(4) dla funkcji f(x)

ANALIZA MATEMATYCZNA A2. Kolokwia 2014
√
3
Zadanie 1.1. Korzystając z definicji pochodnej obliczyć f 0 (4) dla funkcji f (x) = x4 .
Zadanie 1.2. Wyznaczyć liczby rzeczywiste a, b, c tak aby funkcja f (x), zadana wzorem

2|x|
jeśli |x| > 13

f (x) =
,
 2
1
ax + bx + c jeśli |x| < 3
była różniczkowalna. Napisać wzorem funkcję f 0 (x) oraz naszkicować jej wykres.
Zadanie 2.1. Obliczyć pochodną f 0 (x) funkcji
f (x) = ln
√
x2 + 1.
Zadanie 2.2. Zbadać, czy funkcja dana wzorem

 x sin x1 jeśli 0 < x < π2
f (x) =

0
jeśli x = 0
£
¢
jest różniczkowalna na przedziale 0, π2 . Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 3.1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f określonej wzorem
f (x) =
x−1
x2 + 1
na maksymalnej dziedzinie. Ponadto wyznaczyć przedziały, na których ta funkcja jest rosnąca,
i te na których jest ona malejąca.
Zadanie 3.2. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = sin x + cos x na
przedziale [0, π].
Zadanie 4.1. Obliczyć pochodne f 0 (x) (rzędu 1) oraz f 00 (x) (rzędu 2) dla funkcji
f (x) = (x2 − 1)2 ln(2x + 2).
Następnie wyznaczyć wartości f 0 (0) oraz f 00 (1).
Zadanie 4.2. Dla funkcji danej wzorem f (x) = |3x + 1| − 2x2 na przedziale D = [−1, 1],
wyznaczyć
1. przedziały monotoniczności f ,
2. ekstrema lokalne (punkty ekstremalne, wartości w tych punktach oraz rodzaj ekstremum),
3. najmniejszą i największą wartość f .
Zadanie 5.1. Wyznaczyć wzorem pochodną f (n) (x) rzędu n−tego dla funkcji f (x) = x3 e−x .
Ponadto obliczyć (w najprostszej postaci) f (n) (0).
Zadanie 5.2. Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości (określając rodzaj tej
wypukłości) dla funkcji f (x) = x + sin x.
Kolokwium 6. Wyprowadzenie wzoru na pochodną logarytmu.
Definicja 1 Definiujemy funkcję E(x) :=
∞
X
xn
n=0
n!
, na dziedzinie DE := {a ∈ R :
∞
X
an
n=0
n!
jest zbieżny }.
Wykazać po kolei następujące własności funkcji E. (uwaga: w kolejnych punktach
można korzystać tylko z tych własności funkcji E, które zostały wykazane w punktach
poprzednich.)
1. Wypisać w jawnej postaci cztery pierwsze wyrazy szeregu definiującego E(x). Korzystając
∞
X
an
z kryterium d’Alemberta wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej a szereg
jest
n!
n=0
zbieżny. Na tej podstawie wyznaczyć DE .
2. Uzasadnić, że E(0) = 1 oraz że E(x) > 0 dla każdego x ≥ 0.
3. Korzystając z własności E(x + y) = E(x)E(y) (której nie trzeba udowadniać) uzasadnić,
1
że E(−x) =
a następnie wywnioskować, że także E(x) > 0 dla każdego x < 0.
E(x)
∞
X
1
4. Korzystając z równości e =
uzasadnić, że dla 0 < x < 1 jest
n!
n=0
1<
E(x) − 1
< 1 + x(e − 2).
x
E(x) − 1
= 1.
x→0
x
pokazać, że także istnieje granica lewostronna
Na tej podstawie wywnioskować, że istnieje granica prawostronna lim+
Korzystając z własności E(−x) =
lim−
x→0
1
E(x)
E(x) − 1
= 1.
x
5. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie wywnioskować, że E(x) jest różniczkowalna
w x0 = 0 i że E 0 (0) = 1.
6. Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie i z własności 3, 4, 5 uzasadnić, że
funkcja E jest różniczkowalna (na całej dziedzinie DE ) i że dla dowolnego x ∈ DE jest
E 0 (x) = E(x).
7. Uzasadnić, że E jest ciągła w całej dziedzinie. Pokazać nierówność E(x) > 1 + x i
korzystając z niej uzasadnić, że lim E(x) = +∞.
