1 + i 3

1. Liczby zespolone
Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b ∈ R, następujące liczby zespolone
(1) 1−i
1+i ,
2
(2) 1−3i
,
√
(3) (1 + i 3)6 ,
5
1+i
(4) 1−i
,
√ 4
3
(5) 1+i
.
1−i
Zadanie 1.2. Znaleźć moduł i argument główny następujących liczb zespolonych
(1) 3i,
(2) −2,
(3) 1 + i,
(4) −1 − i,
(5) 2 + 5i,
(6) 2 − 5i,
(7) −2 + 5i,
(8) −2 − 5i.
Zadanie 1.3. Niech a, b ∈ C. Wykazać, że |a + b|2 + |a − b|2 = 2(|a|2 + |b|2 ).
a−b Zadanie 1.4. Niech a, b ∈ C, a 6= b, |b| = 1. Wykazać, że 1−āb
= 1.
Zadanie 1.5. Moduły liczb zespolonych z1 , z√2 , z3 i z4 tworzą ciąg geometryczny, zaś ich argumenty —
ciąg arytmetyczny. Znaleźć z2 i z3 , jeśli z1 = 2 i z4 = 4i.
Zadanie 1.6. Rozwiązać równania
(1) z 2 + 25 = 6z,
(2) az + bz̄ = c, gdzie a, b, c ∈ C.
a−z Zadanie 1.7. Niech a, z ∈ C, |a| < 1. Wykazać, że |z| < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1−āz
< 1.
Zadanie 1.8. Przedstawić w formie trygonometrycznej liczby
√
(1) 1 + i 3,
(2) 1 − cos α + i sin α, α ∈ [0, 2π].
Zadanie 1.9. Przedstawić sin 5x i cos 5x jako wielomian zmiennych sin x i cos x, a następnie przedstawić
2π
w postaci algebraicznej sin 2π
5 i cos 5 .
z
Zadanie 1.10. Niech z ∈ C, z 6= 0. Wykazać, że |z|
− 1 ≤ | Arg z|.
Zadanie 1.11. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory
(1) Re z ≥ c, gdzie c ∈ R,
(2) |z − 2| − |z + 2| > 3,
(3) α < Arg(z − z0 ) < β, gdzie z0 ∈ C, −π < α < β ≤ π,
(4) |z| = Re z + 1,
(5) |z − a| = λ|z − b|, gdzie a, b ∈ C, λ > 0.
1
2. Ciągi i szeregi zespolone
Zadanie 2.1. Wykazać, że
(1) jeśli limn→∞ zn = 0, to limn→∞ 1 +
(2) jeśli limn→∞ zn = 1, to limn→∞ 1 +
zn n
n zn n
n
= 1,
= e.
Zadanie 2.2. Podać przykład ciągu zbieżnego (zn )n takiego, że ciąg (Arg zn )n jest rozbieżny.
Zadanie 2.3. Obliczyć
√
n
−n
n
n
(1) limn→∞ (3
√ − i 2 + 3),
2
√
|n +i|
n
(2) limn→∞
|n−i| + i n ,
6ni+2
(3) limn→∞ |3ni−1|
,
n
(4) limn→∞ 1 + i n2n−1 ,
Zadanie 2.4. Znaleźć wszystkie wartości parametru a ∈ C, dla których ciągi
(1) (an )n , (2)
an
1+an
n
są zbieżne.
Zadanie 2.5. Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu zespolonego
zn
n=1 1−z n .
P∞
P
P
Zadanie 2.6. Wykazać, że jeśli promienie zbieżności szeregów potęgowych
an z n ,
bn z n są odpowiednio równe ra , rb , to
P
(1) promień zbieżności r1 szeregu potęgowegoP an bn z n spełnia nierówność r1 ≥ ra rb ,
an n
(2) promień zbieżności r szeregu potęgowego
z , bn 6= 0, spełnia nierówność r2 ≤ rrab ,
Pbn
(3) promień zbieżności r3 szeregu potęgowego (an b0 + an−1 b1 + · · · + a0 bn )z n spełnia nierówność
r3 ≥ min{ra , rb }.
