Rozdział 19 RUCHY BROWNA

Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
1
Rozdział 19
RUCHY BROWNA
19.1
Podstawy fizyczne
Ruchy Browna to nieuporządkowane ruchy cząstek zawiesin (np. pyłku
roślinnego) zawieszonych w cieczy lub gazie.
Rys. 19.1. Rzut trajektorii brownowskiej na płaszczyznę.
Typowe odstępy pomiędzy chwilami obserwacji – ∆t = 0.01 s ÷ 1 s.
Średni czas między zderzeniami cząsteczek – 10−14 s.
Ruchy Browna można opisać podobnie jak problem błądzenia przypadkowego. Wektor wypadkowego przesunięcia cząstki zawiesiny po N krokach
sN = sN −1 + d .
gdzie
d – wektor przemieszczenia cząstki w pojedynczym kroku
(19.1)
2
Rozdział 19. Ruchy Browna
Uwaga:
Dla przypadkowych przemieszczeń hsN −1 · di = 0.
Średni kwadrat przesunięcia po N krokach
hs2N i = N a2 = νa2 t
(19.2)
gdzie
df
a2 = hd2 i – średni kwadrat pojedynczego przemieszczenia
N = νt
ν – częstość przesunięć – średnia liczba przesunięć cząstki zawiesiny w jednostce czasu
Średnie przesunięcie po N krokach
√
√
df
lN = hs2N i1/2 = a N = a νt .
(19.3)
Jest to zależność charakterystyczna dla ruchów Browna.
19.2
Rozkład prawdopodobieństwa trajektorii
brownowskich
Rozważmy składową x-ową wektora przesunięcia sN . Przesunięcie wypadkowe po N krokach jest sumą N liczb przypadkowych ξi
xN =
N
X
ozn
ξi = x .
(19.4)
i=1
Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym suma N liczb przypadkowych
podlega rozkładowi normalnemu (gdzie µ = hxi = 0, σ 2 = hx2 i).
σ 2 = N a2 = νa2 t
(19.5)
Rozkład prawdopodobieństwa dla wypadkowego przesunięcia cząstki w kierunku x
1
2
2
(19.6)
̺(x) = √ e−x /2σ .
σ 2π
Prawdopodobieństwo otrzymania po N krokach (po czasie t) przemieszczenia
zawartego w przedziale [x, x + ∆x]
P (x, ∆x) = ̺(x)∆x .
(19.7)
Janusz Adamowski
19.3
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
3
Konstrukcja trajektorii brownowskiej
Rozważamy ruch Browna w funkcji zmiennej czasowej τ .
Wartość τ :
(1) rzeczywista – symulacja ruchu cząstki zawiesiny
(2) urojona – symulacja ewolucji czasowej układu kwantowego
Dzielimy przedział 0 ≤ τ ≤ B na d podprzedziałów o długości ε = B/d (d –
liczba całkowita).
τj = jε (j = 0, . . . , d) – punkty podziału
Ruch w kierunku x w każdym z podprzedziałów [τj , τj+1 ] jest ruchem Browna,
podlegającym rozkładowi normalnemu o średniej µ = 0 i odchyleniu standardowym
s
√
B
,
(19.8)
σ=α ε=α
d
gdzie √
α = a ν – ma wymiar [ms−1/2 ]
Dla ustalonych xj−1 i xj+1 , traktujemy xj jako zmienną losową i wyznaczamy
jako
1
1
ε
σ
xj = (xj−1 + xj+1 ) + √ ζj = (xj−1 + xj+1 ) + α
ζj
2
2
2
2
r
(19.9)
gdzie
df
ζj = √12 (ξj−1 − ξj ) ,(j = 1, . . . , d − 1)
hζj i = 0
V arζj = 21 h(ξj−1 − ξj )2 i = 21 (2V arξ − 2hξj−1 ξj i) = 1
ξj podlega rozkładowi normalnemu (19.6) o średniej=0 i wariancji V arξ = 1.
Każde z obliczonych według wzoru (19.9) położeń xj podlega rozkładowi
Gaussa. Powtórzenie tej konstrukcji dla każdego wymiaru w przestrzeni trójwymiarowej daje w wyniku 3(d − 1)-wymiarowy rozkład Gaussa położeń cząstek.
Zastosowania:
(1) Bezpośrednie: symulacja komputerowa ruchów Browna.
(2) Obliczanie całek po trajektoriach metodą Monte Carlo.