2011

Zestaw R-2, wydawnictwo Pazdro
1. (4p)Wykaż, że jeżeli
CΩ oraz
i
, to
i
.
2. (4p)W trójkącie ABC bok AC jest 3 razy dłuższy od boku BC. Na boku AB zaznaczono
punkt D. Oblicz stosunek pola koła opisanego na trójkącie ADC do pola koła
opisanego na trójkącie DBC.
3. (6p)Z prostokątnego kawałka blachy miedzianej o wymiarach 5 dm na 4 dm wycięto
w rogach jednakowe kwadraty. Po złożeniu blachy i zlutowaniu odpowiednich
krawędzi otrzymano prostopadłościenny otwarty pojemnik o objętości 6 litrów.
Wyznacz długośd boku wyciętego kwadratu.
4. (5p) W prostokątnym układzie współrzędnych przedstaw zbiór wszystkich punktów
płaszczyzny, których współrzędne spełniają warunki:
.
5. (4p) Ułóż równanie kwadratowe mające postad x2 + px + q = 0, którego iloczyn
pierwiastków jest równy 4, a suma kwadratów odwrotności pierwiastków wynosi 2.
6. (5p) W trapez równoramienny o przekątnej długości 13 cm można wpisad okrąg.
Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długośd 12 cm. Oblicz długośd ramienia i
pole tego trapezu.
7. (4p) Wyznacz zbiór wartości funkcji
.
8. (6p) Pole przekroju osiowego stożka jest
razy mniejsze od pola powierzchni
całkowitej tego stożka. Wyznacz miarę kąta, jaki tworzy promieo podstawy z
tworzącą stożka.
9. (6p) Dane jest równanie drugiego stopnia z parametrem m:
x2 + y2 – 2mx + 2y + m + 1 = 0.
a) Jaką figurę geometryczną opisuje to równanie w przypadku, gdy m = 1?
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie opisuje okrąg.
Następnie wybierz liczbę m, dla której prosta k: 3x + 4y + 1 =0 jest styczna do tego
okręgu.
10. (6p) Liczby a, b, c, d są dodatnie. Ciąg (a, b, c) jest ciągiem arytmetycznym, a ciąg (a,
d, c) jest ciągiem geometrycznym.
a) Wykaż, że b≥d.
b) Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego oraz iloraz ciągu geometrycznego dla a = 3 i
c =27.