Zadanie 2.7. Wyznaczyć promień zbieżności następujących szeregów potęgowych
P∞ n! n
(1)
n=2 nn z ,
P∞
(2) Pn=1 z n! ,
∞
(3) Pn=1 (3 + (−1)n )n z n ,
∞
n
(4)
n=1 cos(in)z .
Zadanie 2.8. Wyznaczyć promień zbieżności i zbadać zbieżność na brzegu koła zbieżności następujących
szeregów potęgowych
P∞ (−1)n 3n−1
,
(1)
n=2 ln n z
P∞
4n kn
(2)
z
,
gdzie
k ∈ N,
n
Pn=1
∞
(3) Pn=1 n12 z n! ,
∞
n n
(4)
n=1 2n z .
2
3. Funkcje elementarne
Zadanie 3.1. Przedstawić w postaci a + bi, a, b ∈ R, liczby
(1) exp ln 5 − i 125π
,
4
(2) exp − ln 3 + i 11π
3 ,
1
+
i
ln
(3) sin − 17π
6
3 ,
21π
(4) sin 4 − i ln 11 ,
1
(5) cos − 17π
6 + i ln 3 ,
21π
(6) cos 4 − i ln 11 .
Zadanie 3.2. Wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną funkcji sin i cos oraz rozwiązać równanie
Im cos(z) = 0.
Zadanie 3.3. Rozwiązać równania
(1) z 12 = 212 ,
(2) z 3 = i.
Zadanie 3.4. Wypisać wszystkie wartości
√
3
−8i,
(1) p
√
(2) √ i 3 − 1,
(3) 6 −64
w postaci a + ib, a, b ∈ R.
Zadanie 3.5. Wypisać wszystkie wartości
(1) log(1
√− i),
(2) log( 3 − i),
(3) log(e2 i),
(4) 1x+iy , √
x, y ∈ R,
(5) (−i − 3)i ,
i+1
√
,
(6) 1−i
2
1−i
√
(7) 1+i
,
2
(8) (−ei)3−i
w postaci a + bi, a, b ∈ R.
Zadanie 3.6. Wykazać, że wszystkie wartości potęgi ax+iy , a 6= 0, x, y ∈ R,
(1) są rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy suma y Log |a| + x Arg a jest wielokrotnością liczby π i
2x jest liczbą całkowitą,
(2) mają równe moduły, gdy y = 0.
Zadanie 3.7. Niech a ∈ R. Wykazać, że
(1) zbiór 1a jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ Q,
(2) jeśli α ∈ R \ Q, to zbiór 1a jest gęsty w T.
3
4. Pochodna zespolona
Zadanie 4.1. Wyznaczyć zbiór punktów, w którch funkcja f jest C-różniczkowalna, jeśli
(1) f (z) = |z|2 ,
(2) f (z) = |z − 1|z,
(3) f (z) = z 2 z,
(4) f (z) = |z| Re z.
Zadanie 4.2. Niech funkcja f będzie C-różniczkowalna w punkcie z0 i niech g := f . Wykazać, że g jest
C-różniczkowalna w punkcie z0 wtedy i tylko wtedy, gdy f 0 (z0 ) = 0.
Zadanie 4.3. Niech D ⊂ C będzie obszarem, f ∈ O(D) oraz Im f = const. Wykazać, że f = const.
Zadanie 4.4. Funkcja f jest holomorficzna w pewnym otoczeniu punktu z0 . Znaleźć przepis na z 7→ f (z),
jeśli x = Re z, y = Im z ∈ R oraz
x
1
(1) Re f (x, y) = x2 +y
2 , z0 = π, f (π) = π ,
(2) Re f (x, y) = x2 − y 2 + 2x, z0 = i, f (i) = 2i − 1,
(3) Re f (x, y) = −2 sin(2x) sinh(2y) + y − x2 + y 2 , z0 = 0, f (0) = 3i,
(4) Im f (x, y) = 6x2 y − 2y 3 + x3 − 3xy 2 , z0 = i, f (i) = 2i,
(5) Re f (x, y) = ex sin y + e−x cos y − 1, z0 = 0, f (0) = 0.
