obszar prostokąta

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.
1. Całka podwójna.
1.1. Całka podwójna po prostokącie.
Oznaczenia:
• P = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} = [a, b] × [c, d] - prostokąt na
płaszczyźnie,
• f (x, y) - funkcja określona i ograniczona na P ,
• p - podział prostokąta P na n prostokątów ∆P1 , ∆P2 , . . . , ∆Pn ,
• ∆Pi - i-ty prostokąt, i = 1, ..., n,
• |∆Pi | - pole i-tego prostokąta, i = 1, ..., n,
• (ξi , ηi ) - dowolny punkt prostokąta ∆Pi ,
• f (ξi , ηi ) |∆Pi | - objętość prostopadłościanu, którego podstawą jest prostokąt
∆Pi ,
P
• S := S(f, p) = ni=1 f (ξi , ηi ) |∆Pi | - suma pośrednia,
• δ = δ(p) - średnica podziału p, tzn. najdłuższa z przekątnych δi prostokątów
∆Pi , tzn. δ = max1≤i≤n δi .
Weźmy teraz ciąg podziałów {pk } prostokąta P . Dostajemy wtedy ciąg średnic
{δk } oraz ciąg sum pośrednich {Sk }.
Definicja 1.1.
Ciąg {pk } podziałów prostokąta P nazywamy normalnym, jeśli
lim δk = 0.
k→∞
1
Definicja 1.2.
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu {pk } podziałów prostokąta P odpowiadający
mu ciąg sum pośrednich Sk = S(f, pk ) jest zbieżny zawsze do tej samej
granicy niezależnie od doboru punktów pośrednich, to granicę tę nazywamy
całką podwójną funkcji f po prostokącie P i oznaczamy symbolem
Z Z
f (x, y) dx dy,
P
tzn.
Z Z
f (x, y) dx dy = lim S(f, pk ).
δk →0
P
O funkcji f mówimy wtedy, że jest całkowalna po prostokącie P .
Uwaga. (interpretacja geometryczna)
RR
Jeżeli f (x, y) ≥ 0 dla (x, y) ∈ P , to
P f (x, y) dx dy przedstawia objętość
bryły V ograniczonej płaszczyznami z = 0, x = a, x = b, y = c, y = d oraz
powierzchnią z = f (x, y) dla (x, y) ∈ P , tj.
Z Z
|V | =
f (x, y) dx dy.
P
Fakt 1.3.
Funkcja ciągła na prostokącie P jest na nim całkowalna.
Fakt 1.4. (własności całek podwójnych)
Niech funkcje f i g będą całkowalne po prostokącie P , α, β ∈ R, P = P1 ∪ P2 ,
gdzie P1 , P2 są dowolnymi prostokątami o rozłącznych wnętrzach. Wtedy
RR
RR
RR
(i)
(α
f
(x,
y)
+
β
g(x,
y))
dx
dy
=
f
(x,
y)
dx
dy
+
P
P
P g(x, y) dx dy,
RR
RR
RR
(ii)
f
(x,
y)
dx
dy
=
f
(x,
y)
dx
dy
+
P
P1
P2 f (x, y) dx dy.
2
Twierdzenia 1.5. (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostokącie P = [a, b] × [c, d], to
Z Z
Z b Z d
Z d Z b
f (x, y) dx dy =
f (x, y) dy dx =
f (x, y) dx dy.
[a,b]×[c,d]
a
Piszemy również
Z b Z
d
c
f (x, y) dy
a
Z
c
Z
dx =
c
dx
f (x, y) dx
Z
dy =
a
d
Z
a
d Z b
c
b
a
f (x, y) dy,
c
d
Z
b
dy
c
f (x, y) dx.
a
Powyższe całki nazywamy całkami iterowanymu funkcji f po prostokącie
P = [a, b] × [c, d].
Przykład 11.1.
Obliczymy całki z podanych funkcji f po wskazanych prostokątach
(a) f (x, y) = x2 + xy + y 2 + 3,
P = [0, 2] × [1, 2],
h π πi h πi
P = − ,
× 0,
.
4 4
4
(b) f (x, y) = sin(x + y),
Twierdzenie 1.6.
