Przykładowe kolokwium

Rachunek prawdopodobieństwa, Przykładowy zestaw na kolokwium
Czas trwania: 90 minut. Liczba punktów do zdobycia: 100.
Proszę pisać czytelnie! Rozwiązanie nieczytelnie = 0 punktów.
NAZWISKO i IMIĘ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. [10 pkt] Firma produkuje baterie w zakładach A i B, przy czym w A produkuje 4 razy więcej niż w B. Wadliwość
produktów pochodzących z obu zakładów wynosi odpowiednio 2.4% i 1.6%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując jedną
baterię trafimy na wadliwy produkt.
2. [10 pkt] Dane są urna A zawierająca 5 kul białych i 9 czarnych oraz urna B zawierająca 6 kul białych i 8 czarnych. Z
losowo wybranej urny wylosowano białą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowano z urny B?
3. [10 pkt] Mamy dwie urny: urna A zawierająca kule: 8 białych i 2 czarne oraz urna B zawierająca kule: 4 białe i 6 czarnych.
Losujemy po jednej kuli z obu urn. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna kula będzie biała.
4. [10 punktów] Analityk funduszu inwestycyjnego wyselekcjonował 20 spółek z sektora finansowego oraz 10 z branży budowlanej i 10 z branży spożywczej. Zarządzający funduszem chce stworzyć portfel zawierający akcje 10 spółek, wśród których
ma się znaleźć 4 spółek z sektora finansowego oraz 2 firmy z branży budowlanej i 4 z branży spożywczej. Ile różnych portfeli
ma do rozważenia zarządzający?
5. [10 pkt] Zmienna losowa X ma rozkład podany w tabeli:
xi
−1
0
1
3
6
pi
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe X oraz wyznacz jej dystrybuantę.
6. [10 pkt] Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o gęstości:

 1 x, 1 ¬ x ¬ 3,
f (x) = 4
0,
poza tym.
7. [10 pkt] Wyznacz wartość c tak, aby poniższa funkcja f była gęstością prawdopodobieństwa:
(
x + 2, 1 ¬ x ¬ c,
f (x) =
0,
poza tym.
8. [10 pkt] Stopa zwrotu z akcji spółki AG S.A. ma rozkład normalny o parametrach µ = 0.1, σ = 0.25. Oblicz prawdopodobieństwo straty (ujemnej stopy zwrotu) przy inwestycji w akcje tej spółki.
9. [10 pkt] Zmienna losowa Z ma rozkład normalny standardowy. Wyznacz zα tak, aby P(|Z| < zα ) = 0.8.
10. [10 pkt] Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład
Y \X
1
2
3
0
0.21
0.2
0.19
4
0.01
0.12
0.27
• Wyznacz rozkłady brzegowe zmiennych losowych X i Y .
• Wyznacz rozkłady warunkowe X|Y = 4 oraz Y |X = 2.
• Oblicz moment µ11 .