zadania z rachunku prawdopodobieństwa 3 - e

ZADANIA ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (2)
Proszę przygotować na ćwiczenia :
 Zmienna losowa typu skokowego i jej rozkład; dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności;
 Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej (wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie
standardowe);
Zad. 1. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa postaci:
xi
-3
-1
3
5
pi
0,1
0,2
c
0,3
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X oraz jej wykres.
c) Obliczyć: P(X=5); P 2  X  5 ; P(X<3) ; P(X  1); P(X=1); F  3 ; F 1
d) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X.
Zad. 2. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:
x
 ,5  5,2  2,0
0,3
3,8
8, 
F (x)
0
0,1
0,3
0,5
0,8
1
a) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i wykonać wykres
b) Obliczyć: P(X < 3); P(X = -1); P(-5 < X <3); P(X=0,2); P(X=0,1); P(X<1,1);
P(X  -0,1); P(X  1); P(  0,1  X  2,3) ; P( 0,2  X  2,3) ; P(  2,0  X  0,2) ; F 2,3
c) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
Zad. 3. Zmienna losowa przyjmuje wartości –1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi, odpowiednio: ¼, ½ i ¼ .
a) Wyznaczyć i przedstawić graficznie dystrybuantę zmiennej.
b) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej.
Zad. 4. Niech X będzie zmienną losową opisującą pojemność butelki z wodą mineralną wybieraną przez
klienta w pewnym hipermarkecie (w litrach). Rozkład tej zmiennej dany jest dystrybuantą:
dla x  0
0
0 ,3 dla 0  x  1

F  x   0 ,5 dla 1  x  1,5
0,8 dla 1,5  x  5

1
dla 5  x
a) Znaleźć rozkład zmiennej losowej X.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowy klient wybierze butelkę o pojemności nie przekraczającej 2
litry.
c) Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe pojemności butelek z wodą wybieranych przez
klientów w tym hipermarkecie.
Zad.5. Dystrybuanta zmiennej losowej Y dana jest wzorem:
 0 dla y  1
 1 dla  1  y  2
 6
F ( y )   12 dla 2  y  3
 5 dla 3  y  6
 6
 1 dla y  6
a) Obliczyć: P(Y  3), P(2  Y  6), P(1  Y  3).
b) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y i narysować jej wykres.
c) Obliczyć moment zwykły rzędu pierwszego zmiennej Y.