MATERIAŁ DO ZAJĘĆ cz I - Katedra Matematyki, Politechnika

Transkrypt

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Całki podwójne
wykład z MATEMATYKI
Budownictwo
studia niestacjonarne
sem. II, rok ak. 2008/2009
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
1.1
Całki podwójne
Całki podwójne po prostokącie
Definicja 1.1 (podział prostokąta).
Podziałem prostokąta P nazywamy zbiór ∆ n złożony z prostokątów P1 , P2 , . . . , Pn , które całkowicie
wypełniają prostokąt P oraz mają parami rozłączne wnętrza (tzn. (intP i ) ∩ (intPj ) = ∅, dla i 6= j).
y
d
P2 P3
Pk
∆yk
P1
c
∆xk
a
b
x
Oznaczenia w definicji całki po prostokącie
∆xk , ∆yk - wymiary prostokąta Pk , gdzie 1 ¬ k ¬ n;
dk =
p
(∆xk )2 + (∆yk )2 - długość przekątnej prostokąta Pk , gdzie 1 ¬ k ¬ n;
δ(∆n ) = max dk - średnica podziału ∆n ;
1¬k¬n
A = {A1 (x∗1 , y1∗ ), A2 (x∗2 , y2∗ ), . . . , An (x∗n , yn∗ )} , gdzie Ak (x∗k , yk∗ ) ∈ Pk dla 1 ¬ k ¬ n, A - zbiór
punktów pośrednich podziału ∆n .
Definicja 1.2 (Suma całkowa funkcji po prostokącie).
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P oraz niech ∆ n będzie podziałem tego prostokąta, a
A zbiorem punktów pośrednich.
1
Budownictwo, sem. II
rok akademicki 2008/2009
MATEMATYKA - wykład
Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi ∆ n oraz punktom pośrednim A nazywamy
liczbę
n
X
f (x∗k , yk∗ ) · (∆xk ) · (∆yk ) .
k=1
Uwaga 1. Suma całkowa jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej wykresem funkcji z = f (x, y) > 0
leżącym nad prostokątem P oraz płaszczyzną XOY przez objętości prostopadłościanów o podstawach P k i
wysokościach f (x∗k , yk∗ ), dla 1 6 k 6 n.
Definicja 1.3. Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P .
Całkę podwójną funkcji f po prostokącie P definiujemy wzorem
x
def
f (x, y)dxdy =
P
lim
δ(∆n )→0
n
X
f (x∗k , yk∗ ) · (∆xk ) · (∆yk ) ,
k=1
o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału ∆ n prostokąta
P ani od sposobu wyboru punktów pośrednich A.
Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na prostokącie P .
Uwaga 2. Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P oznaczamy też symbolem:
x
f (x, y)dP .
P
Całka podwójna po prostokącie jest uogólnieniem całki z funkcji jednej zmiennej po przedziale.
Twierdzenie 1.4 (o całkowalności funkcji ciągłych).
Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.
Twierdzenie 1.5 (o liniowości całki).
Niech funkcje f i g będą całkowalne na prostokącie P oraz niech α, β ∈ R. Wtedy
x
x
x
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = α f (x, y)dxdy + β
g(x, y)dxdy .
P
P
P
Twierdzenie 1.6 (o addytywności całki względem obszaru całkowania).
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie P , to dla dowolnego podziału tego prostokąta na prostokąty
P1 i P2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość
x
x
x
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
f (x, y)dxdy .
P
P1
P2
Twierdzenie 1.7 (o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną).
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie P = ha, bi × hc, di, to
x
P
f (x, y)dxdy =
Zb Zd
a
f (x, y)dy dx =
c
2
Zd Zb
c
a
f (x, y)dx dy .
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Uwaga 3. Całkę iterowaną
Zb Zd
f (x, y)dy dx
Zb
Zd
a
c
możemy zapisywać umownie
dx
a
f (x, y)dy .
c
Podobną umowę możemy przyjąć dla drugiej całki iterowanej, tzn.
Zd Zb
c
π π
Przykład 1.8. Niech P = − ,
4 4
x
Obliczyć
sin(x + y)dxdy .
f (x, y)dx dy =
a
Zd
c
dy
Zb
f (x, y)dx .
a
π
× 0,
.
4
P
Twierdzenie 1.9 (całka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych).
Jeżeli funkcja f jest funkcją postaci f (x, y) = g(x) · h(y), gdzie g i h są ciągłe odpowiednio na przedziałach
ha, bi i hc, di, to
x
P

g(x) · h(y)dxdy = 
Zb
a
 
g(x)dx · 
Zd
c

h(y)dy  .
Przykład 1.10. Niech P = h0, 1i × h−1, 1i.
x
Obliczyć
ex+y dxdy .
P
1.2
Całki podwójne po obszarach normalnych
Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną w obszarze ograniczonym D ⊂ R 2 oraz niech P będzie
dowolnym prostokątem zawierającym obszar P .
Ponadto niech f ∗ oznacza rozszerzenie funkcji f na P określone wzorem:
def
f ∗ (x, y) =