Zadanie 4.5. Niech D ⊂ C będzie obszarem P
i niech funkcje fj : D −→ C, j = 1, . . . , n, będą funkcjami
n
dwukrotnie C-różniczkowalnymi. Załóżmy, że j=1 |fj |2 = const. Wykazać, że fj = const, j = 1, . . . , n.
Zadanie 4.6. Niech f będzie funkcją R-różniczkowalną w punkcie z0 i niech u = Re f , v = Im f .
Wykazać, że
2 2
∂f
∂f
u (z ) uy (z0 )
det x 0
= (z0 ) − (z0 ) .
vx (z0 ) vy (z0 )
∂z
∂z
Zadanie 4.7. Wykazać, że funkcja u(z) = log |z| jest harmoniczna w C \ {0}, ale nie istnieje funkcja f
C-różniczkowalna w C \ {0} taka, że Re f = u.
4
5. Całki zespolone
Zadanie 5.1. Obliczyć całki
R
(1) [0,2+i] (z 2 − 2z) dz,
R
(2) [1,i] z1 dz,
R
(3) [i,−2] |z + 1|2 dz,
R
(4) [3,−2] zez dz,
R
(5) [−3,1−i] |z|21+1 dz,
R
(6) [i,2] (z 2 − 3z + 1) dz,
gdzie [a, b] jest odcinkiem łączącym punkty a, b ∈ C przebieganym od punktu a do punktu b.
Zadanie 5.2. Obliczyć całki
R
(1) RC (1 + i − 2z) dz,
(2) RC z1 dz,
(3) C (z 2 + z − 1) dz,
gdzie C jest łukiem paraboli y = x2 przebieganym od punktu (2, 4) do punktu (1, 1).
Zadanie 5.3. Obliczyć całki
R
(1) RC (2 + zz) dz,
√
(2) RC z dz,
(3) C √1z dz,
gdzie C jest górną połową
okręgu |z| = 1 przebieganą od punktu 1 do punktu −1, zaś gałąź pierwiastka
√
jest tak wybrana, że 1 = −1.
Zadanie 5.4. Obliczyć całki
R
(1) RC z 2 dz,
√
(2) RC 3 z dz,
1
(3) C √
3 z dz,
gdzie C jest prawą połową
okręgu
|z| = 8 przebieganą od punktu −8i do punktu 8i, zaś gałąź pierwiastka
√
√
jest tak wybrana, że 3 8 = 3i − 1.
5
6. Wzór całkowy Cauchy’ego
Zadanie 6.1. Niech f ∈ O(C \ R) ∩ C(C). Wykazać, że f ∈ O(C).
Zadanie 6.2 (Zasada symetrii Riemanna-Schwarza). Niech H+ := {z ∈ C : Im z > 0}, f ∈ O(H+ ) ∩
C(H + ) i niech f (R) ⊂ R. Wykazać, że istnieje funkcja f˜ ∈ O(C) taka, że f˜|H+ = f .
Zadanie 6.3. Niech f ∈ O(C), M ∈ R, Re f ≤ M . Wykazać, że f = const.
Zadanie 6.4. Niech f ∈ O(C), p ⊂ C jest półprostą domkniętą, f (C) ⊂ C \ p. Wykazać, że f = const.
Zadanie 6.5. Niech f ∈ O(C) i niech k ∈ N, M > 0 będą takie, że |f (z)| ≤ M (1+|z|k ), z ∈ C. Wykazać,
że f jest wielomianem stopnia co najwyżej k.
Zadanie 6.6 (Reguła de l’Hospitala). Niech Ω ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f, g ∈ O(Ω), z0 ∈ Ω.
Załóżmy, że f (z0 ) = g(z0 ) = 0, f 6≡ 0 i g 6≡ 0 na żadnym otoczeniu z0 i istnieje granica
lim
z→z0
f 0 (z)
= λ ∈ C.
g 0 (z)
Wykazać, że istnieje granica
lim
z→z0
f (z)
g(z)
lim
oraz
z→z0
f (z)
= λ.
g(z)
Zadanie 6.7. Czy istnieje funkcja f ∈ O(D) taka, że
(1) f (1/n) = n/(1 + n), n ∈ N, n ≥ 2,
(2) f (1/n) = n/(2 + n), n ∈ N, n ≥ 2,
(3) f (1/n) = e−n , n ∈ N, n ≥ 2?