x→+∞
1
pokazać, że lim E(x) = 0. Korzystając z
x→−∞
E(x)
własności Darboux dla funkcji ciągłych wywnioskować, że zbiorem wartości funkcji E są
wszystkie liczby dodatnie.
8. Korzystając z własności E(−x) =
9. Na podstawie własności 2, 3 i 6 uzasadnić, że E jest funkcją ściśle rosnącą na całej swojej
dziedzinie. Wywnioskować stąd, że E jest odwracalna.
10. Niech L(x) oznacza funkcję odwrotną do E(x). Wyznaczyć dziedzinę DL tej funkcji.
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oraz z 6 uzasadnić, że funkcja
1
L jest różniczkowalna na całej swojej dziedzinie oraz że L0 (x) = .
x
Zadanie 7.1. Podać definicję pierwotnej funkcji f (x). Wyznaczyć całkę nieoznaczoną
(czyli
Z
1
ogólną postać dowolnej pierwotnej - w postaci bez wartości bezwzględnej) dla
dx.
2
Zx − 1
Zadanie 7.2. Obliczyć całkę (w tym wypadku wyznaczyć jakąś jedną pierwotną):
x5 cos(x2 ) dx.
Następnie opisać jak wyglądają inne pierwotne.
Z
1
Zadanie 8.1. Wyznaczyć całkę
dx rozkładając funkcję podcałkową na ułamki proste.
3
Z √x + 1
ey − e−y
Zadanie 8.2. Obliczyć całkę:
x2 + 1 dx, stosując podstawienie x = sinh y :=
.
2
Z
1
Zadanie 9.1. Wyznaczyć całkę (jedną pierwotną)
dx stosując podstawienie trygonomcos x
x
etryczne y = tg 2 . Nastepnie sprawdzić, że otrzymana funkcja jest pierwotną funkcji podcałkowej.
Z
Zadanie 9.2. Wyznaczyć wzór rekurencyjny dla całek Jn (x) :=
xn ex dx. Następnie wyznaczyć funkcję J3 (x).
Zadanie 10.1. Podać wzór na całkowanie przez części dla całki oznaczonej. Korzystając z
tego wzoru obliczyć całki:
Z
a)
x sin x dx,
0
√
Z
π
2
b)
x2 ln x dx.
1
Wyniki przedstawić w jak najprostszej postaci liczbowej.
Zadanie 10.2. Podać wzór na całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej. Korzystając z tego wzoru i odpowiedniego podstawienia obliczyć całki:
Z 4
Z 1
1
3 4
3
2x (x + 2) dx,
b)
a)
dx.
2 x ln x
0
Wyniki przedstawić w jak najprostszej postaci liczbowej.
Zadanie
√ 11.1. Wyznaczyć objętości brył obrotowych, powstałych przez obrót wykresu funkcji
f (x) = 1 + x2 , określonej na przedziale [0, 1], przy obrocie wokół: (a) osi X, oraz (b) osi Y .
Zbadać, która z tych objętości jest większa.
Z 4
1
Zadanie 11.2. Bez obliczania całki udowodnić nierówność 1 ≤
dx ≤ 2, rozpatrując
1 x
sumę dolną i górną dla podziału odcinka [1, 4] punktami całkowitymi.
Zadanie 12.1. Korzystając z własności całki oznaczonej obliczyć granicę
µ
¶
1
2
3
n
√ √
lim
+√ √
+√ √
+ ... + √ √
.
n→+∞
n3 n + 1
n3 n + 2
n3 n + 3
n3 2n
2
Zadanie 12.2. Korzystając z nierówności podanych na wykładzie dla funkcji e−x pokazać
oszacowania całki:
Z 1
π
2
2
≤
e−x dx ≤ .
3
4
0
Zadanie 13.1. Wyznaczyć współczynniki Fouriera funkcji określonej na przedziale (−π, π]
wzorem f (x) = x. Napisać szereg Fouriera tej funkcji.
Zadanie 13.2. Wyznaczyć współczynniki Fouriera funkcji określonej na przedziale (−π, π]
wzorem
½
−1 dla −π < x < 0
f (x) =
1 dla
0≤x≤π
Napisać szereg Fouriera tej funkcji.
x2
Zadanie 14.1. Pokazać, że ciąg funkcji fn (x) := 2
ma następujące własności:
x + n2
• jest zbieżny punktowo na całej prostej rzeczywistej R,
• nie jest zbieżny jednostajnie na R,
• jest zbieżny jednostajnie na [−1, 1].
Zadanie 14.2. Uzasadnić że szereg funkcyjny
∞
X
sin nx
√
n3
n=1
jest zbieżny jednostajnie na całej prostej rzeczywistej.