f (x, y),
0,
3
dla (x, y) ∈ D,
dla (x, y) ∈ P \ D.
Definicja 1.11. Całkę podwójną funkcji f po obszarze D definiujemy wzorem:
x
def
f (x, y)dxdy =
x
f ∗ (x, y)dxdy ,
P
D
o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje.
Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowana w obszarze D .
s
Uwaga 4. Całka f ∗ (x, y)dxdy nie zależy od wyboru prostokąta P .
P
Definicja 1.12 (Obszary normalne względem osi układu).
Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi OX, jeżeli można go zapisać w postaci:
D = {(x, y) : a 6 x 6 b ∧ g(x) 6 y 6 h(x)} ,
gdzie funkcje g i h są ciągłe na ha, bi, przy czym g(x) < h(x) dla x ∈ (a, b).
Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi OY , jeżeli można go zapisać w postaci:
D = {(x, y) : c 6 y 6 d ∧ p(y) 6 x 6 q(y)} ,
gdzie funkcje p i q są ciągłe na hc, di, przy czym p(y) < q(y) dla y ∈ (c, d).
Przykład 1.13.
Obszar D ograniczony krzywymi y = 0, x = 2 i y = x 2 jest obszarem normalnym zarówno względem
osi OX jak również względem osi OY .
Obszar D ograniczony krzywymi y = −1, y = 4, x = −y 2 i y = x − 6 jest obszarem normalnym
względem osi OY .
4
Twierdzenie 1.14 (Całki iterowane po obszarach normalnych).
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym
D = {(x, y) : a 6 x 6 b ∧ g(x) 6 y 6 h(x)}
normalnym względem osi OX, to
x
f (x, y)dxdy =
D
Zb
a
h(x)
Z
f (x, y)dy dx .
g(x)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym
D = {(x, y) : c 6 y 6 d ∧ p(y) 6 x 6 q(y)}
normalnym względem osi OY , to
x
D
f (x, y)dxdy =
Zd
c
q(y)
Z
f (x, y)dx dy .
p(y)
Przykład 1.15. Niech D = {(x, y) : y > x ∧ y 6 3x − x 2 }.
x
Obliczyć
x2 − xy dxdy .
D
Definicja 1.16 (obszar regularny na płaszczyźnie).
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem osi układu o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie.
Twierdzenie 1.17 (całka po obszarze regularnym).
Niech obszar regularny D = D1 ∪ D2 ∪ . . . ∪ Dn i intDi ∩ intDj = ∅, dla i 6= j oraz niech funkcja f będzie
całkowalna na D. Wtedy
x
x
x
x
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
f (x, y)dxdy + . . . +
f (x, y)dxdy.
D
D1
D2
Dn
Przykład 1.18. Niech D = {(x, y) : xy 6 1 ∧ |x − y| 6 1}.
x
Obliczyć
xydxdy .
D
5
Definicja 1.19 (wartość średnia funkcji f w obszarze D).
Wartością średnią funkcji f na obszarze D nazywamy liczbę
def
fśr =
1 x
f (x, y)dxdy ,
|D|
D
gdzie |D| oznacza pole obszaru D.
Uwaga 5. Wartość średnia funkcji f w obszarze D jest równa wysokości walca o podstawie D, który ma
tę samą objętość co bryła V .
Przykład 1.20. Wysokość nad poziomem
morza pewnego terenu jest opisana wzorem w(x, y) = 20 +
π π
. Oblicz średnie wzniesienie tego terenu.
sin x cos 2y, gdzie (x, y) ∈ h0, πi × − ,
2 2
Twierdzenie 1.21. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym D, to w tym obszarze istnieje
punkt (x0 , y0 ), taki że
fśr = f (x0 , y0 ).
6
1.3
Zamiana zmiennych w całkach podwójnych
Definicja 1.22 (przekształcenia obszarów na płaszczyźnie).
Niech ∆ ⊂ R2 i D ⊂ R2 będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach U OV i XOY .
Przekształceniem obszaru ∆ w obszar D nazywamy funkcję F : ∆ → D określoną wzorem
(x, y) = F(u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)) ,
gdzie (u, v) ∈ ∆.
def
F(∆) = {(x, y) : x = ϕ(u, v) ∧ y = ψ(u, v) ∧ (u, v) ∈ ∆} - obraz zbioru ∆.
Jeżeli funkcje ϕ, ψ są ciągłe na obszarze ∆, to przekształcenie F nazywamy ciągłym.
Jeżeli różnym punktom obszaru ∆ odpowiadają różne punkty jego obrazu D, to przekształcenie F nazywamy różnowartościowym.
∂ϕ (u, v)
∂u
JF (u, v) = ∂ψ (u, v)
∂u
∂ϕ
∂v (u, v)
∂ψ
∂v (u, v)
- jakobian przekształcenia F.
Twierdzenie 1.23. Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i różnowartościowym jest również obszarem.
Przykład 1.24. Niech F (u, v) = (u + v, u − v) i ∆ = {(u, v) : 0 6 u 6 1 ∧ 2 6 v 6 4}.
Twierdzenie 1.25 (o zamianie zmiennych w całkach podwójnych). Niech
przekształcenie F odwzorowuje różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego ∆ na wnętrze obszaru
regularnego D,
funkcje ϕ, ψ mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar ∆,
funkcja f będzie ciągła na obszarze D,
JF (u, v) 6= 0, dla (u, v) ∈ int∆.
Wtedy
x
D
f (x, y)dxdy =
x
f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) · |JF (u, v)| dudv .
∆
Przykład 1.26. Niech D będzie obszarem ograniczonym krzywymi 2x + y = 2, 2x + y = 3, x − y = −1
i x − y = 1.
x
Obliczyć
(x + y)dxdy .
D
7
1.4
Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych
Położenie punktu A(x, y) na płaszczyźnie można opisać parą liczb (ϕ, %), gdzie:
ϕ – oznacza miara kąta między dodatnią częścią osi OX a promieniem wodzącym punktu A, 0 ¬
ϕ < 2π lub −π < ϕ 6 π,
% – oznacza odległość punktu A od początku układu współrzędnych, 0 6 % < ∞.
Parę liczb (ϕ, %) nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny.
Zależność między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi

