Zadanie (wartość bezwzględna) Rozwiązać układ równań: { y = |x

Zadanie (wartość bezwzględna)
Rozwiązać układ równań:
y = |x − 1|
x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0
a następnie podać interpretację geometryczną układu i obliczyć pole większego
z obszarów ograniczonych wykresami tych równań.
Rozwiązanie
W układzie równań występuje wartość bezwzględna musimy zatem rozpatrzyć
dwa przypadki, czyli w pierwszym przypadku mamy:
1o
x­1
otrzymujemy wtedy następujący układ równań
y =x−1
x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0
Możemy rozwiązać ten układ równań podstawiając za
y =x−1
wtedy mamy równanie kwadratowe:
2 x2 − 8x + 6 = 0,
można podzielić obie strony przez 2 otrzymując:
x2 − 4x + 3 = 0
obliczmy deltę i pierwiastki
∆ = 16 − 12 = 4
√
∆=2
x1 = 1 ∈ zał.
x2 = 3 ∈ zał.
Mając x możemy wyliczyć y, czyli
y1 = 0
y2 = 2
Rozpatrzymy teraz drugi przypadek
2o
x<1
1
otrzymujemy wtedy taki układ równań
y = −x + 1
x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0
Postępując podobnie jak w poprzednim przypadku otrzymujemy:
2 x2 − 2 = 0
stąd wyliczamy
x=1∈
/ zał.
oraz
x = −1 ∈ zał.
Mając x wyliczmy y, czyli:
y=2
Podsumowując mamy trzy punkty będące rozwiązaniem tego układu:
(1, 0)
(3, 2)
(−1, 2)
W zadaniu mamy podać interpretację geometryczną tego układu równań, musimy się zastanowić co każde równanie układu przedstawia. Pierwsze równanie
to łamana składająca się z ”kawałków” dwóch prostych:
y =x−1
i
y = −x + 1
Drugie równanie to oczywiście okrąg mający postać:
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 41
1 Sposób wyprowadzenia równania tego okręgu jest następujący: najpierw musimy odpowiednio pogrupować wyrazy następnie dodać (i odjąć aby się wszystko zgadzało)takie liczby
aby móc skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, czyli:
(x2 − 2x + 1) − 1 + (y 2 − 4y + 4) − 4 + 1 = 0
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 4
Możemy stąd odczytać współrzędne środka i promień tego okręgu, czyli:
S(1, 2)
r=2
2
Wiemy więc jak wyglądałby nasz układ równań w układzie współrzędnych. Pole
większego z obszarów ograniczonego wykresami tych równań składa się z półkola
i trójkąta o wierzchołkach w punktach
A(1, 0)
B(3, 2)
C(−1, 2)
gdzie BC jest podstawą, a AS wysokością tego trójkąta. Wiemy, że trójkąt ABC
jest równoramienny. Policzmy więc pole tego trójkąta
P =
1
|BC| |AS|
2
Wiemy również, że BC jest średnicą okręgu, czyli długość odcinka BC jest równa
4. Liczymy długość AS, czyli
p
|AS| = (1 − 1)2 + (2 − 0)2 = 2
Możemy więc już policzyć pole trójkąta ABC
P4 =
1
·4·2=4
2
Teraz musimy policzyć pole koła, czyli:
Pk = π · r2
Pk = 4 · π
Zatem pole półkola równa się 2 · π. Możmy zatem podać pole zadanej figury:
Pf = 4 + 2π
3