Wykład 1: Całki podwójne

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 1: Całki podwójne
Definicja.
• R - prostokąt
• R1 , R2 , . . . , Rn
- podział P prostokąta R na prostokąty
o parami rozłącznych wnętrzach,
które całkowicie wypełniają R
• prostokąt Rk ma wymiary ∆xk × ∆yk , k = 1, 2, . . . , n
• dk =
q
(∆xk )2 + (∆yk )2 - długość przekątnej prostokąta Rk
• δ(P) = max{d1 , d2 , . . . , dn } - średnica podziału P
• wybieramy punkty pośrednie (x∗k , yk∗ ) ∈ Rk , k = 1, 2, . . . , n
Niech f (x, y) będzie funkcją ograniczoną na R.
Całka podwójna z f po prostokącie R to:
ZZ
f (x, y) dxdy = lim
δ(P)→0
R
n
X
f (x∗k , yk∗ )∆xk ∆yk
k=1
|
{z
suma całkowa
}
o ile granica jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału prostokąta R i wyboru punktów
pośrednich.
Mówimy wtedy, że funkcja f (x, y) jest całkowalna na R.
Twierdzenie:
Jeżeli f (x, y) jest ciągła na R, to jest całkowalna na R.
1
Własności całki podwójnej na R:
• liniowość
Jeżeli f i g są całkowalne na R, α, β ∈ R, to
ZZ
(αf + βg)(x, y) dxdy = α
R
ZZ
f (x, y) dxdy + β
R
ZZ
g(x, y) dxdy
R
• addytywność względem obszaru całkowania
Jeżeli f jest całkowalna na R oraz R = R1 ∪ R2 , gdzie R1 , R2 to prostokąty o
rozłącznych wnętrzach, to
ZZ
f (x, y) dxdy =
R
Twierdzenie:
ZZ
f (x, y) dxdy +
R1
ZZ
f (x, y) dxdy
R2
(zamiana całki podwójnej po prostokącie na całki iterowane)
Założenia: • f (x, y) - ciągła na prostokącie R;
• R = [a, b] × [A, B] = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, A ¬ y ¬ B}
Wtedy:
ZZ
f (x, y) dxdy =
Zb
a
R
=
ZB
A
B

Z
Zb
ZB
zapis
 f (x, y) dy  dx =
dx f (x, y) dy
a
A
A
 b

Z
ZB
Zb
 f (x, y) dx dy zapis
=
dy f (x, y) dx
a
A
a
Uwaga: Tu kolejność całkowania nie jest istotna!
Twierdzenie:
Jeżeli f (x, y) = g(x)h(y) (tzw. funkcja o rozdzielonych zmiennych), gdzie g(x) - ciągła
na [a, b], h(y) - ciągła na [A, B], to dla prostokąta R = [a, b] × [A, B] mamy
ZZ
R
f (x, y) dxdy =

 b
 B
Z
Z
 g(x)dx  h(y) dy 
a
Przykłady do zad. 1.1
2
A
Całki podwójne po obszarach
Definicja.
• D - obszar ograniczony na płaszczyźnie
(obszar - zbiór o niepustym wnętrzu, taki że
dowolne dwa punktu z wnętrza D można
połączyć łamaną zawartą w tym wnętrzu;
ograniczony - zawarty w pewnym prostokącie R)
• f (x, y) - funkcja okreslona i ograniczona na D
• Definiujemy roszerzenie funkcji f na prostokąt R:
(
∗
f (x, y) =
f (x, y) dla (x, y) ∈ D
0
dla (x, y) ∈ R \ D
Całka podwójna z f po obszarze D to:
ZZ
f (x, y) dxdy =
ZZ
f ∗ (x, y) dxdy,
R
D
o ile całka po prostokącie R istnieje.
Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na D.
Uwaga:
ZZ
f (x, y) dxdy nie zależy od wyboru prostokąta R.
D
3
Całki podwójne po obszarach normalnych
Twierdzenie:
(zamiana całki podwójnej po obszarze normalnym na całki iterowane)
• Założenie: obszar D ma postać:
D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, d(x) ¬ y ¬ g(x)},
gdzie d(x), g(x) to funkcje ciągłe na [a, b] i d(x) < g(x) dla każdego x ∈ (a, b)
(jest to tzw. obszar normalny względem osi 0x).
y=g(x)
Jeżeli f (x, y) jest ciągła na obszarze D, to
ZZ
f (x, y) dxdy =
Zb
dx
a
D
g(x)
Z
x
a
b
f (x, y) dy
y=d(x)
d(x)
• Założenie: obszar D ma postać:
D = {(x, y) : A ¬ y ¬ B, l(y) ¬ x ¬ p(y)},
gdzie l(y), p(y) to funkcje ciągłe na [A, B] i l(y) < p(y) dla każdego y ∈ (A, B)
(jest to tzw. obszar normalny względem osi 0y).
B
Jeżeli f (x, y) jest ciągła na obszarze D, to
ZZ
D
f (x, y) dxdy =
ZB
A
x=l(y)
y
p(y)
Z
dy
f (x, y) dx
l(y)
Uwaga: Tu kolejność całkowania jest istotna!
Przykłady do zad. 1.2 i 1.3
4
A
x=p(y)
Współrzędne biegunowe:
P
P
y
ρ
φ
x
współrzędne kartezjańskie
P = P (x, y)
współrzędne biegunowe
P = P (ρ, ϕ)
(∼ postać algebraiczna
liczby zespolonej)
(∼ postać trygonometryczna
liczby zespolonej)
(
(
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
x2 + y 2 = ρ 2
5
ρ ­ 0,
ϕ ∈ [0, 2π] (lub ϕ ∈ [−π, π])
Odpowiednik obszaru D we współrzędnych biegunowych:
Koło: D = {(x, y) : x2 + y 2 ¬ R2 }
Odpowiednik we współrzędnych biegunowych:
prostokąt ∆ = {(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 0 ¬ ρ ¬ R}
y
R
∆
D
ρ
R
x
φ
0
2π
Koło: D = {(x, y) : (x − R)2 + y 2 ¬ R2 }
Odpowiednik we współrzędnych biegunowych:
obszar ∆ = {(ϕ, ρ) : − π2 ¬ ϕ ¬ π2 , 0 ¬ ρ ¬ 2R cos ϕ}
Uzasadnienie:
(x − R)2 + y 2 = R2
2
x − 2Rx + R2 + y 2 = R2
ρ2 = 2Rρ cos ϕ
ρ = 0 lub ρ = 2R cos ϕ
y
ρ=0
0
ρ=2Rcos(φ)
φ
ρ=2Rcos(φ)
x
2R
R
∆
D
−π/2
Twierdzenie:
ρ=0
π/2
(zamiana zmiennych w całce podwójnej na współrzędne biegunowe)
Założenia:
• f (x, y) - ciągła na D
• obszarowi D odpowiada we współrzędnych biegunowych obszar regularny ∆
Wtedy:
ZZ
f (x, y) dxdy =
D
ZZ
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ρ dρ dϕ
∆
Przykłady do zad. 1.4
6