mx dj

Drgania harmoniczne
X
A
T
t
O
-A
Y
x = A cos(wt + j)
A
2p
w=
= 2p n
T
0
wt+j
x
Prêdkoœæ i przyspieszenie
v=
dx
= -wA sin(wt + j)
dt
dv d2 x
a=
= 2 = -w2 A cos(wt + j) = -w2 x
dt dt
Si³a w ruchu harmonicznym
F = -k x
k = mw2
X
Równanie ró¿niczkowe drgañ harmonicznych
d2 x
2
+
w
x =0
2
dt
d2 x
m 2 = -k x
dt
w=
k
m
Drgania cie¿arka na sprê¿ynie
m
F
x
F = -k x
m
T = 2p
m
k
Wahad³o matematyczne
sina @
x
l
a
l
A
x
F = -m g = -k x,
l
x
O
gdzie
F
a
mg
k=
l
mg
w=
g
l
Okres drgañ wahad³a matematycznego
l
T = 2p
g
Wahad³o fizyczne
P
a
l
S
mgsina=F
m
a
mg
M = Fl = -mgl sin a @ -mgl
M = Ie = I
d 2a
dt
2
@
I d2x
l d t2
x
l
w=
mgl
I
Okres drgañ wahad³a fizycznego
T = 2p
I
mgl
I = I0 + ml 2
Energia drgañ harmonicznych
Energia potencjalna
Fz
Fz
x
=
kx
F
Wz
x X
Fz
kx 2 mw2 x 2
Ep =
=
2
2
Wz =
1
k x2 = Ep
2
Zachowanie ca³kowitej energii mechanicznej drgañ
mw2 A2
E = Ep + Ek =
2
Energia
mw2 x2
Ep =
2
mv 2 mw 2 2
Ek =
=
( A - x2)
2
2
.
-A
0
A
x
Przybli¿enie ma³ych drgañ
Ep
E p ( x) = E p ( x0 ) +
1
k( x - x0 )2
2
x0 x
x
0
rzeczywista zale¿noœæ
E p = E p ( x)
Ep(x0)
x-x0
2
1 d Ep
E p (x) = E p (x0 ) +
(x - x0 ) +
dx x = x
2 dx 2
0
dE p
E p (x ) @ E p (x0 ) +
k=
3
1 d Ep
(x - x0 ) +
6 dx 3
2
x = x0
1
k(x - x0 )2
2
d2Ep
d x2
x - x0
(x - x0 )3 + ...
x = x0
Sk³adanie drgañ
Sk³adanie drgañ równoleg³ych o jednakowych czêstoœciach
A
wt + j
A1
A2
wt + j 2
x2
0
x
x 2 = A2 cos(wt + j 2 )
x = x1 + x2 = A cos(wt + j )
A=
wt + j 1
x1
x1 = A1 cos(wt + j 1 )
tan j =
A1 sin j 1 + A2 sin j 2
A1 cos j 1 + A2 cos j 2
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(j 2 - j1 )
Drgania równoleg³e o jednakowych czêstoœciach i amplitudach
A = 2A12[1 + cos(j 2 - j1)] = 2A1 cos
j1 - j 2
2
Dj
A1
A1
Sk³adanie dowolnej iloœci
drgañ równoleg³ych
A1
A
Dj
Dj
A1
Dj
A1
wt+j
A1
0 wt+j1
Dj
X
Drgania t³umione
b=
m
r
2m
d2x
dt
2
= -kx - r
dx
dt
w0 =
d 2x
+ 2b
dt2
dx
+ w 20 x = 0
dt
x = A(t )cos(wt + j )
A0
x
w = w 20 - b 2
A1
A2
A3
A4
t
0
-A0
T =
A(t ) = A0e
-bt
A1 A2 A3
=
=
=... = e bt
A2 A3 A4
2p
w
= A0e
-
t
t
t=
1
b
Logarytmiczny dekrement t³umienia
l = ln
Energia drgañ t³umionych
A(t )
= bT
A(t + T )
E (t ) = E 0e -2bt = A0e
-
t
tE
k
m
Drgania wymuszone
m
d 2x
dt 2
+r
F
d 2x
dx
+ 2b + w 20 x = 0 cos(wt )
2
dt
m
dt
dx
+ k x = F0 cos(wt )
dt
x = A cos(wt - j)
A=
F0
tan j =
m (w20 - w2 )2 + 4b 2w 2
2bw
w20 - w2
Rezonans
Ar =
A
F0
2mb w20 - b 2
x0 =
F0
w20 m
=
F0
k
Ar
x0
wr
w r = w 20 - 2b 2
Amplituda przy braku t³umienia
A=
F0
m w 2 - w 20
Rezonans dla s³abego t³umienia
Ar @
F0
2mbw 0
.
w