Zadanie 6.8 (Zasada maksimum). Niech D ⊂ C będzie obszarem ograniczonym i niech f ∈ O(D)
spełnia warunek
lim sup |f (z)| ≤ M < ∞.
D3z→∂D
Wykazać, że |f | ≤ M .
Zadanie 6.9. Niech f ∈ O({z ∈ C : 2 < |z| < 3}) ∩ C({z ∈ C : 2 ≤ |z| ≤ 3}), |f (z)| = 4 dla |z| = 2 i
|f (z)| = 9 dla |z| = 3. Wykazać, że |f (z)| ≤ |z|2 dla 2 ≤ |z| ≤ 3.
6
7. Ogólna teoria Cauchy’ego
Zadanie 7.1. Niech γ będzie krzywą prostowalną, ϕ ∈ C(γ ∗ ) i dla dowolnej liczby m ∈ N niech
Z
ϕ(w)
dw, z ∈ C \ γ ∗ .
Fm (z) :=
m
γ (w − z)
0
Wykazać, że Fm ∈ O(C \ γ ∗ ) oraz Fm
= mFm+1 , m ∈ N.
Zadanie 7.2. Niech Ω ⊂ C będzie zbiorem otwartym i niech Γ będzie cyklem takim, że Γ∗ ⊂ Ω. Wykazać,
że następujące warunki są równoważne
(1) dla dowolnej funkcji f ∈ O(Ω) zachodzi równość
Z
1
f (w)
IndΓ (z) · f (z) =
dw, z ∈ Ω \ Γ∗ ,
2πi Γ w − z
(2) dla dowolnej funkcji f ∈ O(Ω) i dowolnej liczby k ∈ N0 zachodzi równość
Z
f (w)
k!
dw, z ∈ Ω \ Γ∗ .
IndΓ (z) · f (k) (z) =
2πi Γ (w − z)k+1
Zadanie 7.3. Niech Ĉ := C ∪ {∞},
(
g
Ĉ 3 z 7−→
|z|2
Re z
Im z
1+|z|2 , 1+|z|2 , 1+|z|2
,
gdy z ∈ C
gdy z = ∞
(0, 0, 1),
ˆ z) := ρ(g(w), g(z)), w, z ∈ Ĉ, gdzie ρ : R3 × R3 −→ [0, +∞) jest metryką euklidesową.
i niech d(w,
Wykazać, że

|w−z|
√
,
gdy w, z ∈ C
2 )(1+|z|2 )
(1+|w|
ˆ z) =
d(w,
.
√ 1 2 ,
gdy w ∈ C, z = ∞
1+|w|
Zadanie 7.4. Obliczyć całki
R dz
(1) T 1+z
4 , gdzie T jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (1, 0), B = (0, 1) i C = (0, −1),
R
ez
(2) |z|=2 z+5
dz,
R
(3) |z−2+2i|=1 sin z1 dz,
R
dz
(4) |z|= 1 1+z
10 ,
3
R
dz
(5) |z|=2 (z−3)(z+3i)(z−2+i)
2,
R
z
e dz
(6) |z−3i|=2 z2 (z2 −4) ,
R
z
−1
(7) |z|=6 2e
z−2πi dz,
gdzie wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza.
7
8. Szeregi Laurenta
Zadanie 8.1. Wyznaczyć pierścień zbieżności następujących szeregów Laurenta
∞
X
(1)
(i + 3)n+1 z −n ,
(2)
(3)
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n−n (z − 2 + i)−n +
(2n − 1)(z + 1)−n +
n=1
∞
X
(1 + in)(z − 2 + i)n ,
n=1
∞
X
(i + n)−n (z + 1)n .
n=1
Zadanie 8.2. Niech z0 ∈ C, s > 0, T(z0 , s) := {z ∈ C : |z − z0 | = s} i niech V = V (z0 , s) oznacza
przestrzeń wektorową nad ciałem C wszystkich szeregów Laurenta zbieżnych bezwzględnie i jednostajnie
na T(z0 , s) oraz
Z 2π
1
f (z0 + seit )g(z0 + seit ) dt, f, g ∈ V.
hf, gi :=
2π 0
Wykazać, że przestrzeń V z iloczynem skalarnym h·, ·i nie jest przestrzenią Hilberta.
