Równanie(a) liniowe

(C) 2005
Proste zadanie geometryczne
Równanie(a) liniowe
Równanie prostej
Analiza przypadków
Układ dwóch równań
Źródła utraty dokładności
Niezerowe współczynniki
!
Jeśli wszystkie współczynniki są różne od
zera, to punktami przecięcia są:
!
!
!
!
!
!
Jeżeli dokładnie jeden ze współczynników
jest równy zeru:
!
!
b=0 – oznacza to że c musi być 0!
c=0 – prowadzi do równania by=0 czyli y=0
!
Albo ax=0 " x=0 albo by=0 " y=0
Jeżeli a=0 to y=c/b dla wszystkich wartości y
(prosta przechodzi przez punkt (0,c/b) i jest
równoległa do Ox.
Jeżeli b=0 to prosta jest równoległa do osi
rzędnych i przechodzi przez punkt (c/a,0) na osi
Ox.
Jeżeli c=0 to równanie przyjmuje postać ax=-by i
prosta przecina osie współrzędnych w początku
układu, czyli w punkcie (0,0).
Układ dwóch równań
liniowych
!
!
b=0 (podobna analiza)
c=0
!
Alg 10
!
Warunek podstawowy to możliwość dzielenia
przez a i b!!!
Czy są jeszcze jakieś pozostałe przypadki
szczególne?
a=0
!
!
Jeden zerowy współczynnik
przecięcie z Ox: y=0 - ax=c
skąd mamy (c/a, 0),
przecięcie z Oy: x=0 - (0, c/b).
Pozostałe przypadki…
!
!
Jednym z najprostszych zadań
geometrycznych jest wyznaczanie punktów,
w których prosta przecina osie układu
współrzędnych.
Ogólne równanie takiej prostej zwane
równaniem liniowym ma postać:
ax + by = c
UWAGA
!
!
!
!
Rozważmy rozwiązanie układu dwóch
równań liniowych:
ax + by =c
dx + ey = f
Rozwiązanie jest poszukiwaniem takiego
punktu (x,y), dla którego każde z równań jest
spełnione.
Jest to punkt przecięcia prostych.
1
(C) 2005
Brak rozwiązań
!
!
!
Układ nie będzie miał rozwiązań, gdy proste
będą do siebie równoległe.
Rozwiązanie układu uzyskane metodą
podstawienia ma postać:
x=(ce-bf)/w
y=(af-cd)/w
gdzie w=ae-db (jest to wyznacznik układu
równań).
Przykład liczbowy
!
!
!
!
!
!
a=3.000, b=4.127, c=15.41,
d=1.000, e=1.374, f=5.147.
Rozwiązaniem tego układu są:
x=13.66, y=-6.2
Wartość wyznacznika układu wynosi
w=-0.005.
Jest to wielkość bardzo mała w porównaniu
do wartości współczynników układu.
Źródło niedokładności
!
!
Alg 10
W algorytmach należy zabezpieczać się
przed wykonywaniem zabronionych działań
przez sprawdzanie odpowiednich warunków.
Źródłem niedokładności w obliczeniach
komputerowych jest najczęściej wykonywanie
obliczeń na liczbach, których różnica wartości
bezwzględnych jest bardzo duża bądź bardzo
mała.
Wzory Cramera
!
Wzory na rozwiązanie układu dwóch równań
są szczególnymi przypadkami:
!
!
metody znajdywania rozwiązań układów liniowych
o dowolnej liczbie niewiadomych zwanej metodą
eliminacji Gaussa,
wzorów Cramera wyrażających rozwiązanie
układu równań liniowych poprzez wartości
odpowiednich wyznaczników układu.
Utrata dokładności
!
!
!
Przy rozwiązywaniu układu równań dochodzi
do utraty dokładności obliczeń na skutek
dzielenia dużej liczby przez liczbę
stosunkowo małą.
Dla rozwiązywania układów równań liniowych
nie można podać algorytmu odpornego na
błędy zaokrągleń.
Jest to bowiem problem źle uwarunkowany,
niestabilny.
Przestrogi…
!
!
Przykładami obliczeń, w których to zjawisko
występuje są takie elementarne zadania, jak
rozwiązanie równania kwadratowego lub
układu dwóch równań liniowych.
W przypadku algorytmu rozpadającego się
na wiele ścieżek musimy zachować dużą
precyzję, by nie pominąć żadnego
przypadku.
2