Jeżeli f (x, y) = g(x) · h(y) oraz funkcje g i h są ciągłe odpowiednio na [a, b]
oraz [c, d], to
Z b
Z d
Z Z
f (x, y) dx dy =
g(x) dx ·
h(y) dy .
[a,b]×[c,d]
Przykład 11.2.
Obliczymy całki:
Z Z
a.
a
c
Z Z
xy(x + y) dx dy,
[−1,2]×[0,1]
b.
[0,1]×[0,1]
3
ex+y dx dy.
1.2. Całka podwójna w dowolnym obszarze.
Załóżmy, że funkcja f (x, y) jest określona i ograniczona w dowolnym ograniczonym
zbiorze E ⊂ R2 . Ponieważ E jest ograniczony to istnieje prostokąt P taki, że
E ⊂ P.
Określamy nową funkcję f0 (x, y) określoną i ograniczoną w prostokącie P w
następujący sposób:
f (x, y), gdy (x, y) ∈ E
f0 (x, y) :=
0, gdy (x, y) ∈ P \ E.
Definiujemy
Z Z
Z Z
f (x, y) dx dy =
E
f0 (x, y) dx dy.
P
1.3. Całka podwójna w obszarze normalnym.
Definicja 1.7. (obszarów normalnych względem osi układu współrzędnych)
(i) Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Ox,
jeżeli można go zapisać w postaci
D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)},
gdzie funkcje g i h są ciągłe na przedziale [a, b] oraz g(x) < h(x) dla
x ∈ (a, b).
(ii) Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Oy,
jeżeli można go zapisać w postaci
D = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, p(y) ≤ x ≤ q(y)},
gdzie funkcje p i q są ciągłe na przedziale [c, d] oraz p(y) < q(y) dla
y ∈ (c, d).
4
Przykład 11.3.
Narysujemy i opiszemy obszary ograniczone krzywymi:
a. y = x2 , y =
√
x;
b. x2 + y 2 = 1;
c. y =
1
, y = x, y = 2x, x > 0.
x
Twierdzenie 1.8.
(i) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym i normalnym względem
osi Ox
D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)},
to
Z Z
Z
b
f (x, y) dx dy =
D
!
h(x)
Z
f (x, y) dy
a
Z
b
dx =:
Z
h(x)
dx
g(x)
f (x, y) dy.
a
g(x)
(ii) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym i normalnym względem
osi Oy
D = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, p(y) ≤ x ≤ q(y)},
to
Z Z
Z
d
Z
f (x, y) dx
f (x, y) dx dy =
D
!
q(y)
c
Z
dy =:
p(y)
d
Z
q(y)
dy
c
f (x, y) dx.
p(y)
Przykład 11.4.
Obliczymy całkę z funkcji f (x, y) = (x − y)ey po obszarze ograniczonym
krzywymi:
x = 0, x = 2, 2y = x, y = 2x.
Przykład 11.5.
Obliczymy całkę z funkcji f (x, y) = xy po obszarze ograniczonym krzywymi:
x = 0, x = π, y = sin x, y = 0.
5
Przykład 11.6.
RR
2
Obliczymy całkę podwójną
D (x − xy) dx dy, gdzie
D = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x, y ≤ 3x − x2 }.
Przykład 11.7.
RR
Obliczymy całkę podwójną
D y dx dy, gdzie
√
D = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ arc sin y, y ≤
6
2
, x ≥ 0}.
2
1.4. Zamiana zmiennych w całce podwójnej.
Definicja 1.9.
Niech E i D będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach Ouv i Oxy.
Przekształceniem obszaru E w obszar D nazywamy funkcję Φ : E → D
określoną wzorem
(x, y) = Φ(u, v) = (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)),
gdzie (u, v) ∈ E.
Definiujemy
Φ(E) := {(x, y) ∈ R2 : x = ϕ1 (u, v), y = ϕ2 (u, v), (u, v) ∈ E}.
Przykład 11.8.
(współrzędne biegunowe)
Niech ρ, ϕ oznaczają współrzędne biegunowe punktu (x, y), gdzie
• ϕ ∈ [0, 2π] - miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem
wodzącym punktu P ,
• ρ ≥ 0 - odległość punktu P od początku układu współrzędnych.
