Część 3. zagadnień na raport z kursu Symulacje komputerowe

Część 3. zagadnień na raport z kursu Symulacje komputerowe
Ocenianie: za 3. część raportu można uzyskać 10 pkt.
Termin oddania: 15 czerwca
Zasady oceniania są takie same jak wcześniej.
Lista zadań do wykonania:
1. Interpolacja ruchu Browna Ogólny most Browna na odcinku [0, T ] zaczynający się w punkcie a
(M (0) = a) i kończący się w punkcie b (M (T ) = b) jest zadany równaniem
t
t
B(T ) + a + (b − a)
T
T
(jest to tylko jedna z kilku alternatywnych definicji mostu Browna). Okazuje się, że klasyczny ruch Browna
B(t) w sensie dosłownym składa się z odcinków mostu Browna, tzn. jeśli znamy B(t1 ) oraz B(t2 ), to ruch
Browna na odcinku (t1 , t2 ) jest mostem Browna na odcinku [0, t2 − t1 ] zaczynającym się w M (0) = B(t1 ),
a kończącym w M (t2 − t1 ) = B(t2 ).
M (t) = B(t) −
Znając ten fakt, napisz algorytm, który pobiera macierz z trajektoriami ruchu Browna próbkowanym co
∆t i zwraca macierz, w której trajektorie są próbkowane z 2 razy większą częstotliwością, tzn. co ∆T /2.
Sprawdź jego poprawność.
2. Klasa procesów Matérna Procesy z klasy Matérna są to procesy gaussowskie Xν (t) zadane funkcją
autokowariancji
ν
√
21−ν √
2ν(t − s) Kν
2ν(t − s) ,
cov(Xν (s), Xν (t)) =
Γ(ν)
gdzie Γ to funkcja specjalna gamma, a Kν to zmodyfikowana funkcja Bessla drugiego rodzaju.
Wygeneruj trajektorie procesów Matérna Xν dla różnych ν > 0 i zbadaj, w jaki sposób ich własności
zależą od ν.
Zadanie dodatkowe Jest w pełni dobrowolne, można za nie dostać dodatkowo do 5 pkt.
Stochastyczny oscylator harmoniczny W zastosowaniach symulacji Monte Carlo kluczowe znaczenie
mają stochastyczne równania różniczkowe. Najprostszym takim równaniem jest
dX(t) = −λX(t)dt + dB(t),
X(0) = X0 ,
dla pewnego λ > 0 oraz ruchu Browna B(t). Opisuje ono postać ”niewielkich” przyrostów dX(t) procesu X(t).
Zależność ta jest liniowa - λX(t)dt opisuje siłę harmoniczną, a dB(t) losowe zaburzenie.
Wysymuluj przybliżoną trajektorię oscylatora harmonicznego, przyjmując, że przyrosty są brane co (małe)
∆t, tzn. dX(t) ≈ ∆Xk = X((k + 1)∆t) − X(k∆t), podobnie z przyrostami dB(t). Skorzystaj z komendy for,
gdzie znając aktualną wartość procesu obliczaj na bieżąco jego przyrosty oraz następne wartości. Za wartość
początkową weź X0 ∼ N (0, XXX) (można brać inne warunki początkowe, przy takim proces będzie bardziej
regularny).
Zbadaj funkcję autokowariancji wysymulowanego procesu. Co stanie się, gdy przyrosty ruchu Browna dB(t)
zastąpimy przyrostami ułamkowego ruchu Browna dBH (t)?