x = % cos ϕ
B:
y = % sin ϕ
Przekształcenie B, które każdemu punktowi (ϕ, %) przyporządkowuje punkt (x, y) określony powyższymi
wzorami, nazywamy przekształceniem biegunowym.
Jakobian przekształcenia biegunowego J B = %.
Twierdzenie 1.27 (współrzędne biegunowe w całce podwójnej). Niech
obszar ∆ we współrzędnych biegunowych będzie obszarem regularnym
funkcja f będzie ciągła na obszarze D, który jest obrazem obszaru ∆ przy przekształceniu biegunowym,
tzn. D = B(∆).
Wtedy
x
D
f (x, y)dxdy =
x
f (% cos ϕ, % sin ϕ) · % d%dϕ .
∆
Przykład 1.28. Niech D będzie obszarem ograniczonym krzywą x 2 + y 2 = 1.
x
Obliczyć
ln(1 + x2 + y 2 )dxdy .
D
Przykład 1.29. Niech D będzie obszarem ograniczonym krzywą x 2 + y 2 = 2.
x
2
2
Obliczyć
e−(x +y ) dxdy .
D
8
1.5
Zastosowania całek podwójnych w geometrii
Pole obszaru
Pole obszaru regularnego D ⊂ R2 wyraża się wzorem:
|D| =
x
dxdy .
D
Objętość bryły
Objętość bryły V położonej nad obszarem regularnym D ⊂ R 2 i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio
wykresami funkcji ciągłych z = d(x, y) i z = g(x, y) wyraża się wzorem:
|V | =
x
[g(x, y) − d(x, y)] dxdy .
D
Pole płata
Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D wyraża się wzorem:
|Σ| =
x
D
s
1+
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
dxdy .
Przykład 1.30.
Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi x = y 2 i x = 1.
Oblicz objętość bryły ograniczonej wskazanymi powierzchniami x 2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4 i x, y, z > 0.
Oblicz pole części powierzchni z =
p
x2 + y 2 odciętych płaszczyznami z = 1 i z = 2.
9
1.6
Zastosowania całek podwójnych w mechanice
Masa obszaru
Masa obszaru D ⊂ R2 o gęstości powierzchniowej masy ρ wyraża się wzorem:
M=
x
ρ(x, y)dxdy .
D
Momenty statyczne
Momenty statyczne względem osi OX i OY obszaru D ⊂ R 2 o gęstości powierzchniowej masy ρ wyrażają
się wzorami:
x
M Sx =
yρ(x, y)dxdy ,
D
M Sy =
x
xρ(x, y)dxdy .
D
Współrzędne środka masy
Współrzędne środka masy obszaru D ⊂ R 2 o gęstości powierzchniowej masy ρ wyrażają się wzorami:
xC =
M Sy
,
M
yC =
M Sx
.
M
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności względem osi OX, OY obszaru D ⊂ R 2 o gęstości powierzchniowej masy ρ
wyrażają się wzorami:
x
Ix =
y 2 %(x, y)dxdy ,
D
Iy =
x
x2 %(x, y)dxdy .
D
Moment bezwładności względem punktu O(0, 0) obszaru D ⊂ R 2 o gęstości powierzchniowej masy ρ
wyraża się wzorem:
x
IO =
(x2 + y 2 )%(x, y)dxdy .
D
10

MATERIAŁ DO ZAJĘĆ cz I - Katedra Matematyki, Politechnika

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wzory na całki podwójne

Całki podwójne 1. Obliczyć całki po prostokącie R ∫∫ x y dxdy, R

Wykład 1: Całki podwójne

Caªki podwójne Caªka podwójna po dowolnym obszarze D ⊂ R

Wykład 1

Calkowanie funkcji jednej i dwóch zmiennych

Przykładowe zadania na kolokwium/egzamin

Wykład 6 Funkcje harmoniczne

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki podwójne i potrójne

NAZWISKO I IMIĘ

obliczanie efektywnej przewodności cieplnej kompozytów