zlożona
ma rozklad na czynniki pierwsze. Jednoznaczność rozkladu. Przyk
√lady
takich
√ pierścieni, w których nie ma jednoznaczności rozkladu: Z[ −3],
Z[ −23].
Najwiekszy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Algorytm Euklidesa.
Oblicz NWD (156, 195), NWD (119, 306)
Przedstawianie NWD w postaci kombinacji liniowej. Przedstaw w postaci kombinacji liniowej NWD(286, 221)
Najmniejsza wspólna wielokrotność. Szkolny sposób obliczania. Oblicz
NWW [48, 72].
a·b
Twierdzenie. [a, b] =
.
(a, b)
Twierdzenie. Równanie ax + by = c o wspólczynnikach calkowitych
a, b, c ma rozwia zanie w liczbach calkowitych x, y wtedy i tylko wtedy,
gdy (a, b)|c.
Dowód. Stosujemy algorytm Euklidesa do wspólczynników a i b
a = q1 · b + r1 ;
(q1 · b + r1 )x + by = c,
podstawiaja c x1 = q1 x + y, y1 = x dostajemy
bx1 + r1 y1 = c
itd. Zatem nwd(a, b)|c. Jeśli zaś podzielność ta nie zachodzi, to oczywiście równanie nie ma rozwia zania.
Przyklady
1. 119x + 105y = 28. Algorytm Euklidesa daje : 119 = 1 · 105 + 14,
105 = 7 · 14 + 7, 14 = 2 · 7. Zatem
(1 · 105 + 14)x + 105y = 28
i po podstawieniu x1 = x + y, y1 = x dostajemy
105x1 + 14y1 = 28,
tj.
(7 · 14 + 7)x1 + 14y1 = 28.
1
Podstawiamy x2 = 7x1 + y1 , y2 = x1 i mamy
14x2 + 7y2 = 28,
2x2 + y2 = 4.
Teraz możemy przyja ć x2 = t i obliczamy kolejno:
y2 = 4 − 2t,
x1 = y2 = 4 − 2t,
y1 = x2 − 7x1 = t − 7(4 − 2t) = 15t − 28,
x = y1 = 15t − 28,
y = x1 − x = 4 − 2t − (15t − 28) = 32 − 17t.
Równaniem Pitagorasa nazywamy równanie x2 + y 2 = z 2 . Szukamy
rozwiazań (x, y, z) w liczbach calkowitych równania Pitagorasa.
1. Jeśli d = NWD(x, y), to można przyja ć x1 = xd , y1 = yd , możemy
wiec ograniczyć sie od razu do przypadku, gdy NWD(x, y) = 1. Rozwiazanie spelniajace ten warunek nazywamy wlaściwym. W dalszym
ciagu zakladamy, że rozwia zanie (x, y, z) równania Pitagorasa jest wlaściwe.
2. Z zalożenia wynika, że liczby x, y nie moga być obie parzyste. Gdyby
obie byly nieparzyste, to x2 , y 2 mialyby postać 4k + 1, zatem z 2 mialoby
postać 4k + 2, co nie jest możliwe. Zatem jedna z liczb x, y jest nieparzysta, druga jest parzysta. Przyjmiemy dalej, że x jest nieparzysta.
Liczba z jest nieparzysta, wiec z + x, z − x sa parzyste:
z + x = 2a,
z − x = 2b,
z = a + b,
x = a − b.
Gdyby bylo d|a, d|b, to d dzieliloby x, y, z wbrew zalożeniu. Wobec tego
liczby a, b sa wzglednie pierwsze. Ponadto
y 2 = z 2 − x2 = (z − x)(z + x) = 4ab,
skad wynika, że y = 2c, gdzie c2 = ab. Wobec tego liczby a, b sa kwadratami liczb naturalnych. Jest wiec
z = m 2 + n2 ,
x = m 2 − n2 ,
y = 2mn.
Liczby m, n sa wzglednie pierwsze, jedna jest parzysta, druga — nieparzysta.
3. Jeśli m i n (n < m) sa wzglednie pierwsze, jedna (którakolwiek) parzysta, druga nieparzysta, to powyższe wzory daja rozwiazanie wlaściwe
2
równania Pitagorasa. Wszystkie rozwia zania wlaściwe otrzymamy biorac kolejno m = 2, 3, 4 . . ., dobieraja c n mniejsze od m, wzglednie pierwsze z m i innej parzystości niż m oraz pisza c
z = m 2 + n2 ,
x = m 2 − n2 ,
y = 2mn.
Zadania 1. Oblicz NWD
(442, 624),
(1804, 328),
(1551, 522),
(722, 874),
(644, 1058),
(783, 327).
2. Przedstaw w postaci kombinacji liniowej :
(322, 943),
(1156, 646),
(983, 346).
3. Oblicz NWD(420,360,270,225)
4. Oblicz NWW[108, 378] , NWW[810, 720].
5. Rozwiaż równanie w liczbach calkowitych
65x + 39y = 16,
169x + 221y = 13,
936x + 444y = 48,
810x + 496y = 72,
299x + 507y = 39,
6. Oblicz kolejne rozwia zania równania Pitagorasa dla m = 2, 3, 4, 5.
7. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele rozwia zań równania Pitagorasa,
w których x, y sa kolejnymi liczbami naturalnymi.
Wsk. Pierwszym jest 3, 4, 5. Niech x, x+1, z bedzie rozwiazaniem. Przyjmijmy X = 3x + 2z + 1, Y = X + 1, Z = 4x + 3z + 2. Obliczamy
X 2 + (X + 1)2 − Z 2 = x2 + (x + 1)2 − z 2 . Otrzymaliśmy wiec kolejne
rozwiazanie, w którym pierwsze dwie liczby sa kolejne.
7. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele rozwia zań równania Pitagorasa,
w których y, z sa liczbami kolejnymi.
Wsk. Wystarczy napisać
(2n + 1)2 = [2n(n + 1)]2 = [2n(n + 1) + 1]2 .
8. Wyznacz wszystkie trójka ty prostoka tne, o bokach, których dlugości
sa liczbami naturalnymi i których pole jest równe obwodowi.
Wsk. Z równań x2 + y 2 = z 2 i x + y + z = 12 xy rugujemy z i dochodzimy
do równania (x − 4)(y − 4) = 8.
3