Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

str. 1
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze na kierunku Budownictwo
Lista I.
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
Miara łukowa kąta.
1.1. Wyraź w radianach:
(a) 30◦ ,
(b) 120◦ ,
(c) 225◦ ,
(d) 315◦ ,
(e) 450◦ ,
(f ) 570◦ .
1.2. Wyraź w stopniach:
(a) 61 π rad,
(b)
1
π
3
rad,
(c)
3
π
4
rad,
(d)
1
π
12
rad, (e)
7
π
12
rad, (f )
8
π
9
rad.
1.3. Niech |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, ^A = α i ^B = β. Wyznacz długości boków i kąty
w trójkącie prostokątnym ABC, gdy ^C = 90◦ oraz
(a) a = 3 cm, b = 7 cm,
(c) b = 7 m, c = 21 m,
(b) a = 6, 3 cm, b = 12 cm, (d) a = 8 cm, α = 32◦ 100 ,
(e) a = 17 cm, β = 43◦ ,
(f ) b = 0, 24 m, α = 69◦ .
1.4. Niech |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, ^A = α i ^B = β. Wyznacz długości boków i kąty
w trójkącie prostokątnym ABC, gdy ^C = 90◦ oraz
(a) a = 30 cm, α = 30◦ ,
(c) a = 6 cm, c = 12 cm,
(b) a = 10 cm, β = 30◦ ,
(d) c = 28 cm, α = 30◦ ,
(e) c = 16 cm, β = 60◦ ,
√
(f ) c = 2 cm, b = 3 cm.
1.5. W trójkącie ABC dane są ^C = 120◦ , |AC| = 7 cm i |BC| = 4 cm. Oblicz długość
boku AB.
1.6. W trójkącie równoramiennym ABC, gdzie |AC| = |CB| dane są (α = ^BAC, β =
^ABC, γ = ^ACB):
(a) |AC| = 10, γ = 40◦ ,
(b) |CB| = 20,
(c) |AC| = 15,
α = 50◦ ,
γ = 100◦ ,
(d) |AB| = 20,
γ = 120◦ ,
(e) |AB| = 40 cm,
(f ) |CB| = a cm,
|AC| = 25,
γ = 150◦ .
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze na kierunku Budownictwo
str. 2
Oblicz długości pozostałych boków i kąty.
1.7. Dane są dwa boki a, b trójkąta ABC. Obliczyć bok c, jeżeli wiadomo, że miara kąta C
jest dwa razy większa od miary kąta B.
1.8. Dwa boki trójkąta mają długości 2 cm i 4 cm, a miara kąta między nimi wynosi 120o .
Oblicz obwód tego trójkąta, jego pole oraz długość promienia okręgu opisanego na tym
trójkącie.
1.9. Dany jest trójkąt o bokach długości: 10,10, 14. Określ czy jest to trójkąt rozwartokątny.
Oblicz jego pole.
1.10. W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty. Wiedząc, że sin α = m,
oblicz cos α, tg α, sin β, cos β, ctg β (α oznacza kąt przy wierzchołku A, β kąt przy wierzchołku B).
Własności funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta.
1.11. Dla jakich α ∈ (0◦ , 360◦ ) prawdziwe są następujące równania i nierówności:
(a) sin α cos α > 0;
(d) ctg α <
√
3;
(b) sin α cos α < 0;
(c) sin α > cos α;
1
(e) cos α < ;
2
(f ) tg α > ctg α ?
1.12. Określ (bez użycia tablic) znak różnicy:
(a) sin 72◦ − sin 80◦ ;
(b) cos 15◦ − cos 16◦ ;
(c) cos 300◦ − cos 340◦ ;
(d) tg 35◦ − sin 35◦ ;
(e) sin 200◦ − sin 100◦ ;
(f ) sin 400◦ − sin 40◦ .
1.13. Zbadaj, która z liczb w każdej z podanych par jest większa. Wstaw w miejsce „ . . . ” znak
„=”, <” lub „>”:
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
str. 3
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze na kierunku Budownictwo
(a) sin 1 . . . tg 1;
(d) sin
π
π
. . . tg ;
4
3
(b) cos 1 . . . ctg 1;
(c) sin 2 . . . cos 2;
3
3
(e) ctg π . . . tg π;
4
4
(f ) sin 5π . . . cos 3π.
1.14. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α, jeżeli:
(a) sin α =
15
17
7
(c) tg α =
24
i
i
90◦ < α < 180◦ ;
◦
(b) cos α =
5
13
i
q
(d) sin α = − 0, 2
◦
180 < α < 270 ;
270◦ < α < 360◦ ;
180◦ < α < 270◦ .
i
1.15. Oblicz sin α, cos α i tg α, gdy ctg α = m i 90◦ < α < 180◦ .
Sporządź wykresy podanych funkcji. Określ zbiór wartości tych funkcji, wyznacz ich wartość
najmniejszą i największą. Jeśli podana funkcja jest funkcją okresową to podaj jej okres.
1.16. y = sin 2x.
1.17. y = cos x − 1.
1.19. y = | ctg x|.
1.20. y = 2 sin
1.22. y = | sin x|.
1.23. y = sin x + | sin x|.
x
− 1.
2
π
1.18. y = sin x +
.
4
1
π
1.21. y = 1 − cos 2x +
.
2
3
1.24. y = sin |x|.
1.25. Uzupełnij poniższe tabele. Jeśli kąt nie istnieje, wpisz znak ×:
(0, 90◦ )
(90◦ , 180◦ )
(180◦ , 270◦ )
(270◦ , 360◦ )
1
2
− 12
cos α
√
2
2
√
2
2
−
√
3
2
√
−
3
2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze na kierunku Budownictwo
(0, 90◦ )
(90◦ , 180◦ )
(180◦ , 270◦ )
str. 4
(270◦ , 360◦ )
1
2
− 12
cos α
√
2
2
√
2
2
−
√
3
2
√
−
3
2
sin α
0
1
2
− 12
√
2
2
√
-
2
2
√
3
2
√
−
3
2
−1
0
1
2
− 21
cos α
√
2
2
−
√
2
2
√
3
2
−
√
3
2
1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego