Całki podwójne 1. Obliczyć całki po prostokącie R ∫∫ x y dxdy, R

Całki podwójne
1. Obliczyć całki po prostokącie R
ZZ
R
ZZ
√
R
x
dxdy,
y
1
dxdy,
2y + 9
R : 0 ¬ x ¬ 2, 1 ¬ y ¬ e
R : −2 ¬ x ¬ −1, 0 ¬ y ¬ 8
2. Obliczyć całki po obszarze D ograniczonym danymi krzywymi:
ZZ
1
x2
dxdy, D : y = x, x = 2, y =
2
y
x
ZZ D
(x + 6y)dxdy, D : y = x, x = 1, y = 5x
Z Z Dp
4x2 − y 2 dxdy, D : y = 0, x = 1, y = x
D
ZZ
(x3 + 4y)dxdy, D : y = x2 , y = 2x
D
3. Obliczyć całki po obszarze D:
ZZ
xdxdy, D jest trójkątem o wierzchołkach O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)
ZZ D
dxdy
p
, D jest I ćwiartką koła o promieniu a i środku O(0, 0)
2
a − x2 − y 2
D
4. Obliczyć całki dokonując zamiany na współrzędne biegunowe:
ZZ
(x2 + y 2 )dxdy, D : x2 + y 2 ¬ a2 , a > 0
Z ZD √
2
2
e x +y dxdy, D : x2 + y 2 ¬ 1, y ­ 0
D
ZZ s
1 − x2 − y 2
dxdy, D : x2 + y 2 ¬ 1, x ­ 0, y ­ 0
1 + x2 + y 2
D
ZZ p
R2 − x2 − y 2 dxdy, D : x2 + y 2 − Rx ¬ 0, y ­ 0
D
ZZ
xydxdy, D : x2 + y 2 ¬ 1, x ­ 0, y ­ 0
D
5. Znaleźć objętość bryły ograniczonej powierzchniami;
a) x = 0, y = 0, z = 0, x = 4, y = 4, z = x2 + y 2 + 1
b) y = 0, z = 0, y = 2x, x2 + z 2 = 9
c) x = 0, y = 0, z = 0, 2x + y + z = 4
6. Znaleźć pola figur ograniczonych krzywymi:
√
15)
a) y 2 = 10x + 25 i y 2 = −6x + 9 (odp.: 16
3
Wsk. potraktować obszar jako normalny względem osi Oy.
b) x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x, y = x, y = 0. (odp.: 3(π/4 + 1/2))
Wsk. we współrzędnych biegunowych obszar określają nierówności − π2 ¬ ϕ ¬
ρ ¬ 4 cos ϕ. Można też uwzględnić symetrię obszaru.
7. Znaleźć pole figury określonej nierównościami x2 + y 2 ¬ 4a2 , x ­ a
π
2,
2 cos ϕ ¬