Zadanie 8.3. Rozwinąć w szereg Laurenta funkcję f w pierścieniach podanych obok
1
(1) f (z) = z−i
, P (0, 1, ∞),
3
(2) f (z) = z2 −1 , P (1, 0, 1), P (1, 2, ∞),
1
(3) f (z) = z(1−z)
2 , P (1, 0, 1), P (1, 1, ∞),
1
(4) f (z) = z(z−1) , P (0, 0, 1), P (0, 1, ∞), P (1, 0, 1), P (1, 1, ∞), P (−1, 1, 2), P (−1, 2, ∞), P (−1, 0, 1).
Zadanie 8.4. Podać, w jakich (maksymalnych) pierścieniach (ewentualnie kołach) o środku w z0 można
rozwinąć dane funkcje w szereg Laurenta i podać te rozwinięcia
1
, z0 = 4,
(1) f (z) = z2 +4iz−3
1
(2) f (z) = (z−i)2 , z0 = 2i,
1
(3) f (z) = z(4−z)
3 , z0 = 3i.
Zadanie 8.5. Znaleźć punkty osobliwe izolowane i określić ich rodzaj dla funkcji
z
(1) f (z) = e z−1 ,
1
(2) f (z) = sin (z−1)
2,
(3) f (z) =
(4) f (z) =
(5) f (z) =
z 2 +5
(z+3)4 ,
z cos z
8i−z 3 ,
1
z 4 +2z 2 +1 ,
z/(z−3)2
(6) f (z) = 2ze
.
Zadanie 8.6. Niech z0 ∈ C, R > 0, f ∈ O(P (z0 , 0, R)) i niech
Z
|f (z)|2 dL2 (z) < ∞.
P (z0 ,0,R)
Wykazać, że f przedłuża się do funkcji holomorficznej na ∆(z0 , R).
8
9. Rezydua
Zadanie 9.1. Niech Ω ⊂ C będzie zbiorem otwartym, z0 ∈ Ω, f ∈ O(Ω \ {z0 }). Załóżmy, że funkcja f
ma biegun rzędu m > 0 w punkcie z0 . Wykazać, że
resz0 f =
Zadanie 9.2. Obliczyć całki
Z
dz
(a)
,
1
+
z3
ZT
z
e −1
(b)
dz,
|z|=4 z + 1
dm−1
1
((z − z0 )m f (z)).
lim
(m − 1)! z→z0 dz m−1
Z
(c)
Z|z|=4
(d)
|z|=2
cos z
dz,
z
Z
dz
,
z(z
−
1)(z
− i)
Z|z−1|=4
dz
cos z dz
, (f)
,
2
(z − i)(z + 3i)(z − 4)
|z+πi|=2 z(z − 3i)(z + πi)
(e)
gdzie T jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (1, 0), B = (1, 1) i C = (0, 1) oraz wszystkie
krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza.
Zadanie 9.3. Obliczyć całki
Z
ez − 1
dz,
(a)
z3 + z2
Z|z|=4
1
sin dz,
(b)
z
|z|=4
ez
dz,
2
z (z 2 + 4)
Z|z−i|=2
1 1/(z−1)
(d)
e
dz,
z
|z−1|=4
Z
(c)
Z
(e)
|z+i|=2
1
1
cos
dz,
z+1
z+i
gdzie wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza.
Zadanie 9.4. Obliczyć poniższe całki rzeczywiste stosując twierdzenie o rezyduach
2π
sin2 x dx
,
7 − 6 cos x
Z0 2π
cos2 x dx
(b)
,
13 + 12 cos x
Z0 +∞ 2
x +1
dx,
(c)
4+1
x
0
Z
(a)
Z
+∞
(d)
Z−∞
+∞
(e)
Z0 +∞
(f)
0
x dx
,
2
(x + 4x + 13)2
dx
, 0 < α < 1,
(1 + x)xα
log x dx
,
(1 + x)3
9
Z
+∞
(g)
Z−∞
+∞
(h)
Z0 +∞
(i)
−∞
x sin x
dx,
x2 + 1
cos 2x dx
,
x4 + 4x2 + 16
x sin x dx
.