Zachodzą zależności
Φ :
x = ρ cos ϕ,
y = ρ sin ϕ.
Przekształcenie Φ, które punktowi (ρ, ϕ) przyporządkowuje punkt (x, y) określone
powyższymi wzorami nazywamy przekształceniem biegunowym.
Przykłady opisu obszarów we współrzędnych biegunowych.
• Koło o środku w punkcie (0, 0) i promieniu r > 0
E = {(ρ, ϕ) : 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ 2π},
• Wycinek koła o środku w punkcie (0, 0) i promieniu r > 0
E = {(ρ, ϕ) : 0 ≤ ρ ≤ r, α ≤ ϕ ≤ β},
7
• Pierścień kołowy o środku w punkcie (0, 0), promieniu wewnętrznym
r > 0 i zewnętrznym R
E = {(ρ, ϕ) : r ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π},
• Koło o środku w punkcie (r, 0) i promieniu r > 0
n
o
π
π
E = (ρ, ϕ) : − ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ ρ ≤ 2r cos ϕ ,
2
2
• Koło o środku w punkcie (0, r) i promieniu r > 0
E = {(ρ, ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 2r sin ϕ}.
Definicja 1.10. (jakobianu)
Jakobianem przekształcenia
Φ(u, v) = (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v))
nazywamy funkcję określoną następująco
∂ϕ1
∂u
J Φ(u, v) := ∂ϕ
2
∂u
∂ϕ1
∂v
∂ϕ2
∂v
.
Przykład 11.9. (jakobian przekształcenia biegunowego)
Sprawdzimy, że jakobian przekształcenia biegunowego Φ(ρ, ϕ) = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)
jest równy ρ.
8
Twierdzenie 1.11. (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Załóżmy, że spełnione są następujące warunki:
(i) przekształcenie
Φ : x = ϕ1 (u, v), y = ϕ2 (u, v)
odwzorowuje w sposób wzajemnie jednoznaczny wnętrze obszaru E płaszczyzny
Ouv na pewien obszar D płaszczyzny Oxy;
(ii) funkcje ϕ1 , ϕ2 mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w pewnym
zbiorze otwartym zawierającym obszar E;
(iii) funkcja f (x, y) jest ciągła na obszarze D;
(iv) jakobian J Φ jest różny od zera wewnątrz obszaru E.
Wówczas
Z Z
Z Z
f (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) |J Φ(u, v)| du dv.
f (x, y) dx dy =
D
E
Uwaga.
Przy zamianie zmiennych na współrzędne biegunowe w całce podwójnej otrzymamy:
Z Z
Z Z
f (x, y) dx dy =
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ρ dρ dϕ.
D
E
Przykład 11.10.
R R −(x2 +y2 )
Obliczymy całkę podwójną
dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym
De
2
2
krzywą x + y = 2.
Przykład 11.11.
R R dx dy
Obliczymy całkę podwójną
D x2 +y 2 −1 , gdzie D jest obszarem ograniczonym
2
2
2
2
krzywymi x + y = 9, x + y = 25.
9
1.5. Zastosowanie całek podwójnych w geometrii.
1. Pole obszaru regularnego D ⊂ R2 wyraża się wzorem
Z Z
|D| =
dx dy.
D
Przykład 11.12.
Obliczymy pole obszaru D ograniczonego krzywymi x = y 2 i x = 1.
2. Objetość bryły V ⊂ R3 położonej nad obszarem regularnym D ⊂ R2
i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji z = f (x, y) i
z = g(x, y), tj.
V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y)},
wyraża się wzorem
Z Z
|V | =
[g(x, y) − f (x, y)] dx dy.
D
Przykład 15.13.
Obliczymy objętość bryły V ograniczonej powierzchniami
x2 + y 2 + z 2 = 9 i x2 + y 2 = 1.
3. Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D,
wyraża się wzorem
Z Z q
1 + (fx )2 + (fy )2 dx dy,
|Σ| =
D
przy założeniu, że fx i fy są ciągłe na D ⊂ R2 .
Przykład 15.14.
Obliczymy pole części powierzchni z = f (x, y) = 8 − 2x − 2y odciętej
powierzchniami x = 0, y = 0, z = 0.
10