2
(x − 6x + 10)2
10. Twierdzenie Rouché’go
Zadanie 10.1. Korzystając z twierdzenia Rouché’go wykazać, że każdy wielomian stopnia n ≥ 1 ma w
odpowiednio dużym kole dokładnie n miejsc zerowych liczonych z krotnościami.
Zadanie 10.2. Niech a ∈ C, |a| > e. Wykazać, że równanie
ez − az n = 0
ma w kole ∆(0, 1) dokładnie n pierwiastków liczonych z krotnościami.
Zadanie 10.3. Wykazać, że wielomian
p(z) = z 5 + 15z + 1
ma w kole ∆(0, 2) dokładnie 5 pierwiastków liczonych z krotnościami, ale w kole ∆(0, 1) ma dokładnie
jeden pierwiastek.
Zadanie 10.4. Niech λ > 1. Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania
z = λ − e−z
w zbiorze {z ∈ C : Re z ≥ 0}.
Zadanie 10.5. Niech
F (z) =
n
Y
z − am
,
1 − am z
m=1
gdzie |am | < 1, m = 1, 2, . . . , n, i niech |b| < 1. Wykazać, że równanie
F (z) = b
ma dokładnie n pierwiastków w kole ∆(0, 1).
10
11. Odzworowania konforemne
Zadanie 11.1. Wyznaczyć grupy Aut(∆(0, 1) \ {0}) i Aut(∆(0, 1) \ {−1/2, 1/2}).
Zadanie 11.2. Wykazać, że dwa pierścienie P (z1 , r1 , R1 ) i P (z2 , r2 , R2 ) są biholomorficzne wtedy i tylko
wtedy, gdy
R2
R1
=
.
r1
r2
Wyznaczyć postać biholomorfizmów P (z1 , r1 , R1 ) −→ P (z2 , r2 , R2 ) oraz grupę Aut(P (0, r, R)).
Zadanie 11.3. Znaleźć warunki konieczny i dostateczny, jakie powinny spełniać liczby a, b, c, d ∈ C, aby
przekształcenie homograficzne
az + b
z 7−→
cz + d
odwzorowywało górną płaszczyznę w siebie.
Zadanie 11.4. Załóżmy, że R jest funkcją wymierną taką, że |R(z)| = 1 dla |z| = 1. Wykazać, że
R(z) = cz m
k
Y
z − an
,
1
− an z
n=1
gdzie c ∈ C, |c| = 1, m ∈ Z, k ∈ N ∪ {0} oraz an ∈ C \ {0}, |an | =
6 1, n = 1, . . . , k.
Zadanie 11.5. Znaleźć postać funkcji wymiernej R takiej, że R(z) > 0 dla |z| = 1.
Zadanie 11.6. Niech
f (t) =
n
X
ak eikt ,
t ∈ R,
k=−n
spełnia warunek f (t) > 0 dla t ∈ R. Wykazać, że istnieje wielomian
P (z) = c0 + c1 z + · · · + cn z n
taki, że
f (t) = |P (eit )|2 , t ∈ R.
Czy wynik pozostaje prawdziwy przy osłabieniu założenia do f (t) ≥ 0, t ∈ R?
Zadanie 11.7. Niech a ∈ ∆(0, 1). Znaleźć punkty stałe odwzorowania
z−a
.
ϕa (z) =
1 − az
Czy istnieje prosta, którą ϕa odwzorowuje w siebie?
Zadanie 11.8. Znaleźć wszystkie liczby a ∈ C, dla których funkcja
z
fa (z) =
1 + az 2
jest różnowartościowa w kole ∆(0, 1). Opisać zbiór fa (∆(0, 1)) dla tych wszystkich a.
Zadanie 11.9. Niech Ω = {z ∈ C : | Re z| < 1}.Znaleźć różnowartościowe odwzorowanie konforemne f
obszaru Ω na koło ∆(0, 1), dla którego f (0) = 0 i f 0 (0) > 0. Obliczyć f 0 (0).
11